Solution série d'exercices : Ensemble ℚ des nombres rationnels 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 1 Ensemble $\mathbb{Q}$
1) Complétons par $\in\text{ ou }\not\in$
a) $\dfrac{21}{3}=7\in\mathbb{N}\;;\qquad\dfrac{41}{3}\not\in\mathbb{N}$
b) $\dfrac{21}{3}=7.0\in\mathbb{D}\;;\qquad\dfrac{40}{12}\in\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{125}{374}\in\mathbb{Q}^{+}$
c) $-\dfrac{365}{73}=-5\in\mathbb{Z}\;;\qquad\dfrac{121}{11}\in\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{42}{6}=7.0\in\mathbb{D}$
d) $15,5\in\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{41}{3}\not\in\mathbb{D}\;;\qquad\dfrac{3}{4}\in\mathbb{Q}\;;\qquad -\dfrac{45}{3}\not\in\mathbb{N}$
2) Complétons par $\subset\text{ ou }\not\subset$
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\;;\qquad\mathbb{Z}\not\subset\mathbb{N}\;;\qquad\mathfrak{D}\subset\mathbb{D}\;;\qquad\mathbb{Q}\not\subset\mathbb{D}$
Exercice 2 Le PGCD et le PPMC
1) Calculons $PGCD\;(504\;;\ 492)\ $ et $\ PGCD\;(888\;;\ 777)$
Calcul de $PGCD\;(504\;;\ 492)$
Décomposons les nombres $504\ $ et $\ 492$ en un produit de facteurs premiers.
On a : $504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad$ et $\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$
Donc,
$\begin{array}{rcl} PGCD\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{2}\times 3\\\\&=&12\end{array}$
D'où, $\boxed{PGCD\;(504\;;\ 492)=12}$
Calcul de $PGCD\;(888\;;\ 777)$
En décomposant les nombres $888\ $ et $\ 777$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :
$$888=1\times 2^{3}\times 3\times 37\quad\text{et}\quad 777=1\times 3\times 7\times 37$$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} PGCD\;(888\;;\ 777)&=&1\times 3\times 37\\\\&=&111\end{array}$
D'où, $\boxed{PGCD\;(888\;;\ 777)=111}$
Simplifions les fractions suivantes :
$A=\dfrac{504}{492}\ $ et $\ B=-\dfrac{888}{777}$
Pour simplifier une fraction on utilise le PGCD du numérateur et du dénominateur.
Soit $A=\dfrac{504}{492}$
Comme $PGCD\;(504\;;\ 492)=12$ alors, $\dfrac{504}{492}=\dfrac{504\div 12}{492\div 12}=\dfrac{42}{41}$
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{42}{41}}$
Soit $B=-\dfrac{888}{777}$
Or, $PGCD\;(888\;;\ 777)=111$ donc, $-\dfrac{888}{777}=-\dfrac{888\div 111}{777\div 111}=-\dfrac{8}{7}$
D'où, $\boxed{B=-\dfrac{8}{7}}$
2) Dans chacun des cas suivants, déterminons :
$$PPCM\;(a\;;\ b)\quad\text{et}\quad PGCD\;(a\;;\ b)$$
1e CAS : $a=504\;;\quad b=492$
La décomposition des nombres $504\ $ et $\ 492$ en un produit de facteurs premiers avait donné :
$$504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad\text{et}\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$$
Donc,
$\begin{array}{rcl} PPCM\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\times 41\\\\&=&20664\end{array}$
D'où, $\boxed{PPCM\;(504\;;\ 492)=20664}$
A la question 1) on avait : $PGCD\;(504\;;\ 492)=12$
2e CAS : $a=121\;;\quad b=210$
En décomposant les nombres $121\ $ et $\ 210$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :
$$121=1\times 11^{2}\quad\text{et}\quad 210=1\times 2\times 3\times 5\times 7$$
Alors,
$\begin{array}{rcl} PPCM\;(121\;;\ 210)&=&1\times 11^{2}\times 2\times 3\times 5\times 7\\\\&=&25410\end{array}$
Ainsi, $\boxed{PPCM\;(121\;;\ 210)=25410}$
Les nombres $121\ $ et $\ 210$ n'ont qu'un seul facteur premier en commun ; le nombre premier $1.$
Donc, $\boxed{PGCD\;(121\;;\ 210)=1}$
3) Montrons que $1029$ est un multiple de $147$
On a : $1029\div 147=7\ $ et $\ 1029=(147\times 7)+0$
Alors, $1029$ est un multiple de $147$ car le reste $r$ est égal à zéro $(r=0)$
On en déduit :
$\boxed{PGCD\;(1029\;;\ 147)=147}\ $ et $\ \boxed{PPCM\;(1029\;;\ 147)=1029}$
Exercice 3 Opération dans $\mathbb{Q}$
1) Calculons les sommes suivantes puis simplifions :
On a :
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{-3}\\ \\&=&\dfrac{3}{4}+\left(-\dfrac{5}{3}\right)\\ \\&=&\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{4\times 3}-\dfrac{5\times 4}{3\times 4}\\ \\&=&\dfrac{9}{12}-\dfrac{20}{12}\\ \\&=&\dfrac{9-20}{12}\\ \\&=&\dfrac{-11}{12}\end{array}$
D'où, $\boxed{A=-\dfrac{11}{12}}$
On a :
$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{-2}{7}\right)+\left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=& \dfrac{-2}{7}-\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{-2\times 2}{7\times 2}-\dfrac{3\times 7}{2\times 7}\\ \\&=&\dfrac{-4}{14}-\dfrac{21}{14}\\ \\&=& \dfrac{-4-21}{14}\\ \\&=&\dfrac{-25}{14}\end{array}$
Par suite, $\boxed{B=-\dfrac{25}{14}}$
On a :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-2}{13}-\dfrac{7}{13}\\ \\&=&\dfrac{-2-7}{13}\\ \\&=&\dfrac{-9}{13}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=-\dfrac{9}{13}}$
2) Calculons les différences suivantes puis simplifions
On a :
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{4\times 3}-\dfrac{2\times 4}{3\times 4}\\ \\&=&\dfrac{9}{12}-\dfrac{8}{12}\\ \\&=&\dfrac{9-8}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{12}\end{array}$
Donc, $\boxed{A=\dfrac{1}{12}}$
On a :
$\begin{array}{rcl} B&=&3-\left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=&\dfrac{3}{1}+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{3\times 2}{1\times 2}+\dfrac{3\times 1}{2\times 1}\\ \\&=&\dfrac{6}{2}+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{6+3}{2}\\ \\&=&\dfrac{9}{2}\end{array}$
Par suite, $\boxed{B=\dfrac{9}{2}}$
On a :
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-12}{15}\right)-\left(\dfrac{-7}{15}\right)\\ \\&=&\dfrac{-12}{15}+\dfrac{7}{15}\\ \\&=&\dfrac{-12+7}{15}\\ \\&=&\dfrac{-5}{15}\\ \\&=&\dfrac{-5}{3\times 5}\end{array}$
En simplifiant par $5$, on obtient : $\boxed{C=-\dfrac{1}{3}}$
3) Calculons les produits suivants (simplifions)
a)
$\begin{array}{rcl} A&=&-3\times\dfrac{3}{4}\\ \\&=&\dfrac{-3\times 3}{4}\\ \\&=&\dfrac{-9}{4}\end{array}$
D'où, $\boxed{A=-\dfrac{9}{4}}$
$\begin{array}{rcl} B&=&3\times \left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=&\dfrac{3\times(-3)}{2}\\ \\&=&\dfrac{-9}{2}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{B=-\dfrac{9}{2}}$
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-2}{15}\right)\times +35\\ \\&=&\dfrac{(-2)\times(+35)}{15}\\ \\&=&\dfrac{-70}{15}\\ \\&=&\dfrac{(-14)\times 5}{3\times 5}\end{array}$
Donc, en simplifiant par $5$, on obtient : $\boxed{C=-\dfrac{14}{3}}$
b)
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{3}\times -\dfrac{9}{12}\\ \\&=&\times\dfrac{-9}{12}\\ \\&=&\dfrac{4\times(-9)}{3\times 12}\\ \\&=&\dfrac{-36}{36}\\ \\&=&-1\end{array}$
D'où, $\boxed{A=-1}$
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{125}{14}\times\dfrac{49}{-50}\\ \\&=&\dfrac{125\times 49}{14\times(-50)}\\ \\&=&\dfrac{(5\times 25)\times(7\times 7)}{(2\times 7)\times(-2\times 25)}\\ \\&=&\dfrac{5\times 7}{2\times(-2)}\\ \\&=&\dfrac{35}{-4}\end{array}$
Par suite, $\boxed{B=-\dfrac{35}{4}}$
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-248}{4}\times\dfrac{16}{-21}\\ \\&=&\dfrac{-248\times 16}{4\times(-21)}\\ \\&=&\dfrac{-248\times(4\times 4)}{4\times(-21)}\\ \\&=&\dfrac{-248\times 4}{-21}\\ \\&=&\dfrac{-992}{-21}\nonumber\end{array}$
D'où, $\boxed{C=\dfrac{992}{21}}$
4) Calculons les quotients suivants (simplifions) :
a)
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{-7}{5}\div 3\\ \\&=&\dfrac{-7}{5}\times\dfrac{1}{3}\\ \\&=&\dfrac{-7}{15}\end{array}$
Donc, $\boxed{A=-\dfrac{7}{15}}$
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{4}{6}\div-12\\ \\&=&\dfrac{4}{6}\times\dfrac{1}{-12}\\ \\&=&\dfrac{4}{-72}\\ \\&=&\dfrac{1\times 4}{(-18)\times 4}\end{array}$
Ainsi, en simplifiant par 4, on obtient : $\boxed{B=-\dfrac{1}{18}}$
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-2}{15}\right)\div -8\\ \\&=&\dfrac{-2}{15}\times\dfrac{1}{-8}\\ \\&=&\dfrac{-2}{-120}\\ \\&=&\dfrac{2}{120}\\ \\&=&\dfrac{1\times 2}{60\times 2}\end{array}$
Donc, en simplifiant par $2$, on trouve : $\boxed{C=\dfrac{1}{60}}$
b)
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{-4}{5}}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{-4}\\ \\&=&\dfrac{10}{-12}\\ \\&=&\dfrac{2\times 5}{2\times(-6)}\end{array}$
Par suite, après simplification par $2$, on obtient : $\boxed{A=-\dfrac{5}{6}}$
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\dfrac{5}{7}}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{7}\times\dfrac{1}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{21}\end{array}$
D'où, $\boxed{B=\dfrac{5}{21}}$
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-5}{\dfrac{7}{-8}}\\ \\&=&-5\times\dfrac{-8}{7}\\ \\&=&\dfrac{40}{7}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{40}{7}}$
$\begin{array}{rcl} D&=&-\dfrac{4}{5}\div\dfrac{+14}{25}\\ \\&=&\dfrac{-4}{15}\times\dfrac{25}{14}\\ \\&=&\dfrac{-100}{210}\\ \\&=&\dfrac{(-10)\times 10}{21\times 10}\end{array}$
Donc, en simplifiant par $10$, on trouve : $\boxed{D=-\dfrac{10}{21}}$
5) Calculons les puissances suivantes (simplifions) :
$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}\\ \\&=&\dfrac{2^{5}}{5^{5}}\\ \\&=&\dfrac{32}{3125}\end{array}$
Donc, $\boxed{A=\dfrac{32}{3125}}$
$\begin{array}{rcl} B&=&\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{3}\times\left(\dfrac{2}{9}\right)^{5}\\ \\&=&\dfrac{(-3)^{3}\times(2)^{5}}{2^{3}\times 9^{5}}\\ \\&=&\dfrac{(-3)^{3}\times 2^{2}}{1\times(3^{2})^{5}}\\ \\&=&\dfrac{(-1)^{3}\times(3)^{3}\times 2^{2}}{(3^{10})}\\ \\&=&\dfrac{(-1)\times 2^{2}}{3^{7}}\\ \\&=&\dfrac{-4}{2187}\end{array}$
D'où, $\boxed{B=-\dfrac{4}{2187}}$
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(+\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\\ \\&=&\dfrac{1}{\left(+\dfrac{1}{2}\right)^{5}}\\ \\&=&\dfrac{1}{\dfrac{(1)^{5}}{(2)^{5}}}\\ \\&=&\dfrac{(2)^{5}}{(1)^{5}}\\ \\&=&\dfrac{32}{1}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=32}$
Exercice 4
Dans une classe de $3^{\text{ième}}\;,\ \dfrac{2}{3}$ des élèves désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général, $\dfrac{1}{6}$ veulent aller en seconde technologique et les $5$ élèves restant souhaitent aller en seconde professionnelle.
1) Calculons la fraction d'élèves qui veulent aller en seconde professionnelle.
On sait que : $\dfrac{2}{3}$ des élèves désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général. Ce qui équivaut à $\dfrac{4}{6}$ du nombre total d'élèves.
De plus, $\dfrac{1}{6}$ des élèves veulent aller en seconde technologique.
Soit : $\dfrac{6}{6}$ la proportion totale représentant le nombre total d'élèves.
Alors, la fraction d'élèves voulant aller en seconde professionnelle sera donnée par :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{6}{6}-\left(\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\right)&=&\dfrac{6}{6}-\dfrac{5}{6}\\ \\&=&\dfrac{1}{6}\end{array}$
Ainsi, $\dfrac{1}{6}$ des élèves veulent étudier en seconde professionnelle.
2) Déterminons le nombre d'élèves de la classe.
On sait que : $5$ élèves souhaitent aller en seconde professionnelle. Ce qui correspond à $\dfrac{1}{6}$ du nombre total d'élèves.
On peut alors dire que : $\dfrac{1}{6}$ représente 5 élèves.
Ainsi, $\dfrac{4}{6}\;,\ \dfrac{1}{6}\ $ et $\ \dfrac{1}{6}$ représenteront le nombre total d'élèves donné par :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}&=&\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\right)+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\\ \\&=&(5+5+5+5)+5+5\\ \\&=&30\end{array}$
Par suite, le nombre d'élèves de la classe est de $30.$
3) Déterminons le nombre d'élèves de la classe désirant poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général.
Comme la classe compte $30$ élèves et que les $\dfrac{2}{3}$ désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général donc, on obtient :
$\dfrac{2}{3}\times 30=\dfrac{2\times 30}{3}=20$
Ce qui signifie que $20$ élèves de la classe désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général.
Exercice 5
Déterminons la fraction du rayon de mercure que représente le rayon de la lune.
On considère :
$R_{\text{terre}}$ : le rayon de la terre
$R_{\text{mercure}}$ : le rayon de mercure
$R_{\text{lune}}$ : le rayon de la lune
On sait que : le rayon de mercure est égal aux $\dfrac{3}{8}$ du rayon de la terre.
Ce qui se traduit par :
$$R_{\text{mercure}}=\dfrac{3}{8}R_{\text{terre}}$$
Ainsi, $8R_{\text{mercure}}=3R_{\text{terre}}$
Ce qui donne alors :
$$R_{\text{terre}}=\dfrac{8}{3}R_{\text{mercure}}\qquad\text{égalité (*)}$$
Or, le rayon de la lune est égal aux $\dfrac{3}{11}$ du rayon de la terre.
Donc,
$$R_{\text{lune}}=\dfrac{3}{11}R_{\text{terre}}$$
En remplaçant $R_{\text{terre}}$ par son expression trouvée dans l'égalité (*), on obtient :
$\begin{array}{rcl} R_{\text{lune}}&=&\dfrac{3}{11}R_{\text{terre}}\\ \\&=&\dfrac{3}{11}\times\dfrac{8}{3}R_{\text{mercure}}\\ \\&=&\dfrac{3\times 8}{11\times 3}R_{\text{mercure}}\\ \\&=&\dfrac{8}{11}R_{\text{mercure}}\end{array}$
Par suite, $\boxed{R_{\text{lune}}=\dfrac{8}{11}R_{\text{mercure}}}$
Ainsi, le rayon de la lune est égal aux $\dfrac{8}{11}$ du rayon de mercure.
Exercice 6 Problème de la vie courante
Un ordinateur est vendu $12\,600\text{ F}.$ Un tiers de son prix est versé à la commende, un cinquième à la livraison, le reste en dix mensualités identiques.
1) Déterminons la fraction du prix de l'ordinateur représentée par le montant d'une mensualité.
On appelle $P$ le prix de l'ordinateur, $S_{_{C}}$ la somme versée à la commande, $S_{_{L}}$ la somme versée à la livraison et $S_{_{R}}$ la somme restante, versée en dix mensualités identiques.
On a alors :
$$S_{_{R}}=P-(S_{_{C}}+S_{_{L}})$$
Or, on sait que : un tiers du prix est versé à la commande et un cinquième à la livraison. Donc,
$$S_{_{C}}=\dfrac{1}{3}P\quad\text{et}\quad S_{_{L}}=\dfrac{1}{5}P$$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} S_{_{R}}&=&P-(S_{_{C}}+S_{_{L}})\\ \\&=&p-\left(\dfrac{1}{3}P+\dfrac{1}{5}P\right)\\ \\&=&p-\left(\dfrac{1\times P\times 5}{3\times 5}+\dfrac{1\times P\times 3}{5\times 3}\right)\\ \\&=&p-\dfrac{5P+3P}{15}\\ \\&=&\dfrac{15P}{15}-\dfrac{8P}{15}\\ \\&=&\dfrac{15P-8P}{15}\\ \\&=&\dfrac{7P}{15}\end{array}$
D'où, $\boxed{S_{_{R}}=\dfrac{7}{15}P}$
Ainsi, le montant restant représente $\dfrac{7}{15}$ du prix de l'ordinateur.
Comme le montant d'une mensualité $S_{_{M}}$ est le dixième de la somme restante, soit :
$$S_{_{M}}=\dfrac{S_{_{R}}}{10}$$
alors,
$\begin{array}{rcl} S_{_{M}}&=&\dfrac{S_{_{R}}}{10}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{7}{15}P}{10}\\ \\&=&\dfrac{7}{15}P\times\dfrac{1}{10}\\ \\&=&\dfrac{7}{150}P\end{array}$
Par conséquent, le montant d'une mensualité représente $\dfrac{7}{150}$ du prix de l'ordinateur.
2) Calculons le montant d'une mensualité.
D'après la question 1), le montant $S_{_{M}}$ d'une mensualité est égal à $\dfrac{7}{150}$ du prix de l'ordinateur.
Or, l'ordinateur est vendu à $12600\text{ F}$, donc, $S_{_{M}}=\dfrac{7}{150}\times 12600$
Soit : $588\text{ F}$
Ainsi, le montant de chaque mensualité est de $588\text{ F}.$
Exercice 7 : Puissances
Mettons les expressions suivantes sous la forme de Puissances simples.
Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on a :
$\begin{array}{rcl} A&=&(2\times 3)^{-4}\times(2^{3})^{-2}\times 3^{2}\times 2^{-2}\\ \\&=& 2^{-4}\times 3^{-4}\times 2^{-6}\times 3^{2}\times 2^{-2}\\ \\&=&2^{-4}\times 2^{-6}\times 2^{-2}\times 3^{-4}\times 3^{2}\\ \\&=& 3^{-4-6-2}\times 3^{-4+2}\\ \\&=&2^{-12}\times 3^{-2}\end{array}$
D'où, $\boxed{A=2^{-12}\times 3^{-2}}$
$\begin{array}{rcl} B&=&\left(7^{-3}\times 2^{4}\right)^{-2}\times(7^{3})^{-2}\times 21\times 3\\ \\&=& 7^{6}\times 2^{-8}\times 7^{-6}\times 3\times 7\times 3\\ \\&=&2^{-8}\times 7^{6-6+1}\times 3^{2}\\ \\&=&2^{-8}\times 7\times 3^{2}\end{array}$
Donc, $\boxed{B=2^{-8}\times 7\times 3^{2}}$
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{2^{3}\times 3^{-2}\times(2^{-1})^{3}\times 3^{3}}{(3^{2})^{2}\times(2^{2}\times 3)^{+3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{3}\times 3^{-2}\times 2^{-3}\times 3^{3}}{3^{4}\times 2^{6}\times 3^{3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{3-3}\times 3^{3-2}}{3^{4+3}\times 2^{6}}\\ \\&=&\dfrac{3}{3^{7}\times 2^{6}}\\ \\&=&3\times 3^{-7}\times 2^{-6}\\ \\&=&3^{1-7}\times 2^{-6}\\ \\&=&3^{-6}\times 2^{-6}\\ \\&=&(3\times 2)^{-6}\\ \\&=&6^{-6} \end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=6^{-6}}$
$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{14\times 3^{-2}\times 0.5\times (2^{-1})^{-3}\times 7^{3}}{(7^{2})^{-2}\times(2^{2}\times 7)^{-3}}\\ \\&=&\dfrac{2\times 7\times 3^{-2}\times\dfrac{1}{2}\times 2^{3}\times 7^{3}}{7^{-4}\times 2^{-6}\times 7^{-3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{1+3}\times 7^{1+3}\times 3^{-2}\times 1}{7^{-4-3}\times 2^{-6}\times 2}\\ \\&=&\dfrac{2^{4}\times 7^{4}\times 3^{-2}}{7^{-7}\times 2^{-6+1}}\\ \\&=&\dfrac{2^{4}\times 7^{4}\times 3^{-2}}{7^{-7}\times 2^{-5}}\\ \\&=&2^{4}\times 2^{5}\times 7^{4}\times 7^{7}\times 3^{-2}\\ \\&=&2^{4+5}\times 7^{4+7}\times 3^{-2}\\ \\&=&2^{9}\times 7^{11}\times 3^{-2}\end{array}$
D'où, $\boxed{D=2^{9}\times 7^{11}\times 3^{-2}}$
Exercice 8
1) Mettons les expressions suivantes sous la forme de $2^{n}\times 3^{m}\times 5^{p}$, où $n\;,\ m\ $ et $\ p$ sont des entiers.
Soit : $C=12\times 36\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}$
Alors, en décomposant les nombres $12\;,\ 36\;,\ 6\ $ et $\ 100$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :
$12=2^{2}\times 3$
$36=2^{2}\times 3^{2}$
$6=2\times 3$
$100=2^{2}\times 5^{2}$
Ainsi, dans l'écriture de $C$, en remplaçant les nombres $12\;,\ 36\;,\ 6\ $ et $\ 100$ par leur expression, on trouve :
$\begin{array}{rcl} C&=&12\times 36\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 3\times 2^{2}\times 3^{2}\times(2\times 3)^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 3^{1}\times 2^{2}\times 3^{2}\times 2^{-5}\times 3^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 2^{2}\times 2^{-5}\times 2^{2}\times 3^{1}\times 3^{2}\times 3^{-5}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=& 2^{2+2-5+2}\times 3^{1+2-5}\times 5^{2-3}\\\\ &=& 2^{1}\times 3^{-2}\times 5^{-1} \end{array}$
D'où, $\boxed{C=2^{1}\times 3^{-2}\times 5^{-1}}$
Soit : $D=2\times 64\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}$
En décomposant les nombres $64\;,\ 6\ $ et $\ 100$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :
$64=2^{6}$
$6=2\times 3$
$100=2^{2}\times 5^{2}$
Ainsi, dans l'écriture de $D$, en remplaçant les nombres $64\;,\ 6\ $ et $\ 100$ par leur expression, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&2\times 64\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times(2\times 3)^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times 2^{-5}\times 3^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times 2^{-5}\times 2^{2}\times 3^{-5}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1+6-5+2}\times 3^{-5}\times 5^{2-3}\\\\&=&2^{4}\times 3^{-5}\times 5^{-1}\end{array}$
D'où, $\boxed{D=2^{4}\times 3^{-5}\times 5^{-1}}$
2) Donnons une écriture simple de $E\ $ et $\ F.$
Soit : $E=\dfrac{a^{2}\times(bc^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}$ avec ; $a\;,\ b\;,\ c\;,\ n\ $ et $\ m$ différents de zéro.
Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on obtient :
$\begin{array}{rcl} E &=& \dfrac{a^{2}(b c^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times (c^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times c^{4\times 3}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times c^{12}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=&a^{2}\times b^{4}\times c^{12}\times a^{2}\times b^{-2}\times c^{-2}\\\\&=&a^{2}\times a^{2}\times b^{4}\times b^{-2}\times c^{12}\times c^{-2}\\\\&=&a^{2+2}\times b^{4-2}\times c^{12-2}\\\\&=&a^{4}\times b^{2}\times c^{10}\end{array}$
D'où, $\boxed{E=a^{4}\times b^{2}\times c^{10}}$
Soit : $F=\dfrac{n^{-3}\times(n\times m)^{3}\times n^{6}}{m^{+5}\times n^{-8}\times m^{-7}}$ avec ; $a\;,\ b\;,\ c\;,\ n\ $ et $\ m$ différents de zéro.
Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on obtient :
$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{n^{-3}\times(n\times m)^{3}\times n^{6}}{m^{+5}\times n^{-8}\times m^{-7}}\\\\&=&\dfrac{n^{-3}\times n^{3}\times m^{3}\times n^{6}}{m^{5}\times n^{-8}\times m^{-7}}\\\\&=&n^{-3}\times n^{3}\times m^{3}\times n^{6}\times m^{-5}\times n^{8}\times m^{7}\\\\&=&n^{-3}\times n^{3}\times n^{6}\times n^{8}\times m^{3}\times m^{-5}\times m^{7}\\\\&=&n^{-3+3+6+8}\times m^{3-5+7}\\\\&=&n^{14}\times m^{5}\end{array}$
D'où, $\boxed{F=m^{5}\times n^{14}}$
Exercice 9
Déterminons le signe de chacun des nombres suivants :
$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{4}\;;\qquad\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}\;;\qquad\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\;;\qquad 4^{-8}\;;\qquad -\dfrac{1}{4^{7}}$
On rappelle que d'après les propriétés sur les puissances, on a :
$-\ $ si $a$ est un nombre rationnel positif et $n$ un entier naturel alors :
$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est positif.
$\ \ \centerdot\ a^{-n}$ est positif.
$-\ $ si $a$ est un nombre rationnel négatif et $n$ un entier naturel alors :
$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est positif si $n$ est un nombre pair ; c'est-à-dire multiple de $2$
$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est négatif si $n$ est un nombre impair ; c'est-à-dire n'est pas multiple de $2$
Ainsi, en appliquant ces propriétés, on obtient :
$-\dfrac{1}{3}$ est un nombre rationnel négatif et $4$ est un nombre entier naturel paire.
Par conséquent, $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{4}$ est positif.
$-\dfrac{1}{2}$ est un nombre rationnel négatif et $5$ est un nombre entier naturel impaire.
Donc, $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}$ est négatif.
On a : $\dfrac{1}{2}$ est un nombre rationnel positif et $5$ est un entier naturel.
Alors, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}$ est positif.
On a : $4$ est un nombre positif et $8$ un entier naturel.
Par conséquent, $4^{-8}$ est un nombre positif.
On a : $\dfrac{1}{4^{7}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{7}$ est un nombre positif.
Par conséquent, son opposé $-\dfrac{1}{4^{7}}$ est négatif.
Exercice 10
Mettons les expressions suivantes sous la forme de $a\times 10^{p}$, où $p\in\mathbb{Z}.$
On rappelle que si $n\ $ et $\ m$ sont deux entiers relatifs alors, on a :
$$10^{n}\times 10^{m}=10^{n+m}$$
En appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A&=&10^{7}\times 10^{-4}\times 10^{2}\\\\&=&10^{7-4+2}\\\\&=&10^{5}\end{array}$
D'où, $\boxed{A=1\times 10^{5}}$
$\begin{array}{rcl} B&=&5.7\times 10^{-7}\times(10^{-5}\times 10^{+2})^{-2}\\\\&=&5.7\times 10^{-7}\times 10^{(-5)\times(-2)}\times 10^{(+2)\times(-2)}\\\\&=&5.7\times 10^{-7}\times 10^{10}\times 10^{-4}\\\\&=&5.7\times 10^{-7+10-4}\\\\&=&5.7\times 10^{-1}\end{array}$
D'où, $\boxed{B=5.7\times 10^{-1}}$
De plus, on rappelle que si $a\ $ et $\ b$ sont deux nombres et $n$ un entier relatif alors, on a :
$$a\times 10^{n}-b\times 10^{n}=(a-b)\times 10^{n}$$
En appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&105.7\times 10^{-7}-120\times 10^{-7}\\\\&=&(105.7-120)\times 10^{-7}\\\\&=&-14.3\times 10^{-7}\end{array}$
D'où, $\boxed{C=-14.3\times 10^{-7}}$
Soit : $D=2.9\times 10^{-1}-17.8\times 10^{-2}$
Alors, on peut écrire : $2.9\times 10^{-1}=29\times 10^{-2}.$
Ainsi, en remplaçant dans l'expression de $D$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&2.9\times 10^{-1}-17.8\times 10^{-2}\\\\&=&29\times 10^{-2}-17.8\times 10^{-2}\\\\&=&(29-17.8)\times 10^{-2}\\\\&=&11.2\times 10^{-2}\end{array}$
D'où, $\boxed{D=11.2\times 10^{-2}}$
Exercice 11
Simplifions les expressions suivantes en utilisant les propriétés des puissances de $10.$
On a :
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{10^{-5}\times 10^{2}}{10^{-7}\times 10^{-4}}\\\\&=&10^{-5}\times 10^{2}\times 10^{7}\times 10^{4}\\\\&=&10^{-5+2+7+4}\\\\&=&10^{8}\end{array}$
Donc, $\boxed{A=10^{8}}$
Soit : $B=\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{20\times(10^{2})^{5}\times 100}.$
En réécrivant $20\ $ et $\ 100$ sous forme de puissance de $10$, on obtient : $20=2\times 10^{1}\ $ et $\ 100=10^{2}.$
Alors, en remplaçant dans l'expression de $B$, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{20\times(10^{2})^{5}\times 100}\\\\&=&\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{2\times 10^{1}\times 10^{2\times 5}\times 10^{2}}\\\\&=&\dfrac{8\times 25\times 10^{5}\times 10^{-6}}{2\times 10^{1}\times 10^{10}\times 10^{2}}\\\\&=&\dfrac{200\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 100\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2+5-6-1-10-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-12}}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\times 10^{-12}\\\\&=&10^{-12}\end{array}$
D'où, $\boxed{B=10^{-12}}$
Soit : $C=\dfrac{0.25+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}$
Alors, on peut écrire : $0.25=25\times 10^{-2}$
Ainsi, en remplaçant dans l'expression de $C$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{0.25+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{25\times 10^{-2}+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{(25+0.5-15)\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2}\times 10^{3}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2+3}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{1}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5}{5}\times 10^{1}\\\\&=&2.1\times 10^{1}\end{array}$
D'où, $\boxed{C=2.1\times 10^{1}}$
Soit : $D=\dfrac{4\times 10^{-5}\times 0.5\times 10^{7}}{10^{7}\times 2\times 10^{-9}}$
Alors, on a :
$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{4\times 10^{-5}\times 0.5\times 10^{7}}{10^{7}\times 2\times 10^{-9}}\\\\&=&\dfrac{4\times 0.5\times 10^{-5}\times 10^{7}}{2\times 10^{7}\times 10^{-9}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-5+7}}{2\times 10^{7-9}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}}{2\times 10^{-2}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}\times 10^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2+2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{4}}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\times 10^{4}\\\\&=&1\times 10^{4}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{D=10^{4}}$
Exercice 12
Écrivons les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.
On rappelle que :
$\ \ |a|=a$ si $a$ est un nombre positif
$\ \ |a|=-a$ si $a$ est un nombre négatif
Soit : $A=\left|4-\dfrac{9}{7}\right|$
Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A&=&\left|4-\dfrac{9}{7}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{28}{7}-\dfrac{9}{7}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{19}{7}\right|\\\\&=&\dfrac{19}{7}\end{array}$
D'où, $\boxed{A=\dfrac{19}{7}}$
Soit : $B=\left|1-\dfrac{1}{4}\div 7\right|$
Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&\left|1-\left(\dfrac{1}{4}\div 7\right)\right|\\\\&=&\left|1-\left(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{7}\right)\right|\\\\&=&\left|1-\dfrac{1}{28}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{28}{28}-\dfrac{1}{28}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{28-1}{28}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{27}{28}\right|\\\\&=&\dfrac{27}{28}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{B=\dfrac{27}{28}}$
Soit : $C=\left|\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}\right|$
Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\left|\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{9}{12}-\dfrac{16}{12}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{9-16}{12}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{-7}{12}\right|\\\\&=&\dfrac{7}{12}\end{array}$
D'où, $\boxed{C=\dfrac{7}{12}}$
Soit : $D=\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}\div 3\right|$
Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :
$\begin{array}{rcl} D&=&\left|\dfrac{2}{3}-\left(\dfrac{1}{2}\div 3\right)\right|\\\\&=&\left|\dfrac{2}{3}-\left(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}\right)\right|\\\\&=&\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{4-1}{6}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{3}{6}\right|\\\\&=&\dfrac{3}{6}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$
Donc, $\boxed{D=\dfrac{1}{2}}$
Exercice 13
On considère les nombres rationnels : $a\;,\ b\ $ et $\ c$ tels que : $a>0\;,\ b<0\ $ et $\ c>0.$
Écrivons les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.
Comme $a\ $ et $\ c$ sont positifs alors, $|a|=a\ $ et $\ |c|=c.$
Comme $b$ est négatif alors, $|b|=-b.$
Donc, dans la suite, on va remplacer la valeur absolue de ces nombre par leur valeur.
Soit : $A=|a|+|b|-|c|$
Ainsi, en remplaçant dans l'expression de $A$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A&=&|a|+|b|-|c|\\\\&=&a-b-c\end{array}$
D'où, $\boxed{A=a-b-c}$
Soit : $B=|-7abc|$
On rappelle que si $a\ $ et $\ b$ sont deux nombres rationnels alors :
$$|ab|=|a|\times|b|$$
Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&|-7abc|\\\\&=&|-7|\times|a|\times|b|\times|c|\\\\&=&7\times a\times(-b)\times c\\\\&=&-7abc\end{array}$
D'où, $\boxed{B=-7abc}$
Soit : $C=\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|$
On rappelle que $b\ $ et $\ c$ sont deux nombres rationnels avec $c\neq 0$ alors :
$$\left|\dfrac{b}{c}\right|=\dfrac{|b|}{|c|}$$
Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\left|\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\dfrac{|b|}{|c|}\\\\&=&a\times\dfrac{-b}{c}\\\\&=&\dfrac{-ab}{c}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=-\dfrac{ab}{c}}$
Soit : $D=|-a+b|$
Or, on sait que $a$ est positif donc, $-a$ est négatif.
Comme $b$ est négatif alors, $-a+b$ qui est la somme de deux nombres négatifs est aussi négatif.
Par suite, d'après la définition de la valeur absolue, on a :
$\begin{array}{rcl} D&=&|-a+b|\\\\&=&-(-a+b)\\\\&=&a-b\end{array}$
Ainsi, $\boxed{D=a-b}$
Exercice 14
1) Dans chacun des cas ci-dessous, nous allons voir si $A$ est égale $B$
a) $A=\dfrac{5}{6}\ $ et $\ B=\dfrac{30}{36}$
Dans l'écriture de $B$ on remarque que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par $6.$
Donc, en simplifiant par $6$, on obtient :
$B=\dfrac{30}{36}=\dfrac{30\div 6}{36\div 6}=\dfrac{5}{6}$
D'où, $B=\dfrac{5}{6}$
Par conséquent, $\boxed{A=B}$
b) $A=\dfrac{-7}{12}\ $ et $\ B=\dfrac{35}{-60}$
Soit : $A=\dfrac{-7}{12}$
Alors, en multipliant le numérateur et le dénominateur de $A$ par $5$, on obtient :
Donc, en simplifiant par $5$, on trouve :
$A=\dfrac{-7}{12}=\dfrac{-7\times 5}{12\times 5}=\dfrac{-35}{60}$
Ainsi, $A=\dfrac{35}{-60}$
Par conséquent, $\boxed{A=B}$
2) Comparons les nombres rationnels suivants en utilisant deux méthodes différentes.
a) $\dfrac{5}{6}\ $ et $\ -\dfrac{2}{5}$
En effet, on sait que tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.
Or, $\dfrac{5}{6}>0\ $ et $\ -\dfrac{2}{5}<0.$
Donc, $\dfrac{5}{6}$ est plus grand que $-\dfrac{2}{5}$
b) $\dfrac{2}{7}\ $ et $\ \dfrac{3}{8}$
Par calcul direct, on a :
$\dfrac{2}{7}=0.28\ $ et $\ \dfrac{3}{8}=0.37$
Comme $0.37$ est supérieur à $0.28$ alors, $\dfrac{3}{8}$ est plus grand que $\dfrac{2}{7}$
Autrement, en réduisant au même dénominateur, on obtient :
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{2\times 8}{7\times 8}=\dfrac{16}{56}$
$\dfrac{3}{8}=\dfrac{3\times 7}{8\times 7}=\dfrac{21}{56}$
Or, on sait que si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Comme $21>16$ alors, $\dfrac{21}{56}$ est plus grand que $\dfrac{16}{56}.$
Par conséquent, $\dfrac{3}{8}$ est plus grand que $\dfrac{2}{7}$
c) $5.1\ $ et $\ \dfrac{14}{3}$
Par calcul direct, on a : $\dfrac{14}{3}=4.66$
Comme $5.1$ est supérieur à $4.66$ alors, $5.1$ est plus grand que $\dfrac{14}{3}$
Autrement, on a : $5.1=\dfrac{51}{10}$
Donc, en réduisant au même dénominateur, on obtient :
$\dfrac{51}{10}=\dfrac{51\times 3}{10\times 3}=\dfrac{153}{30}$
$\dfrac{14}{3}=\dfrac{14\times 10}{3\times 10}=\dfrac{140}{30}$
Or, on sait que si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Comme $153>140$ alors, $\dfrac{153}{30}$ est plus grand que $\dfrac{140}{30}.$
Par conséquent, $5.1$ est plus grand que $\dfrac{14}{3}$
Exercice 15
Rangeons les nombres rationnels ci-dessous dans l'ordre croissant :
$$\dfrac{8}{7}\;;\quad\dfrac{5}{8}\;;\quad\dfrac{7}{8}\;;\quad\dfrac{8}{6}\;;\quad\dfrac{8}{5}\ \text{ et }\ \dfrac{6}{8}$$
En effet, on remarque que :
$\dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{8}{6}\;;\ \dfrac{8}{5}$ ont même numérateur.
Or, si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Donc,
$$\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$
De la même manière, on constate que :
$\dfrac{5}{8}\;;\ \dfrac{7}{8}\;;\ \dfrac{6}{8}$ ont même dénominateur
Or, si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Donc,
$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}$$
Par ailleurs :
$\dfrac{7}{8}<1$ car le numérateur $7$ est inférieur au dénominateur $8.$
$\dfrac{8}{7}>1$ car le numérateur $8$ est supérieur au dénominateur $7.$
Ainsi, on obtient :
$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<1\ \text{ et }\ 1<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$
Par suite,
$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<1<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$
D'où, un rangement de ces nombres rationnels dans l'ordre croissant est donné par :
$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$
Exercice 16
On considère les nombres rationnels suivants :
$$\dfrac{64}{192}\;;\quad\dfrac{18}{84}\;;\quad +\dfrac{84}{28}\;;\quad\dfrac{7}{21}\;;\quad -\dfrac{120}{160}\;;\quad -\dfrac{-16}{-48}\ \text{ et }\ \dfrac{210}{-441}$$
1) Simplifions l'écriture de chacun des nombres rationnels ci-dessus.
En effet, on sait que pour simplifier une fraction, on peut utiliser le $PGCD$ du numérateur et du dénominateur.
Soit à simplifier $\dfrac{64}{192}$
En décomposant les nombres $64\ $ et $\ 192$ en un produit de facteurs premiers, on obtient : $64=1\times 2^{6}\quad$ et $\quad 192=1\times 2^{6}\times 3$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} PGCD\;(64\;;\ 192)&=&1\times 2^{6}\\\\&=&64\end{array}$
Donc, $\boxed{PGCD\;(64\;;\ 192)=64}$
Comme $PGCD\;(64\;;\ 192)=64$ alors, en divisant le numérateur et le dénominateur par $64$, on obtient :
$\dfrac{64}{192}=\dfrac{64\div 64}{192\div 64}=\dfrac{1}{3}$
Ainsi, $\boxed{\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}}$
Soit à simplifier $\dfrac{18}{84}$
En décomposant les nombres $18\ $ et $\ 84$ en un produit de facteurs premiers, on obtient : $18=1\times 2\times 3^{2} \quad$ et $\quad 84=1\times 2^{2}\times 3\times 7$
Ainsi,
$\begin{array}{rcl} PGCD\;(18\;;\ 84)&=&1\times 2\times 3\\\\&=&6\end{array}$
Donc, $\boxed{PGCD\;(18\;;\ 84)=6}$
Comme $PGCD\;(18\;;\ 84)=6$ alors, en divisant le numérateur et le dénominateur par $6$, on trouve :
$\dfrac{18}{84}=\dfrac{18\div 6}{84\div 6}=\dfrac{3}{14}$
D'où, $\boxed{\dfrac{18}{84}=\dfrac{3}{14}}$
Soit à simplifier $+\dfrac{84}{28}$
En décomposant les nombres $28\ $ et $\ 84$ en un produit de facteurs premiers, on obtient : $28=1\times 2^{2}\times 7\quad$ et $\quad 84=1\times 2^{2}\times 3\times 7$
Alors,
$\begin{array}{rcl} PGCD\;(28\;;\ 84)&=&1\times 2^{2}\times 7\\\\&=&28\end{array}$
Donc, $\boxed{PGCD\;(28\;;\ 84)=28}$
Comme $PGCD\;(28\;;\ 84)=28$ alors, on a :
$\dfrac{84}{28}=\dfrac{84\div 28}{28\div 28}=\dfrac{3}{1}$
D'où, $\boxed{\dfrac{84}{28}=3}$
Soit à simplifier $\dfrac{7}{21}$
On a : $\dfrac{7}{21}=\dfrac{7}{3\times 7}$
Simplifions alors par $7.$
Ce qui donne : $\boxed{\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}}$
Soit à simplifier $-\dfrac{120}{160}$
On a :
$\begin{array}{rcl} -\dfrac{120}{160}&=&-\dfrac{120\div 10}{160\div 10}\\\\&=&-\dfrac{12}{16}\\\\&=&-\dfrac{3\times 4}{4\times 4}\\\\&=&-\dfrac{3}{4}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{-\dfrac{120}{160}=-\dfrac{3}{4}}$
Soit à simplifier $-\dfrac{-16}{-48}$
Comme $48=3\times 16$ alors, on a :
$\begin{array}{rcl} -\dfrac{-16}{-48}&=&-\dfrac{16}{48}\\\\&=&-\dfrac{16}{3\times 16}\\\\&=&-\dfrac{1}{3}\end{array}$
D'où, $\boxed{-\dfrac{-16}{-48}=-\dfrac{1}{3}}$
Soit à simplifier $\dfrac{210}{-441}$
On sait que : $441=21\times 21\ $ et $\ 210=21\times 10$
Donc,
$\begin{array}{rcl} \dfrac{210}{-441}&=&-\dfrac{210}{441}\\\\&=&-\dfrac{21\times 10}{21\times 21}\\\\&=&-\dfrac{10}{21}\end{array}$
2) Désignons ceux qui sont des opposés.
On rappelle que deux nombres rationnels $a\ $ et $\ b$ sont opposés si, et seulement si :
$$a+b=0$$
D'après le résultat de la question $1)$, on a :
$\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}\;;\quad \dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\ $ et $\ -\dfrac{-16}{-48}=-\dfrac{1}{3}$
Or, $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$
Donc, les nombres $\dfrac{64}{192}\ $ et $\ -\dfrac{-16}{-48}$ sont des opposés.
De même, les nombres rationnels $\dfrac{7}{21}\ $ et $\ -\dfrac{-16}{-48}$ sont des opposés.
3) Désignons sont ceux qui sont des inverses
On rappelle que deux nombres rationnels $a\ $ et $\ b$ sont inverses si, et seulement si :
$$a\times b=1$$
D'après le résultat de la question $1)$, on a :
$\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}\;;\quad \dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\ $ et $\ +\dfrac{84}{28}=3$
Or, $\dfrac{1}{3}\times 3=\dfrac{3}{3}=1$
Donc, les nombres $\dfrac{64}{192}\ $ et $\ +\dfrac{84}{28}$ sont des inverses.
De même, les nombres rationnels $\dfrac{7}{21}\ $ et $\ +\dfrac{84}{28}$ sont aussi des inverses.
Exercice 17
Calculons chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.
Soit : $A=\left(-\dfrac{8}{7}\right)+\left(-\dfrac{7}{14}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right)$
Alors, en appliquant la règle de suppression des parenthèses et en réduisant au même dénominateur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A&=&\left(-\dfrac{8}{7}\right)+\left(-\dfrac{7}{14}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\&=&-\dfrac{8}{7}-\dfrac{7}{14}+\dfrac{3}{2}\\\\&=& -\dfrac{16}{14}-\dfrac{7}{14}+\dfrac{21}{14}\\\\&=&\dfrac{(-16-7+21)}{14}\\\\&=&\dfrac{-2}{14}\\\\&=&\dfrac{-2\div 2}{14\div 2}\\\\&=&\dfrac{-1}{7}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{A=-\dfrac{1}{7}}$
Soit : $B=\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-5\right)^{2}$
Alors, en calculant, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-5\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{10}{2}\right)^{2}\\\\&=& \dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5-10}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{-5}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\left(\dfrac{1}{7}\times\dfrac{25}{4}\right)\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{25}{28}\\\\&=&\dfrac{12}{28}-\dfrac{25}{28}\\\\ &=&\dfrac{12-25}{28}\\\\&=&\dfrac{-13}{28}\end{array}$
D'où, $\boxed{B=-\dfrac{13}{28}}$
Soit : $C=\left|1-\dfrac{4}{3}\right|-\left|1+\dfrac{1}{2}\right|\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
Alors, en appliquant les propriétés de la valeur absolue, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\left|1-\dfrac{4}{3}\right|-\left|1+\dfrac{1}{2}\right|\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left|\dfrac{3}{3}-\dfrac{4}{3}\right|-\left|\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\left|\dfrac{3-4}{3}\right|-\left|\dfrac{2+1}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\left|\dfrac{-1}{3}\right|-\left|\dfrac{3}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\ &=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{8}\\\\&=&\dfrac{8}{24}-\dfrac{9}{24}\\\\&=&\dfrac{8-9}{24}\\\\&=&\dfrac{-1}{24}\end{array}$
Donc, $\boxed{C=-\dfrac{1}{24}}$
Soit : $D=\left(\dfrac{4-(2-5)^{2}}{7-5}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}$
Alors, en calculant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&\left(\dfrac{4-(2-5)^{2}}{7-5}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{4-(-3)^{2}}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{4-9}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{-5}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{(-5)^{3}}{2^{3}}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{-125}{8}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{-125+17}{8}\\\\&=&\dfrac{-108}{8}\\\\&=&\dfrac{-108\div 4}{8\div 4}\\\\&=&\dfrac{-27}{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{D=-\dfrac{27}{2}}$
Exercice 18
Sachant que : $a=-\dfrac{5}{2}\;;\ b=\dfrac{3}{2}\;;\ c=\dfrac{1}{2}\ $ et $\ d=\dfrac{1}{6}$ calculons puis rendons irréductible le résultat de :
$$X=\dfrac{a+b}{b-d}\;;\quad Y=a\times c+b\div d\ \text{ et }\ Z=(b-a+c)^{2}$$
Soit : $X=\dfrac{a+b}{b-d}$
En remplaçant $a\;;\ b\ $ et $\ d$ par leur valeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{a+b}{b-a}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}}\\\\&=& \dfrac{-\dfrac{2}{2}}{\dfrac{9}{6}-\dfrac{1}{6}}\\\\&=&\dfrac{-1}{\dfrac{8}{6}}\\\\&=&\dfrac{-6}{8}\\\\&=&\dfrac{-6\div 2}{8\div 2}\\\\&=&\dfrac{-3}{4}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{X=-\dfrac{3}{4}}$
Soit : $Y=a\times c+b\div d$
Remplaçons $a\;;\ b\;;\ c $ et $\ d$ par leur valeur.
On obtient alors :
$\begin{array}{rcl} Y&=&a\times c+b\div d\\\\&=&\left(-\dfrac{5}{2}\times\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}\div\dfrac{1}{6}\right)\\\\&=&-\dfrac{5}{4}+\left(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{1}\right)\\\\&=& \dfrac{-5}{4}+\dfrac{18}{2}\\\\&=&-\dfrac{5}{4}+\dfrac{36}{4}\\\\&=&\dfrac{-5+36}{4}\\\\&=&\dfrac{31}{4}\end{array}$
Donc, $\boxed{Y=\dfrac{31}{4}}$
Soit : $Z=(b-a+c)^{2}$
En remplaçant $a\;;\ b\ $ et $\ c$ par leur valeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} Z&=&(b-a+c)^{2}\nonumber\\ &=&\left(\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{3+5+1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{9^{2}}{2^{2}}\\\\&=&\dfrac{81}{4}\end{array}$
D'où, $\boxed{Z=\dfrac{81}{4}}$
Exercice 19
Calculons chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.
Soit : $A=\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$
Alors, en calculant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3+1}{3}}{\dfrac{3-1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{2}{3}}\\\\&=&\dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{2}\\\\&=&\dfrac{4}{2}\\\\&=&2\end{array}$
Donc, $\boxed{A=2}$
Soit : $B=\dfrac{2^{2}+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}$
En calculant, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{2^{2}+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}\\\\&=& \dfrac{4+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{16}{4}+\dfrac{3}{4}}{\dfrac{-20}{4}+\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{16+3}{4}}{\dfrac{-20+3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{19}{4}}{\dfrac{-17}{4}}\\\\&=&\dfrac{19}{4}\times\dfrac{4}{-17}\\\\&=&\dfrac{19}{-17}\end{array}$
D'où, $\boxed{B=-\dfrac{19}{17}}$
Soit : $C=\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{2-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{3}}$
Alors, en calculant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{2-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{8}{4}+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{\dfrac{8}{4}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3-1}{3}}{\dfrac{8+1}{4}}\div\dfrac{\dfrac{8-1}{4}}{\dfrac{3+1}{3}}\\\\ &=& \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{9}{4}}\div\dfrac{\dfrac{7}{4}}{\dfrac{4}{3}}\\\\ &=& \left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{9}\right)\div\left(\dfrac{7}{4}\times\dfrac{3}{4}\right)\\\\ &=& \left(\dfrac{8}{27}\right)\div\left(\dfrac{21}{16}\right)\\\\ &=& \dfrac{8}{27}\times\dfrac{16}{21}\\\\ &=& \dfrac{128}{567}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{128}{567}}$
Soit : $F=\dfrac{1+\dfrac{2\pi}{3}}{4-\dfrac{3}{2\pi}}$
En calculant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} F&=& \dfrac{1+\dfrac{2\pi}{3}}{4-\dfrac{3}{2\pi}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}+\dfrac{2\pi}{3}}{\dfrac{8\pi}{2\pi}-\dfrac{3}{2\pi}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3+2\pi}{3}}{\dfrac{8\pi-3}{2\pi}}\\\\&=& \dfrac{3+2\pi}{3}\times\dfrac{2\pi}{8\pi-3}\\\\&=&\dfrac{(3+2\pi)(2\pi)}{3(8\pi-3)}\\\\&=&\dfrac{6\pi+4\pi^{2}}{24\pi-9}\end{array}$
Donc, $\boxed{F=\dfrac{6\pi+4\pi^{2}}{24\pi-9}}$
Exercice 20
Calculons puis rendons irréductible.
Soit : $A=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}+\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}\times 4}}$
Alors, en calculant, on trouve :
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}+\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}\times 4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{28}}+\dfrac{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{\dfrac{20}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\times\dfrac{28}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{80}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{10}}\\\\&=&\dfrac{28}{6}+\dfrac{\dfrac{1}{80}}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{10}{3}}\\\\&=&\dfrac{14}{3}+\dfrac{\dfrac{1}{80}}{\dfrac{10}{21}}\\\\&=&\dfrac{14}{3}+\left(\dfrac{1}{80}\times\dfrac{21}{10}\right)\\\\&=&\dfrac{14}{3}+\dfrac{21}{800}\\\\&=&\dfrac{11\,200}{24\,000}+\dfrac{63}{24\,000}\\\\&=&\dfrac{11\,263}{24\,000}\end{array}$
D'où, $\boxed{A=\dfrac{11\,263}{24\,000}}$
Soit : $B=\dfrac{(-2)^{2}\times\dfrac{5}{3}}{7-\dfrac{2}{3}}\div\dfrac{(-1)^{9}+\dfrac{4}{9}}{1-\dfrac{2}{11}}$
On rappelle que si $n$ est un entier naturel alors :
$\ \centerdot\ (-1)^{n}=1$ si $n$ est pair ; c'est-à-dire, si $n$ est un multiple de $2$
$\ \centerdot\ (-1)^{n}=-1$ si $n$ est impair ; c'est-à-dire, si $n$ n'est pas multiple de $2$
Alors, en calculant, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{(-2)^{2}\times\dfrac{5}{3}}{7-\dfrac{2}{3}}\div\dfrac{(-1)^{9}+\dfrac{4}{9}}{1-\dfrac{2}{11}}\\\\&=&\dfrac{4\times\dfrac{5}{3}}{\dfrac{21}{3}-\dfrac{2}{3}}\div\dfrac{-1+\dfrac{4}{9}}{\dfrac{11}{11}-\dfrac{2}{11}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{20}{3}}{\dfrac{21-2}{3}}\div\dfrac{\dfrac{-9}{9}+\dfrac{4}{9}}{\dfrac{11-2}{11}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{20}{3}}{\dfrac{19}{3}}\div\dfrac{\dfrac{-9+4}{9}}{\dfrac{9}{11}}\\\\&=&\left(\dfrac{20}{3}\times\dfrac{3}{19}\right)\div\dfrac{\dfrac{-5}{9}}{\dfrac{9}{11}}\\\\&=&\dfrac{20}{19}\div\left(\dfrac{-5}{9}\times\dfrac{11}{9}\right)\\\\&=&\dfrac{20}{19}\div\left(\dfrac{-55}{81}\right)\\\\&=&\dfrac{20}{19}\times\dfrac{81}{-55}\\\\&=&\dfrac{4}{19}\times\dfrac{81}{-11}\\\\&=&\dfrac{324}{-209}\end{array}$
Donc, $\boxed{B=-\dfrac{324}{209}}$
Soit : $C=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}-\dfrac{\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{3}{4}}$
Alors, en calculant, on trouve :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}-\dfrac{\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{28}}-\dfrac{\dfrac{4}{40}}{\dfrac{3}{28}}\\\\&=&\left(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{28}{2}\right)-\left(\dfrac{4}{40}\times\dfrac{28}{3}\right)\\\\&=&\left(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{14}{1}\right)-\left(\dfrac{1}{10}\times\dfrac{28}{3}\right)\\\\&=&\dfrac{14}{3}-\dfrac{14}{15}\\\\&=&\dfrac{70}{15}-\dfrac{14}{15}\\\\&=&\dfrac{56}{15}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{56}{15}}$
Soit : $D=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{4}}\times\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{4}}{5}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+4}}$
Alors, en calculant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{4}}\times\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{4}}{5}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{8}{28}+\dfrac{7}{28}}\times\dfrac{\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{2}}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{15}{28}}\times\dfrac{\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{13}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\times\dfrac{28}{15}\times\dfrac{\dfrac{8}{160}-\dfrac{20}{160}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{1}\times\dfrac{2}{13}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{\dfrac{-12}{160}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{6}{13}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{\dfrac{-12}{160}}{\dfrac{13}{91}-\dfrac{42}{91}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{\dfrac{-12}{160}}{\dfrac{-29}{91}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\left(\dfrac{-12}{160}\times\dfrac{91}{-29}\right)\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{12}{160}\times\dfrac{91}{29}\\\\&=&\dfrac{4\times 7\times 3\times 4\times 91}{3\times 15\times 4\times 4\times 10\times 29}\\\\&=&\dfrac{7\times 91}{15\times 10\times 29}\\\\&=&\dfrac{637}{4\,350}\end{array}$
D'où, $\boxed{D=\dfrac{637}{4\,350}}$
Exercice 21
On considère les encadrements suivants :
$$1.720<x<1.721\ \text{ et }\ 1.5<y<1.51$$
a) Donnons un encadrement d'ordre $1$ de $x+y.$
Cela signifie d'encadrer $x+y$ par deux nombres décimaux à un chiffre après la virgule.
On a :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\1.5&<&y&<&1.51 \end{array}$$
Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\\\+\quad 1.5&<&y&<&1.51\\\\\hline \\=\quad 3.22&<&x+y&<&3.231\end{array}$$
Ainsi, un encadrement d'ordre $1$ de $x+y$ est donné par :
$$\boxed{3.2<x+y<3.3}$$
b) Donnons un encadrement d'ordre $2$ de $x-y$ puis en déduisons sa valeur approchée par défaut.
Cela revient à encadrer $x-y$ par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule.
On va d'abord encadre $(-y)$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $y$ par le même nombre $-1.$
On rappelle que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie l'encadrement par un nombre négatif.
Comme $1.5<y<1.51$ alors, on a : $-1.51<-y<-1.5$
Ainsi, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\-1.51&<&-y&<&-1.5 \end{array}$$
Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\\\-1.51&<&-y&<&-1.5\\\\\hline \\=\quad 0.21&<&x+y&<&0.221\end{array}$$
D'où, un encadrement d'ordre $2$ de $x-y$ est donné par :
$$\boxed{0.21<x-y<0.22}$$
Par conséquent, la valeur approchée par défaut de $x-y$ est égale à : $0.21$
Exercice 22
On considère les encadrements suivants :
$$3.80<x<3.81\ \text{ et }\ 1.5<y<1.51$$
1) Donnons un encadrement de $3x+2y$ à $10^{-1}$ prés puis en déduisons sa valeur approchée par excès.
On commence par encadrer $3x$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $x$ par le même nombre $3.$
On obtient alors : $3\times 3.80<3\times x<3\times 3.81$
Ce qui donne : $11.4<3x<11.43$
Ensuite, on encadre $2y$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $y$ par le même nombre $2.$
On obtient alors : $2\times 1.5<2y<2\times 1.51$
Ce qui donne : $3<2y<3.02$
Ainsi, on a :
$$\begin{array}{rcccl} 11.4&<&3x&<&11.43\\3&<&2y&<&3.02\end{array}$$
Par suite, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 11.4&<&3x&<&11.43\\\\+\quad 3&<&2y&<&3.02\\\\\hline \\=\quad 14.4&<&3x+2y&<&14.45\end{array}$$
Ainsi, un encadrement de $3x+2y$ à $10^{-1}$ près est donné par :
$$\boxed{14.4<3x+2y<14.5}$$
Sa valeur approchée par excès est donc égale à $14.5$
2) Donnons un encadrement de $2x-3y$ à $10^{-2}$ prés.
On commence par encadrer $(-3y)$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $y$ par le même nombre $-3.$
On rappelle que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie l'encadrement par un nombre négatif.
Comme $1.5<y<1.51$ alors, on a : $-3\times 1.51<-3\times y<-3\times 1.5$
Ce qui donne : $-4.53<-3y<-4.5$
Ensuite, on encadre $2x$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $x$ par le même nombre $2.$
On obtient alors : $2\times 3.80<2x<2\times 3.81$
Ce qui donne : $7.6<2x<7.62$
Ainsi, on a :
$$\begin{array}{rcccl} 7.6&<&2x&<&7.62\\-4.53&<&-3y&<&-4.5\end{array}$$
Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 7.6&<&2x&<&7.62\\\\-4.53&<&-3y&<&-4.5\\\\\hline \\=\quad 3.07&<&2x-3y&<&3.12\end{array}$$
D'où, un encadrement de $2x-3y$ à $10^{-2}$ prés est donné par :
$$\boxed{3.07<2x-3y<3.12}$$
3) Donnons un encadrement de $\dfrac{x}{y}$ à $10^{-1}$ prés.
On commence par encadrer $\dfrac{1}{y}$ en remplaçant chaque membre de l'encadrement de $y$ par son inverse tout en changeant le sens des inégalités.
Comme $1.5<y<1.51$ alors, on a : $\dfrac{1}{1.51}<\dfrac{1}{y}<\dfrac{1}{1.5}$
Ensuite, on multiplie membre à membre l'encadrement de $x$ par celui de $\dfrac{1}{y}.$
On obtient : $3.80\times\dfrac{1}{1.51}<x\times\dfrac{1}{y}<3.81\times\dfrac{1}{1.5}$
Ce qui donne : $\dfrac{3.80}{1.51}<\dfrac{x}{y}<\dfrac{3.81}{1.5}$
On trouve alors : $2.51<\dfrac{x}{y}<2.54$
Ainsi, un encadrement de $\dfrac{x}{y}$ à $10^{-1}$ prés est donné par :
$$\boxed{2.5<\dfrac{x}{y}<2.6}$$
Exercice 23
On considère un rectangle dont les dimensions en $cm$ sont $3\ $ et $\ x-4.$
On suppose que : $10\leq x<15.$
Donnons un encadrement de l'aire $A$ en $cm^{2}$ de ce rectangle d'amplitude la plus petite possible.
Comme les dimensions sont $3\ $ et $\ x-4$ alors, l'aire $A$ de ce rectangle est donnée par :
$$A=3\times(x-4)$$
Or, $10\leq x<15.$
Donc, $10-4\leq x-4<15-4.$
Ce qui donne : $6\leq x-4<11.$
En multipliant chaque membre de cet encadrement par le même nombre $3$, on obtient : $3\times 6\leq 3\times(x-4)<3\times 11.$
Donc, $18\leq 3\times(x-4)<33.$
Ainsi, un encadrement de l'aire $A$ en $cm^{2}$ de ce rectangle est donné par :
$$\boxed{18\;cm^{2}\leq A<33\;cm^{2}}$$
Exercice 24
Soient $x\ $ et $\ y$ deux nombres rationnels tels que :
$$x=\dfrac{7934}{934}\ \text{ et }\ y=\dfrac{3794}{973}$$
1) Trouvons les entiers $a\ $ et $\ b$ tels que :
$$a\leq x<a+1\ \text{ et }\ b\leq y<b+1$$
Par calcul direct, on trouve : $x=\dfrac{7934}{934}=8.49$
Or, $8<8.49<9$
Donc, $8<x<8+1$
Par conséquent, $\boxed{a=8}$
De la même manière, on a : $y=\dfrac{3794}{973}\simeq 3.899$
Or, $3<3.899<4$
Ce qui signifie que : $3<y<3+1$
Ainsi, $\boxed{b=3}$
2) Donnons un encadrement de $x+y$
D'après le résultat de la question $1)$, on a :
$$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\3&<&y&<&4\end{array}$$
Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\\\+\quad 3&<&y&<&4\\\\\hline \\=\quad 11&<&x+y&<&13\end{array}$$
Ainsi, un encadrement de $x+y$ est donné par :
$$\boxed{11<x+y<13}$$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Aliou diaw (non vérifié)
jeu, 12/19/2019 - 00:39
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j aime les matières
Mame Diarra cissé (non vérifié)
dim, 05/17/2020 - 02:05
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sam, 12/12/2020 - 15:22
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Anonyme (non vérifié)
mar, 11/16/2021 - 21:00
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Valeurs absolue
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mer, 03/25/2020 - 09:52
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Exercice et solution 4
Mouhamadoul ami... (non vérifié)
ven, 11/13/2020 - 22:13
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besoin du corrigé des solutions de l exercice 8 9 10
Anonyme (non vérifié)
dim, 03/14/2021 - 11:07
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En expliquant
Mamadou Diallo (non vérifié)
sam, 12/26/2020 - 10:36
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Bonjour je voulais avoir la
SD (non vérifié)
ven, 03/05/2021 - 13:35
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Anonyme (non vérifié)
dim, 11/14/2021 - 11:41
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Egamg
Anonyme (non vérifié)
dim, 11/14/2021 - 11:42
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Les signes
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lun, 10/03/2022 - 12:03
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Maths
Thierno madjou ... (non vérifié)
lun, 10/03/2022 - 12:03
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dim, 11/06/2022 - 21:34
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Qui peut m'aider pour l
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