cos(x+π3)=√32 ou encore à cos(x+π3)=cos(π6) ou bien cos(x+π3)=cos(π−π6)=cos(5π6).
On obtient les systèmes :
(I) {x+π3=π6+2kπx+π3=−π6+2k′π(k, k′∈Z)
Et(II) {x+π3=5π6+2kπx+π3=−5π6+2k′π(k, k′∈Z)
soit, après résolution à :(I) {x=−π6+2kπx=−π2+2k′π(k, k′∈Z)
Et(II) {x=π2+2kπx=−7π6+2k′π(k, k′∈Z)
S={−π12; −π2; π2; 5π6}
(k=0 et k′=0 pour le système (I)), (k=0 et k′=1 pour le système (II)).
3) 2sin2(2x+π3)−1=0
L'équation équivaut à la réunion des deux équations :
sin(2x+π3)=1√2 ou sin(2x+π3)=−1√2 ou encore à sin(2x+π3)=sin(π4) ou bien sin(2x+π3)=−sin(π4)=sin(−π4).
On obtient les systèmes :
(I) {2x+π3=π4+2kπ2x+π3=3π4+2k′π(k, k′∈Z)
Et(II) {2x+π3=−π4+2kπ2x+π3=5π4+2k′π(k, k′∈Z)
soit, après résolution à :(I) {x=−π24+2kπx=5π24+2k′π(k, k′∈Z)
Et(II) {x=−7π24+2kπx=11π24+2k′π(k, k′∈Z)
S={−π24; 23π24; 5π24; −19π24; −7π24; 19π24; 11π24; −13π24}
(k=0, k=1 et k′=0, k′=−1 pour le système (I)), (k=0, k=1 et k′=0, k′=−1 pour le système (II)).
4) 2sinxcosx+√3cos2x=0
L'équation s'écrit sin2x+√3cos2x=0 en utilisant la formule sin2x=2sinxcosx.
On reconnait là une équation du type acosu+bsinu=c.
Pour se ramener à une équation trigonométrique usuelle, il faut diviser les deux membres par √a2+b2.
Ainsi l'équation proposée devient : 12sin2x+√32cos2x=0, soit d'après une formule d'addition :
sinπ6sin2x+cosπ6cos2x=0⇔cos(π6−2x)=0=cos(π2).
La résolution de cette dernière équation conduit au système : {π6−2x=π2+2kπ ouπ6−2x=−π2+2k′π(k, k′∈Z)
soit après résolution à {x=−π6+kπx=π3+k′π(k, k′∈Z)
Dans ]−π, π], on obtient les solutions −π6, 5π6, π3 et −2π3.
5) tan2(3x+π6)−1=0
L'équation équivaut à la réunion des deux équations :
tan(3x+π6)=1 ou tan(3x+π6)=−1 dont la résolution, laissée au lecteur, conduit aux solutions du type :
x=π36+kπ3 ou x=−5π36+k′π3, (k, k′∈Z).
Dans ]−π, π], on obtient les six solutions π36, 13π36, 25π36, −11π36, −23π36, −35π36 pour le premier type (correspondant aux valeurs respectives 0, 1, 2, −1, −2, −3 de k) et les six solutions −5π36, 7π36, 19π36, 31π36, −17π36, −29π36 pour le deuxième type (correspondant aux valeurs respectives 0, 1, 2, 3, −1, −2 de k′).
On vérifie que pour chacune de ces solutions α, on a
3α+π6≠(2h+1)π2, h∈Z, en d'autres termes que l'équation est bien définie pour chacune d'elles.
Cette équation admet donc en tout 12 solutions dans ]−π, π].
6) tan2(2x−π4)−3=0
Cette équation est tout à fait analogue à la précédente.
Nous nous bornons à en donner l'ensemble des solutions.
S={π3; 5π6; −π6; −2π3; 0; π2; π; −π2}.
On vérifie que l'équation
2x−π4=(2h+1)π2; h∈Z., a pour solutions les nombres de la forme 3π8+hπ2.
Ceux que ces derniers qui appartiennent à ]−π, π] sont :
S=3π8; 7π8; −π8; −5π8.
Aucun d'eux n'est dans S.
7) tan2(x+π4)=tan2(2x)
L'équation équivaut à {(tan(x+π4)=tan(2x)) ou (tan(x+π4)=−tan(2x))}, ce qui conduit à l'une des deux équations :
x+π4=2x+kπ (k∈Z(1) ou x+π4=−2x+k′π (k′∈Z(2).
La première d'entre elles a pour solutions les nombres de la forme x=π4+kπ et la seconde les nombres de la forme x=−π12+k′π3.
On obtient donc a priori comme solutions possibles les nombres :
−3π4; π4 obtenus respectivement pour k=−1, k=0, et −3π4; −5π12; −π12; π4; 7π12; 11π12 obtenus respectivement pour k′=−2, k′=−1, k′=0, k′=1, k′=2 et k′=3.
Il faut maintenant vérifier que pour chacune de ces valeurs, les expressions x+π4 ne sont pas des multiples impairs de π2.
Or
∗ si x=−3π4, alors 2x=−3π2 qui est un multiple impair de π2 ;
∗ si x=π4, alors 2x=π2 qui est un multiple impair de π2 ;
∗ si x=−5π12, alors 2x=−5π6 et x+π4=−7π12 et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de π2 ;
∗ si x=−π12, alors 2x=−π6 et x+π4=π6 et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de π2 ;
∗ si x=7π12, alors 2x=7π6 et x+π4=5π6 et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de π2 ;
∗ Enfin si x=11π12, alors 2x=11π6 et x+π4=7π6 et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de π2.
En conclusion, on peut retenir toutes les valeurs trouvées, sauf −3π4 et π4.
S={−5π12; −π12; 7π12; 11π12}
8) tan(x+π3)=sin(x+π3)
L'équation est définie si x+π3 n'est pas un multiple impair de π2, en d'autres termes si
x+π3≠(2h+1)π2, h∈Z.
Or l'égalité x+π3=(2h+1)π2 équivaut à : x=π6+hπ.
Les nombres de cette dernière forme devront donc être exclus de l'ensemble des solutions.
Cela étant, l'équation s'écrit : sin(x+π3)cos(x+π3)=sin(x+π3)⇔sin(x+π3)[1cos(x+π3)−1]=0.
Cette dernière égalité signifie que l'on a soit
sin(x+π3)=0(1)
ou bien cos(x+π3)=1(2) avec x≠π6+hπ, h∈Z.
L'équation (1) équivaut à x+π3=kπ et a pour solutions dans R les nombres de la forme
x=−π3+kπ
L'équation (2) équivaut à x+π3=2kπ et a pour solutions dans R les nombres de la forme
x=−π3+2kπ
On vérifie que les nombres de l'un de ces deux types qui appartiennent à ]−π, ] sont −π3 et 3π3.
Aucun d'eux n'est de la forme π6+hπ, h∈Z.
En effet, l'égalité −π3=π6+hπ entraîne, en simplifiant par π, que h=−13−16=−12, ce qui est impossible, puisque h est entier et de même l'égalité 2π3=π6+hπ entraîne h=23−16=12.
Finalement, on conclut que S={−π3; 2π3}.
Exercice 3
1) 2cos2x+(√3+2)cosx+√3=0.
L'équation devient, après le changement de variable X=cosx,
2X2+(√3+2)X+√3=0, équation du second degré qui a pour racines −12 et −1.
L'équation équivaut donc à :
cosx=−12 ou cosx=−1.
On obtient, dans [0; 2π[ les solutions : 2π3, π et 4π3.
2) cos2x=3cosx−2.
On remplace d'abord cos 2x par 2cos2x−1.
L'équation devient alors
2cos2x−3cosx+1=0
Le changement de variable X=cosx ramène l'équation de départ à l'équation du second degré
2X2−3X+1=0, qui a pour racines 1 et 12.
L'équation équivaut donc à : cosc=1 ou cosx=12.
On obtient dans [0; 2π[ les solutions : 0, π3 et 5π3.
3) 1+cos2x+cos4x=0
La formule de l'angle double relative au cosinus entraîne que cos4x=2cos22x−1 puis en effectuant le changement de variable X=cos2x, on ramène l'équation de départ à l'équation du second degré 1+X+2X2−1=0, soit après réduction : 2X2+X=0.
Cette dernière équation a pour solutions X=0 et X=−12, en d'autres termes elle équivaut à cos2x=0 ou cos2x=−12.
∗ cos2x=0⇔2x=2kπ⇔x=kπ (k∈Z).
Dans [0; 2π[, on obtient les solutions : 0 et π pour les valeurs respectives 0 et 1 de k.
∗ cos2x=−12⇔{2x=2π3+2k1π2x=−2π3+2k′1π ou (k1, k′1∈Z)
soit {x=π3+k1πx=−π3+k′1πou (k1, k′1∈Z)
Dans [0; 2π[, on obtient les solutions : π3, 4π3 pour les valeurs respectives 0 et 1 de k1 et 2π3, 5π3 pour les valeurs respectives 1 et 2 de k′1.
En résumé, S={0; π; π3; 4π3; 2π3; 5π3}
4) 2cosx+cos3x+cos5x=0
D'après la formule de factorisation cosp+cosq=2cosp+q2cosp−q2, on peut écrire :
cos3x+cos5x=2cos4xcosx
En substituant les deux derniers termes de l'équation par le membre de droite de cette dernière égalité, on obtient 2cosx+2cos4xcosx=0, soit 2cosx(cos4x+1)=0.
L'équation équivaut par conséquent à cosx=0 ou cos4x=−1.
∗ cosx=0⇔x=2kπ (k∈Z)
∗ cos4x=−1⇔4x=π+2k1π (k1∈Z)⇔x=π4+k1π2.
En donnant à k et k1 des valeurs convenables, on trouve comme ensemble de solutions dans [0; 2π[ :
S={0; π4; 3π4; 5π4; 7π4}
5) cosx−cos3x+cos5x=0
La méthode de résolution est analogue à celle du 4).
On a :cosx+cos5x=2cos3xcos2x
Donc le premier membre se factorise en cos3x(2cos2x−1).
Cette dernière expression est nulle si et seulement si cos3x=0 ou cos2x=12
∗ cos3x=0⇔3x=2kπ (k∈Z)⇔x=2kπ3 (k∈Z).
On obtient, dans [0; 2π[ les solutions : 0, 2π3 et 4π3 (correspondant à k=0, k=1 et k=2 respectivement).
∗ cos2x=12⇔{x=π3+2k1πx=−π3+2k′1πou (k1, k′1∈Z)
⇔{x=π6+2k1πx=−π6+2k′1πou (k1, k′1∈Z)
On obtient, dans [0; 2π[ les solutions :
π6, 7π6 (correspondant à k1=0 et k1=1 respectivement) et 5π6, 11π6 (correspondant à k′1=1 et k′1=2 respectivement).
6) 4sin2x+2(1+√3)sinx+√3=0
Le changement de variable X=sinx ramène l'équation de départ à l'équation du second degré 4X2+2(1+√3)X+√3=0, dont la résolution, laissée au lecteur (penser à écrire le discriminant comme un carré parfait), montre qu'elle a pour solutions : X1=−12 et X2=−√32
∗ sinx=−12=sin(−π6)⇔{x=−π6+2kπx=7π6+2k′πou (k, k′∈Z)
∗ sinx=−√32=sin(−π3)⇔{x=−π3+2k1πx=4π3+2k′1πou (k1, k′1∈Z)
On trouve pour ensemble de solutions dans [0; 2π[ :
S={11π6; 7π6; 5π3; 4π3}
7) sinx+sin2x+sin3x=0
D'après la formule de factorisation sinp+sinq=2sinp+q2cosp−q2, on peut écrire :
sinx+sin3x=2sin2xcosx
L'équation devient alors : sin2x(2cosx+1)=0⇔sin2x=0 ou cosx=−12.
∗ sin2x=0⇔2x=kπ⇔x=kπ2.
Cette équation a pour ensemble de solutions dans [0; 2π[ :
S1={0; π2; π; 3π2}.
\ast\ \cos x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right..
Ce système a pour ensemble de solutions dans [0\;;\ 2\pi[ :
S_{2}=\left\lbrace\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right\rbrace
L'ensemble des solutions de l'équation est donc :
S=S_{1}\cup S_{2}=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right\rbrace.
8) \sin 2x+\sin 4x=0
D'après la formule donnant le sinus de l'angle double, on a : \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x.
L'équation s'écrit alors : \sin 2x+2\sin 2x\cos 2x=0, soit en factorisant par \sin 2x :
\sin 2x(1+2\cos 2x)=0.
Elle est donc équivalente à : \sin 2x=0 ou \cos 2x=-\dfrac{1}{2}
\ast\ \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}.
Cette équation a pour ensemble de solutions dans [0\;;\ 2\pi[ :
S=S_{1}=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right\rbrace.
\ast\ \cos 2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x&=&\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ 2x&=&-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{3}+k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{3}+k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.
Ce dernier système a pour ensemble de solutions dans [0\;;\ 2\pi[ :
S=S_{2}=\left\lbrace\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}\right\rbrace.
L'ensemble des solutions de l'équation est donc :
S=S_{1}\cup S_{2}=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}\right\rbrace.
9) \cos^{2}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin x\cos x-\sin^{2}x=0
Les formules \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x et \sin 2x=2\sin x\cos x montrent que l'équation est équivalente à : \cos 2x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin 2x=0\quad(\ast)
Cette dernière équation est de la forme
a\cos u+b\sin u=0.
Pour la résoudre, on divise par \sqrt{a^{2}+b^{2}} et on utilise une formule d'addition.
Ici \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
On doit donc multiplier les deux membres de l'équation (\ast) par \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où :
(\ast)\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}\sin 2x=0\Leftrightarrow\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{6}-2x=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})
\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi.
L'ensemble des solutions dans [0\;;\ 2\pi[ est :
S=\left\lbrace\dfrac{\pi}{12}\;;\ \dfrac{13\pi}{12}\right\rbrace
10) \sin^{6}x+\cos^{6}x=\dfrac{1}{4}
En posant a=\sin^{2}x et b=\cos^{2}x, l'équation s'écrit : a^{3}+b^{3}=\dfrac{1}{4}, soit d'après les formules d'identités remarquables étudiées en Seconde : (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=\dfrac{1}{4}.
Par ailleurs, on a :
a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab
Tenant compte du fait que a+b=1, (identité trigonométrique fondamentale), notre équation devient :
1-3ab=\dfrac{1}{4}, soit :
\sin^{2}x\cos^{2}x=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow(\sin 2x)^{2}=1\Leftrightarrow(\sin 2x=1\text{ ou }\sin 2x=-1).
Cette dernière condition équivaut au fait que 2x est un multiple impair de \dfrac{\pi}{2}, en d'autres termes qu'on a : 2x=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow x=(2k+1)\dfrac{\pi}{4}\ (k\in\mathbb{z}).
Dans [0\;;\ 2\pi[, on obtient comme ensemble de solutions les nombres : \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}.
11) \sqrt{3}\tan^{2}x+(1+\sqrt{3})\tan x+1=0
Le changement de variable X=\tan x ramène cette équation en l'équation du second degré :
\sqrt{3}X^{2}+(1+\sqrt{3})X+1=0
On vérifie aisément que cette dernière a pour solutions -\dfrac{1}{\sqrt{3}}
et -1.
L'équation est donc équivalente à \tan x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) ou \tan x=-1=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right),
soit \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{4}+k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.
On obtient dans [0\;;\ 2\pi[ l'ensemble de solutions suivant :
S=\left\lbrace\dfrac{5\pi}{6}\;;\ \dfrac{11\pi}{6}\;;\ \dfrac{3\pi}{4}\;;\ \dfrac{7\pi}{4}\right\rbrace
Exercice 4
1) On a \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, d'où \sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{16}{25}.
On en déduit que :
\sin x=\dfrac{4}{5} ou \sin x=-\dfrac{4}{5}.
L'hypothèse x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right[ entraîne que \sin x>0.
Nous rappelons ci-dessous les signes du sinus et du cosinus sur chaque cadran.
Par suite, on a \sin x=\dfrac{4}{5} et \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{-\dfrac{3}{5}}, soit \tan x=-\dfrac{4}{3}.
2) Méthode analogue à celle du 1).
On trouve \sin x=-\dfrac{2}{3} et \tan x=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
3) Méthode analogue à celle du 1).
On trouve \sin x=\dfrac{5}{13} et \tan x=-\dfrac{5}{\sqrt{12}}.
Exercice 5
1) On a d'après la première hypothèse : \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-2\Rightarrow\sin x=-2\cos x\quad(1) et \cos^{2}x+\sin^{2}x=1\quad(2) (identité trigonométrique fondamentale), d'où en substituant l'expression de \sin x donnée par (1) dans (2) :
\cos^{2}x+(-2\cos x)^{2}=1\Rightarrow\cos^{2}x=\dfrac{1}{5}\quad(3) et par une nouvelle application de (2), on en tire que : \sin^{2}x=\dfrac{4}{5}\quad(4).
La deuxième hypothèse \left(x\in]0\;;\ \pi[\right) entraîne que \sin x>0, ce qui, joint avec (4), fournit \sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\quad(5).
Des relations (1) et (5), on tire alors facilement : \cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}.
2) Méthode analogue à celle du 1).
On trouve : \sin x=-\dfrac{11}{61}\text{ et }\cos x=-\dfrac{60}{61}.
3) Méthode analogue à celle du 1).
On trouve : \sin x=-\dfrac{8}{17} et \cos x=\dfrac{15}{17}.
Exercice 6
1) Le fait que x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right[ assure que \cos x<0.
En appliquant l'identité trigonométrique fondamentale, on a : \dfrac{2}{3}+\cos^{2}x=1\Rightarrow\cos^{2}x=\dfrac{1}{3}.
Il résulte de tout cela qu'on a \cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Par suite \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{2}{3}}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}, soit \tan x=-\sqrt{2}.
2) Méthode analogue à celle du 1).
On trouve : \cos x=-\dfrac{3}{5} et \tan x=\dfrac{4}{3}.
3) Méthode analogue à celle du 1).
On trouve : \cos x=\dfrac{\sqrt{7}}{3} et \tan x=-\dfrac{\sqrt{14}}{3}.
Exercice 7
D'après la formule \tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^{2}a}, on a :
\tan 2x=\dfrac{2\left(\sqrt{3}-2\right)}{1-\left(\sqrt{3}-2\right)^{2}}=\dfrac{-4+2\sqrt{3}}{-6+4\sqrt{3}}=\dfrac{(-4+2\sqrt{3})(-6-4\sqrt{3})}{36-48}=\dfrac{4\sqrt{3}}{-12}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right), d'où :
2x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}.
Et puisque 2x\in]-\pi\;;\ 0[, on a nécessairement 2x=-\dfrac{\pi}{6} et par suite x=-\dfrac{\pi}{12}.
Exercice 8
On a \cos 2x=1-2\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^{2}=1-\dfrac{8+4\sqrt{3}}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} (d'après la formule \cos 2x=1-2\sin^{2}x) d'où, puisque 2x\in]-\pi\;;\ 0[, et par suite x=\dfrac{5\pi}{12}.
Inéquations trigonométrique
Exercice 9
Les solutions sont données dans ]-\pi\;;\ \pi] et dans [0\;;\ 2\pi[, accompagnées chaque fois d'un graphique où l'ensemble des solutions est colorié.
1) 2\cos x+1>0
L'inéquation équivaut à \cos x>-\dfrac{1}{2}.
S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left]-\dfrac{-2\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\right[ et S_{[0\;;\ 2\pi]}=\left[0\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{4\pi}{3}\;;\ 2\pi\right]
2) L'inéquation équivaut à \cos x\leq\dfrac{1}{\sqrt{2}}, soit à \cos x\leq\cos\dfrac{\pi}{4}.
S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ -\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \pi\right] et
S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{7\pi}{4}\right]
3) 1-2\sin x\leq 0
L'inéquation équivaut à \sin x\geq\dfrac{1}{2}, soit à \sin x\geq\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
S_{[0\;;\ 2\pi[}=S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\right]
4) 2\sin x-\sqrt{3}<0
L'inéquation équivaut à \sin x<\dfrac{\sqrt{3}}{2}, soit à \sin x<\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \pi\right] et
S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ 2\pi\right].
5) \tan x>1
L'inéquation équivaut à \tan x>\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left]-\dfrac{3\pi}{4}\;;\ -\dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[ et
S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{4}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right].
6) \sqrt{3}\tan x-3\leq 0
L'inéquation équivaut à \tan x\leq\sqrt{3}, soit à \tan x\leq\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ -\dfrac{2\pi}{3}\right]\cup\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right] et
S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right]\cup\left]\dfrac{3\pi}{2}\;;\ 2\pi\right[.
7) 4\cos^{2}x-2(\sqrt{2}-1)\cos x-\sqrt{2}>0
Le changement de variable X=\cos x transforme l'inéquation proposée en l'inéquation du second degré :
4X^{2}-2(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}>0\quad(\ast).
Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit \Delta'=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}+4\sqrt{2}=3+2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.
Par conséquent, il a pour racines X_{1}=\dfrac{\sqrt{2}-1-(\sqrt{2}+1)}{4}=-\dfrac{1}{2} et X_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-1+(\sqrt{2}+1)}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
L'ensemble des solutions de (\ast) est, d'après les règles sur le signe d'un trinôme :
\left]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ +\infty\right[.
L'inéquation de départ est donc équivalente à \cos x-\dfrac{1}{2} ou \cos x>\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Nous représentons les solutions de ces deux inéquations dans la figure ci-dessous.
S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ -\dfrac{2\pi}{3}\right[\cup\left]-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \pi\right] et
S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{7\pi}{4}\;;\ 2\pi\right].
8) 4\sin^{2}x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}\leq 0
Méthode analogue à celle de l'inéquation précédente.
Le changement de variable X=\sin x transforme l'inéquation proposée en l'inéquation du second degré :
4X^{2}-2\left(1+\sqrt{3}\right)X+\sqrt{3}\leq 0\quad(\ast).
Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit \Delta'=\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.
Par conséquent, il a pour racines X_{1}=\dfrac{1+\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}-1\right)}{4} et X_{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{4}.
L'ensemble des solutions de (\ast) est, d'après les règles sur le signe d'un trinôme : \left[\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right].
L'inéquation de départ est donc équivalente à \dfrac{1}{2}\leq\sin x\leq\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Nous représentons les solutions de cette double inéquation dans la figure ci-dessous.
S_{[0\;;\ 2\pi[}=S_{]-\pi\;;\ \pi[}=\left[\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\right].
9) -4\cos^{2}x+2\left(\sqrt{2}+1\right)\sin x+4+\sqrt{2}\leq 0
On remplace dans l'inéquation \cos^{2}x par 1-\sin^{2}x pour obtenir :
4\sin^{2}x+2\left(1+\sqrt{2}\right)\sin x+\sqrt{2}\leq 0.
Le changement de variable X=\sin x transforme cette dernière inéquation en l'inéquation du second degré :
4X^{2}+2\left(1+\sqrt{2}\right)X+\sqrt{2}\leq 0\quad(\ast).
Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit \Delta'=\left(1+\sqrt{2}\right)^{2}-4\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}.
Par conséquent, il a pour racines X_{1}=\dfrac{-(1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} et X_{2}=\dfrac{-(1+\sqrt{2})+(\sqrt{2}-1)}{4}=-\dfrac{1}{2}.
L'ensemble des solutions de (\ast) est, d'après les règles sur le signe d'un trinôme : \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ -\dfrac{1}{2}\right].
L'inéquation de départ est donc équivalente à -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq\sin x\leq-\dfrac{1}{2}
S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\dfrac{5\pi}{6}\;;\ -\dfrac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\dfrac{\pi}{4}\;;\ -\dfrac{\pi}{6}\right].
et S_{[0\;;\ \pi]}=\left[\dfrac{7\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4}\;;\ \dfrac{11\pi}{6}\right].
10) 4\sin^{2}x+2\left(1-\sqrt{3}\right)\cos x-4+\sqrt{3}\leq 0
On remplace dans l'inéquation \sin^{2}x par 1-\cos^{2}x pour obtenir :
-4\cos^{2}x+2\left(1-\sqrt{3}\right)\cos x+\sqrt{3}\leq 0.
Le changement de variable X=\cos x transforme cette dernière inéquation en l'inéquation du second degré :
-4X^{2}+2\left(1-\sqrt{3}\right)X+\sqrt{3}\leq 0\quad(\ast).
Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit
Exercice 10
Nous donnons les résultats sous la forme d'un tableau.
Il suffit d'appliquer les formules des angles associés et « d'éliminer » les multiples de 2\pi dans les cosinus et les sinus ou les multiples de \pi dans les tangentes et les cotangentes.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline -\alpha-5\pi&-\cos\alpha&-\sin\alpha&\tan\alpha&co\tan\alpha\\ \hline -\alpha-\pi&-\cos\alpha&\sin\alpha&-\tan\alpha&-co\tan\alpha\\ \hline -\alpha-2\pi&-\cos\alpha&-\sin\alpha&-\tan\alpha&-co\tan\alpha\\ \hline -\alpha-\dfrac{\pi}{2}&-\sin\alpha&-\cos\alpha&co\tan\alpha&\tan\alpha\\ \hline \alpha-\dfrac{9\pi}{2}&\sin\alpha&-\cos\alpha&-co\tan\alpha&-\tan\alpha\\ \hline -\alpha+\dfrac{5\pi}{2}&\sin\alpha&\cos\alpha&co\tan\alpha&\tan\alpha\\ \hline \end{array}
Exercice 11
Nous donnons les résultats sous forme de tableaux.
Appliquer les formules relatives aux valeurs remarquables des lignes trigonométriques, les formules des angles associés et « éliminer » les multiples de 2\pi dans les cosinus et les sinus ou les multiples de \pi dans les tangentes et les cotangentes.
a)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline 3\pi&-1&0&0&\text{Non définie}\\ \hline -5\pi&-1&0&0&\text{Non définie}\\ \hline \dfrac{3\pi}{2}&0&-1&\text{Non définie}&0\\ \hline \end{array}
b)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline \dfrac{3\pi}{4}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-1&-1\\ \hline -\dfrac{7\pi}{4}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ \hline \dfrac{15\pi}{4}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-1&-1\\ \hline \end{array}
c)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline -\dfrac{2\pi}{3}&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sqrt{3}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \hline \dfrac{5\pi}{3}&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\sqrt{3}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \hline \dfrac{8\pi}{3}&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sqrt{3}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \hline \end{array}
d)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline \dfrac{7\pi}{6}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&\sqrt{3}\\ \hline \dfrac{13\pi}{6}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&\sqrt{3}\\ \hline \dfrac{31\pi}{6}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&\sqrt{3}\\ \hline \end{array}
Exercice 12
En appliquant les formules des angles associés, on obtient :
\begin{array}{lcl}A&=&\cos\alpha-\cos\alpha-\cos\alpha+\cos\alpha\\&=&0\end{array}
\begin{array}{lcl}B&=&co\tan\alpha-co\tan\alpha+3co\tan\alpha+co\tan\alpha\\&=&2co\tan\alpha\end{array}
Si k est pair, on a :
\begin{array}{lcl}C&=&\dfrac{-\sin 3\alpha+\sin 3\alpha+\sin 3\alpha}{-\cos 3\alpha+\cos 3\alpha-3\cos 3\alpha}\\&=&\dfrac{\sin 3\alpha}{-3\cos 3\alpha}\\&=&-\dfrac{1}{3}\tan 3\alpha\end{array}
Si k est impair, on a :
\begin{array}{lcl}D&=&\dfrac{-\sin 3\alpha+\sin 3\alpha-\sin 3\alpha}{-\cos 3\alpha-\cos 3\alpha-3\cos 3\alpha}\\&=&\dfrac{-\sin 3\alpha}{-5\cos 3\alpha}\\&=&\dfrac{1}{5}\tan 3\alpha.\end{array}
Exercice 13
1) f(x)=\sin 2x+\sin^{2}x-2\sin x\cos x+\cos^{2}x.
Or \sin 2x=2\sin x\cos x et \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, d'où f(x)=1 pour tout réel x.
2) On a \begin{array}{lcl}\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)&=&\cos\dfrac{2\pi}{3}\cos x-\sin\dfrac{2\pi}{3}\sin x\\&=&-\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x.\end{array}
D'où : \cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)=\dfrac{1}{4}\cos^{2}x+\dfrac{3}{4}\sin^{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}sin x\cos x.
De même : \begin{array}{lcl}\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)&=&\cos\dfrac{2\pi}{3}\cos x+\sin \dfrac{2\pi}{3}\sin x\\&=&-\dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x.\end{array}
D'où : \cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)=\dfrac{1}{4}\cos^{2}x+\dfrac{3}{4}\sin^{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\sin x\cos x.
En additionnant, il vient :
\begin{array}{lcl}\cos^{2}x+\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)+\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)&=&\cos^{2}x+\dfrac{1}{2}\cos^{2}x+\dfrac{3}{2}\sin^{2}x\\&=&\dfrac{3}{2}(\cos^{2}x+\sin^{2}x)\end{array}
soit f(x)=\dfrac{3}{2} pour tout réel x, d'après l'identité trigonométrique fondamentale.
3) Démarche analogue au 2) ci-dessus.
On développe les carrés en utilisant les formules d'addition relatives au sinus.
On trouve aussi que f(x)=\dfrac{3}{2} pour tout réel x.
Exercice 14
1) Développer \sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right) par la formule d'addition.
2) Même méthode.
3) On a d'après les formules de factorisation :
\cos x+\cos 4x=2\cos\dfrac{5x}{2}\cos x et \cos 2x+\cos 3x=2\cos\dfrac{5x}{2}\cos x.
D'où le résultat en faisant la somme et en factorisant par 2\cos\dfrac{5x}{2}.
4) On a d'après les formules de factorisation :
\sin x+\sin 4x=2\sin\dfrac{5x}{2}\cos\dfrac{3x}{2} et \sin 2x+\sin 3x=2\sin\dfrac{5x}{2}\cos\dfrac{x}{2}
En faisant la somme, on a :
\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=2\sin\dfrac{5x}{2}\left(\cos\dfrac{3x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right), puis en appliquant une nouvelle fois une formule de factorisation à la parenthèse, on obtient :
\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=4\sin\dfrac{5x}{2}\cos x\cos\dfrac{x}{2}.
5) D'après la formule de transformation \sin a\sin b=\dfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)], on a :
\begin{array}{lcl}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)&=&\dfrac{1}{2}\left[\cos(-2x)-\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right]\\&=&\dfrac{1}{2}\left[\cos(-2x)+\dfrac{1}{2}\right].\end{array}
D'où en multipliant les deux membres par 4\sin x :
\begin{array}{lcl}4\sin x\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)&=&2\sin x\cos 2x+\sin x\\&=&2\sin x\left(\dfrac{1}{2}+\cos 2x\right)\\&=&\sin x(1+2\cos 2x)\end{array}
D'autre part, d'après la formule d'addition relative au sinus et les formules de duplication, on a :
\begin{array}{lcl}\sin 3x&=&\sin(2x+x)\\&=&\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\\&=&2\sin x\cos^{2}x+\cos 2x\sin x\\&=&\sin x(\cos 2x+2\cos^{2}x)\\&=&\sin x(\cos 2x+1+\cos 2x)\\&=&\sin x(1+2\cos 2x).\end{array}
L'égalité proposée en résulte.
Commentaires
Mamadou Malal Balde (non vérifié)
lun, 09/21/2020 - 21:32
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Trésor bien
El Hadji ka (non vérifié)
mar, 05/25/2021 - 02:23
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Salutations
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