Solution des exercices : Multiples et diviseurs - 5e

Classe: 
Cinquième
 

Exercice 1

1) Parmi les quotients ci-dessous, déterminons ceux qui sont exacts.
 
On dit que le quotient est exact, si le reste de la division euclidienne d'un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ est égal à zéro.
 
a) $213\div 9$
 
Soit :
$$\begin{array}{l} \ \ \,213 \\ -18 \\ \hline\quad\ 33 \\ \; -27 \\ \hline\quad\ \ \ 6\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 9 \\ \hline 23 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$
On constate que le reste de la division euclidienne est égal à $6$ donc, est différent de zéro. Par suite, le quotient n'est pas exact.
 
b) $22\div 7$
 
En posant l'opération, on obtient :
$$\begin{array}{l} \ \ \,22 \\ -21 \\ \hline\quad\ 1 \\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 7 \\ \hline 3 \\  \\ \end{array}$$
Comme le reste de la division n'est pas égal à zéro alors, ce quotient n'est pas exact.
 
c) $1\,029\div 147$
 
Soit :
$$\begin{array}{l} \ \ \,1029 \\ -1029 \\ \hline\qquad\ 0 \\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 147 \\ \hline 7 \\  \\ \end{array}$$
On constate que le reste de la division est égal à zéro.
 
Par conséquent, ce quotient est exact.
 
d) $212\div 18$
 
En effectuant l'opération, on trouve :
$$\begin{array}{l} \ \ \,212 \\ -18 \\ \hline\quad\ 32 \\ \; -18 \\ \hline\quad\ \ \ 4\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 18\\ \hline 11 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$
On remarque que le reste est différent de zéro. Par suite, ce quotient n'est pas exact.
 
2) a) $125$ est un multiple de $25$
 
Justification
 
Par définition, $a$ est multiple de $b$ s'il existe $q$ un nombre relatif non nul tel que : $a=b\times q$
 
On constate que : $125=25\times 5$
 
Donc, $125$ est bien un multiple de $25$
 
b) $14$  n'est pas un diviseur de $147$ 
 
Justification
 
On dit que $a$ est un diviseur de $b$ s'il existe $q$ un nombre relatif non nul tel que : $q=b\div a$
 
On a :
$$\begin{array}{l} \ \ \,147 \\ -14 \\ \hline\quad\ 07 \\ \; -00 \\ \hline\quad\ \ \ 7\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 14\\ \hline 10 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$
Comme le reste de la division euclidienne est différent de zéro alors, le quotient n'est pas exact.
 
Par conséquent, $14$  n'est pas un diviseur de $147$ 

Exercice 2

1) Écrivons l'ensemble $A$ des $10$ premiers multiples de $15.$
 
Pour déterminer les $10$ premiers multiples de $15$, on procède comme suit :
 
$0\times 15=0$ est le $1e$ multiple de $15$
 
$1\times 15=15$ est le $2e$ multiple de $15$
 
$2\times 15=30$ est le $3e$ multiple de $15$
 
$3\times 15=45$ est le $4e$ multiple de $15$
 
$4\times 15=60$ est le $5e$ multiple de $15$
 
$5\times 15=75$ est le $6e$ multiple de $15$
 
$6\times 15=90$ est le $7e$ multiple de $15$
 
$7\times 15=105$ est le $8e$ multiple de $15$
 
$8\times 15=120$ est le $9e$ multiple de $15$
 
$9\times 15=135$ est le $10e$ multiple de $15$
 
Par suite,
$$A=\{0\;;\ 15\;;\ 30\;;\ 45\;;\ 60\;;\ 75\;;\ 90\;;\ 105\;;\ 120\;;\ 135\}$$
Remarque : $15$ est le premier multiple non nul de $15.$
 
2) Écrivons l'ensemble $B$ des $10$ premiers multiples de $20.$
 
Comme dans la question 1), on a :
 
$0\times 20=0$ est le $1e$ multiple de $20$
 
$1\times 20=20$ est le $2e$ multiple de $20$
 
$2\times 20=40$ est le $3e$ multiple de $20$
 
$3\times 20=60$ est le $4e$ multiple de $20$
 
$4\times 20=80$ est le $5e$ multiple de $20$
 
$5\times 20=100$ est le $6e$ multiple de $20$
 
$6\times 20=120$ est le $7e$ multiple de $20$
 
$7\times 20=140$ est le $8e$ multiple de $20$
 
$8\times 20=160$ est le $9e$ multiple de $20$
 
$9\times 20=180$ est le $10e$ multiple de $20$
 
Ainsi,
$$B=\{0\;;\ 20\;;\ 40\;;\ 60\;;\ 80\;;\ 100\;;\ 120\;;\ 140\;;\ 160\;;\ 180\}$$
Remarque : $20$ est le premier multiple différent de zéro de $20.$
 
3) Déterminons les multiples communs de $15$ et de $20.$
 
On remarque que les ensembles $A\ $ et $\ B$ ont en commun $0\;;\ 60\ $ et $\ 120$
 
D'où, les multiples communs de $15$ et de $20$ sont :
$$A\cap B=\{0\;;\ 60\;;\ 120\}$$
4) $60$ est le plus petit multiple commun différent de zéro de $15\ $ et $\ 20.$
 
En effet, $60\ $ et $\ 120$ sont les multiples communs de $15$ et de $20$ différents de zéro et que $60$ est le plus petit.

Exercice 3

Pour déterminer les premiers multiples, on procède de la même manière que dans l'exercice 2.
 
1) Écrivons l'ensemble $A$ des $14$ premiers multiples de $10.$
$$A=\{0\;;\ 10\;;\ 20\;;\ 30\;;\ 40\;;\ 50\;;\ 60\;;\ 70\;;\ 80\;;\ 90\;;\ 100\;;\ 110\;;\ 120\;;\ 130\}$$
2) Écrivons l'ensemble $B$ des $14$ premiers multiples de $20.$
$$B=\{0\;;\ 20\;;\ 40\;;\ 60\;;\ 80\;;\ 100\;;\ 120\;;\ 140\;;\ 160\;;\ 180\;;\ 200\;;\ 220\;;\ 240\;;\ 260\}$$
3) Écrivons l'ensemble $C$ des $14$ premiers multiples de $16.$
$$C=\{0\;;\ 16\;;\ 32\;;\ 48\;;\ 64\;;\ 80\;;\ 96\;;\ 112\;;\ 128\;;\ 144\;;\ 160\;;\ 176\;;\ 192\;;\ 208\}$$
4) Les multiples communs de $10\;;\ 20\ $ et $\ 16$ sont les éléments appartenant à la fois à $A\;,\ B\ $ et $\ C.$
 
On obtient alors :
$$A\cap B\cap C=\{0\;;\ 80\}$$
5) $80$ est le plus petit multiple commun différent de zéro de $10\;;\ 20\ $ et $\ 16.$

Exercice 4

1) Écrivons l'ensemble $D$ des diviseurs de $30.$
$$D=\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 6\;;\ 10\;;\ 15\;;\ 30\}$$
2) Écrivons l'ensemble $E$ des diviseurs de $12.$
$$E=\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 6\;;\ 12\}$$
3) Déterminons les diviseurs communs de $30$ et de $12.$
 
Les diviseurs communs de $30$ et de $12$ sont les éléments appartenant à la fois à $D$ et à $E.$
 
On obtient alors :
$$D\cap E=\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 6\}$$
4) Le plus grand diviseur commun différent de zéro de $30\ $ et $\ 12$ est le plus grand élément de l'ensemble $D\cap E.$
 
C'est donc le nombre $6.$

Exercice 5

1) Écrivons l'ensemble $M$ des diviseurs de $45.$
$$M=\{1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 9\;;\ 15\;;\ 45\}$$
2) Écrivons l'ensemble $N$ des diviseurs de $63.$
$$N=\{1\;;\ 3\;;\ 7\;;\ 9\;;\ 21\;;\ 63\}$$
3) Écrivons l'ensemble $P$ des diviseurs de $27.$
$$P=\{1\;;\ 3\;;\ 9\;;\ 27\}$$
4) Quelles sont les diviseurs communs de $45\;;\ 63$ et de $27.$
 
Les diviseurs communs de $45\;;\ 63$ et de $27$ sont les éléments appartenant à la fois à $M\;;\ N$ et à $P.$
 
On obtient alors :
$$M\cap N\cap P=\{1\;;\ 3\;;\ 9\}$$
5) Quel est le plus grand diviseur commun différent de zéro de $45\;;\ 63\ $ et $\ 12.$
 
Le plus grand diviseur commun différent de zéro de $45\;;\ 63\ $ et $\ 12$ est le plus grand élément de l'ensemble $M\cap N\cap P.$
 
Ce qui correspond  au nombre $9.$

Exercice 6

1) Écrivons l'ensemble $A$ des diviseurs de $19.$
$$A=\{1\;;\ 19\}$$
2) Écrivons l'ensemble $B$ des diviseurs de $31.$
$$B=\{1\;;\ 31\}$$
3) On remarque que les ensembles $A\ $ et $\ B$ n'ont qu'un seul élément en commun : c'est le chiffre $1.$
 
Donc, $1$ est le seul diviseur commun de $19$ et de $31.$

Exercice 7

1) Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui même.
 
2) Écrivons l'ensemble $M$ des nombres premiers supérieurs à $20$ et inférieur à $50.$
$$\begin{array}{ccccccc} 23&29&31&37&41&43&47\end{array}$$
3) Le nombre entier naturel qui est à la fois pairs et premier est l'entier naturel $2.$

Exercice 8 : " Nombres premiers"

Aucun des nombres suivants n'est premier.
$$129\ -\ 143\ -\ 146\ -\ 231\ -\ 289\ -\ 221\ -\ 301\ -\ 427\ -\ 899$$
Justifions la réponse.
 
En effet, on a :
 
$129$ est un nombre divisible par $3$ donc, il n'est pas premier.
 
$143=11\times 13$ alors, $143$ a quatre diviseurs $1\;,\ 11\;,\ 13\ $ et $\ 143$ donc, $143$ n'est pas premier.
 
$146$ est un nombre pair supérieur à $2$ donc, il n'est pas premier.
 
$231$ est un nombre divisible par $3$ donc, il n'est pas premier.
 
$289=17\times 17$ alors, $289$ a trois diviseurs $1\;,\ 17\ $ et $\ 289$ donc, $289$ n'est pas premier
 
$221=13\times 17$ alors, $221$ a quatre diviseurs $1\;,\ 13\;,\ 17\ $ et $\ 221$ donc, $221$ n'est pas premier
 
$301=7\times 43$ alors, $301$ a quatre diviseurs $1\;,\ 7\;,\ 43\ $ et $\ 301$ donc, $301$ n'est pas premier
 
$427=7\times 61$ alors, $427$ a quatre diviseurs $1\;,\ 7\;,\ 61\ $ et $\ 427$ donc, $427$ n'est pas premier
 
$899=29\times 31$ alors, $899$ a quatre diviseurs $1\;,\ 29\;,\ 31\ $ et $\ 899$ donc, $899$ n'est pas premier

Exercice 9

Nous allons décomposer les nombres entiers naturels suivants en produit de facteurs premiers, puis les mettre les sous la forme de puissances simples.
$$180\ -\ 126\ -\ 380\ -\ 504\ -\ 1\,029\ -\ 1\,250$$
On a : $\begin{array}{r|l} 180&2\\90&2\\45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}\quad$donc, $180=2^{2}\times 3^{2}\times 5$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 126&2\\63&3\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$alors, $126=2\times 3^{2}\times 7$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 380&2\\190&2\\95&5\\19&19\\1&\end{array}\quad$par suite, $380=2^{2}\times 5\times 19$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 504&2\\252&2\\126&2\\63&3\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$ainsi, $504=2^{3}\times 3^{2}\times 7$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 1029&3\\343&7\\49&7\\7&7\\1&\end{array}\quad$donc, $1029=3\times 7^{3}$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 1250&2\\625&5\\125&5\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\quad$alors, $1250=2\times 5^{4}$

Exercice 10

1) Calculons : 
 
a) $PPCM(180\;;\ 210)$
 
On commence par décomposer les nombres $180\ $ et $\ 210$ en produits de facteurs premiers.
 
Alors, $\begin{array}{r|l} 180&2\\90&2\\45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 210&2\\105&5\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$
 
Donc, $180=2^{2}\times 3^{2}\times 5\ $ et $\ 210=2\times 3\times 5\times 7$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(180\;;\ 210)&=&2^{2}\times 3^{2}\times 5\times 7\\\\&=&1\,260\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{PPCM(180\;;\ 210)=1\,260}$
 
b) $PPCM(104\;;\ 240)$    
 
En décomposant les nombres $104\ $ et $\ 240$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$\begin{array}{r|l} 104&2\\52&2\\26&2\\13&13\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 240&2\\120&2\\60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
 
Donc, $104=2^{3}\times 13\ $ et $\ 240=2^{4}\times 3\times 5$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(104\;;\ 240)&=&2^{4}\times 3\times 5\times 13\\\\&=&3\,120\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPCM(104\;;\ 240)=3\,120}$
 
2) Calculons : 
 
a) $PGCD(225\;;\ 360)$ 
 
On commence par décomposer les nombres $225\ $ et $\ 360$ en produits de facteurs premiers.
 
Alors, $\begin{array}{r|l} 225&5\\45&5\\9&3\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 360&2\\180&2\\90&2\\45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
 
Donc, $225=5^{2}\times 3^{2}\ $ et $\ 360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} PGCD(225\;;\ 360)&=&3^{2}\times 5\\\\&=&45\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PGCD(225\;;\ 360)=45}$
 
b) $PGCD(172\;;\ 184)$    
 
En décomposant les nombres $172\ $ et $\ 184$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$\begin{array}{r|l} 172&2\\86&2\\43&43\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 184&2\\92&2\\46&2\\23&23\\1&\end{array}$
 
Donc, $172=2^{2}\times 43\ $ et $\ 184=2^{3}\times 23$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} PGCD(172\;;\ 184)&=&2^{2}\\\\&=&4\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PGCD(172\;;\ 184)=4}$

Exercice 11

On donne : 
 
1er cas : $a=360\;;\ b=2^{3}\times 3^{3}$
 
2ème cas : $a=504\;;\ b=2^{2}\times 3^{4}$
 
Dans chacun des cas ci-dessus, calculons :
 
$PPCM(a\;;\ b)\ $ et $\ PGCD(a\;;\ b)$  
 
1er cas :
 
Soit $a=360=2^{3}\times 3^{2}\times 5\ $ et $\ b=2^{3}\times 3^{3}$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(a\;;\ b)&=&2^{3}\times 3^{3}\times 5\\\\&=&1\,080\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPCM(a\;;\ b)=1\,080}$
 
$\begin{array}{rcl} PGCD(a\;;\ b)&=&2^{3}\times 3^{2}\\\\&=&72\end{array}$
 
Donc, $\boxed{PGCD(a\;;\ b)=72}$
 
2ème cas :
 
Soit $a=504=2^{3}\times 3^{2}\times 7\ $ et $\ b=2^{2}\times 3^{4}$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(a\;;\ b)&=&2^{3}\times 3^{4}\times 7\\\\&=&4\,536\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{PPCM(a\;;\ b)=4\,536}$
 
$\begin{array}{rcl} PGCD(a\;;\ b)&=&2^{2}\times 3^{2}\\\\&=&36\end{array}$
 
Par suite, $\boxed{PGCD(a\;;\ b)=36}$

Exercice 12 : "Problème de la vie courante"

Deux groupes d'amis se réunissent au même endroit. Ils se sont rencontrés simultanément, la première fois, le premier janvier. 
 
Sachant que le premier groupe se réunit tous les deux jours et le second tous les cinq jours, Déterminons la date de leur deuxième rencontre simultanée. 
 
En effet, comme le $1er$ groupe se réunit tous les $2$ jours et le second tous les $5$ jours alors, le nombre de jours qui détermine leur deuxième rencontre simultanée sera le premier multiple non nul de $2$ et de $5.$
 
C'est donc le $PPCM(2\;;\ 5)$
 
On a : $PPCM(2\;;\ 5)=2\times 5=10$
 
Ainsi, comme ils se sont rencontrés simultanément, la première fois, le $1er$ janvier alors, la date de leur deuxième rencontre simultanée sera égale à :
 
$\begin{array}{rcl}\text{date 1er rencontre}+\text{nombre de jours déterminant leur 2e rencontre}&=&1+10\\\\&=&11\end{array}$
 
D'où, les deux groupes vont se rencontrer simultanément, le $11$ Janvier, pour la deuxième fois. 

Exercice 13 : "Problème de la vie courante"

Un philatéliste possède $1\,631$ timbres sénégalais et $932$ étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques c'est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres sénégalais et étranger.
 
1) Calculons $PGCD(1\,631\;;\ 932)\ $ et $\ PPCM (1\,631\;;\ 932)$
 
En décomposant les nombres $1\,631\ $ et $\ 932$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$\begin{array}{r|l} 1\,631&7\\233&233\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 932&2\\466&2\\233&233\\1&\end{array}$
 
Donc, $1\,631=7\times 233\ $ et $\ 932=2^{2}\times 233$
 
Ainsi, $\boxed{PGCD(1\,631\;;\ 932)=233}$
 
Aussi, on a :
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(1\,631\;;\ 932)&=&2^{2}\times 233\times 7\\\\&=&4\times 233\times 7\\\\&=&6\,524\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPCM(1\,631\;;\ 932)=6\,524}$
 
2) Calculons le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser.
 
On sait que ce philatéliste veut réaliser des lots identiques, comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres sénégalais et étranger.
 
Alors, le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser représente le plus grand diviseur commun de $1\,631\ $ et $\ 932.$
 
Or, d'après le résultat de $1)$, on a : $PGCD(1\,631\;;\ 932)=233$ 
 
Donc, le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser est égal à $233.$
 
3) Déterminons dans ce cas le nombre de timbres sénégalais et étrangers par lot.
 
Pour cela, on divise respectivement le nombre de timbres sénégalais et étrangers par le nombre de lots.
 
On a alors :
 
$\begin{array}{rcl}\text{Nombre de timbres sénégalais par lot}&=&\dfrac{\text{nombre de timbres sénégalais}}{\text{nombre de lots}}\\\\&=&\dfrac{1\,631}{233}\\\\&=& 7\end{array}$
 
Donc, on aura $7$ timbres sénégalais dans chaque lot.
 
$\begin{array}{rcl}\text{Nombre de timbres étrangers par lot}&=&\dfrac{\text{nombre de timbres étrangers}}{\text{nombre de lots}}\\\\&=&\dfrac{932}{233}\\\\&=& 4\end{array}$
 
Ainsi, il y aura $4$ timbres étrangers par lot.
 
Par conséquent, dans chaque lot, il y aura $7$ timbres sénégalais et $4$ timbres étrangers.

Exercice 14

1) Recopions et complétons les phrases suivantes par l'expression qui convient :
 
a) Soient $p\;,\ q\ $ et $\ t$ des entiers naturels.
 
Si $p=q\times t$ alors $p$ est un multiple de $q\ $ et $\ t\;;\ q\ $ et $\ t$ sont des diviseurs de $p.$
 
b) Tout nombre entier naturel est multiple de un.
 
c) $1$ est diviseur de tout nombre entier naturel
 
d) $0$ est multiple de tout nombre entier naturel.
 
2) Donnons la définition d'un nombre premier.
 
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui même.
 
3) Les cinq premiers nombres premiers sont :
$$2\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 7\;;\ 11$$
4) Un nombre entier naturel $a$ est multiple d'un entier naturel $b$ si, et seulement si, il existe un nombre entier naturel $q$ tel que :
$$a=b\times q$$
5) Un nombre entier naturel $b$ est diviseur d'un entier naturel $c$ si, et seulement si, il existe un nombre entier naturel $a$ tel que :
$$a=c\div b$$

Exercice 15

a) L'égalité $51=9\times 5+6$ caractérise la division euclidienne de $51$ par $9$ mais ne caractérise pas la division euclidienne de $51$ par $5$
 
Justifions notre réponse.
 
En effet, dans l'égalité $51=9\times 5+6$, le reste $6$ est inférieur $9.$
 
Donc, l'égalité $51=9\times 5+6$ caractérise bien la division euclidienne de $51$ par $9.$
 
Par contre, le reste $6$ est plus grand que $5.$
 
Par conséquent, l'égalité $51=9\times 5+6$ ne caractérise pas la division euclidienne de $51$ par $5.$
 
b) L'égalité $35=4\times 7+7$ ne traduit ni la division euclidienne de $35$ par $4$, ni la division euclidienne de $35$ par $7$
 
Justifions notre réponse.
 
On sait que dans une division euclidienne le reste est toujours inférieur au diviseur.
 
Or, dans la relation $35=4\times 7+7$, le reste $7$ est supérieur au diviseur $4.$
 
Donc, l'égalité $35=4\times 7+7$ ne traduit pas la division euclidienne de $35$ par $4.$
 
Par ailleurs, le reste $7$ est égal au diviseur $7.$
 
D'où, l'égalité $35=4\times 7+7$ ne traduit pas la division euclidienne de $35$ par $7.$
 
c) Donnons si possible le quotient exact de $135$ par $9\;;\ 142$ par $8\;;\ 165$ par $11\;;\ 247$ par $19.$
 
En effet, on dit que le quotient est exact, si le reste de la division euclidienne d'un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ est égal à zéro.
 
Soit $135\div 9$
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
$$\begin{array}{l} \ \ 135 \\ -\ 9 \\ \hline\quad\ 45 \\ \ \,-45 \\ \hline\quad\ \ 0\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 9 \\ \hline 15 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$
On constate que le reste de la division euclidienne est égal à $0$ donc, le quotient $15$ est exact.
 
Soit $142\div 8$
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
$$\begin{array}{l} \ \ 142 \\ -\ 8 \\ \hline\quad\ 62 \\ \ \,-56 \\ \hline\quad\ \ 6\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 8 \\ \hline 17 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$
On remarque que le reste de la division euclidienne $6$ est différent de $0.$
 
Par conséquent, ce quotient n'est pas exact.
 
Soit $165\div 11$
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
$$\begin{array}{l} \ \ 165 \\ -11 \\ \hline\quad\ 55 \\ \ \,-55 \\ \hline\quad\ \ 0\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 11 \\ \hline 15 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$
On constate que le reste de la division euclidienne est égal $0.$
 
Par conséquent, $15$ est un quotient exact.
 
Soit $247\div 19$
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
$$\begin{array}{l} \ \ 247 \\ -19 \\ \hline\quad\ 57 \\ \ \,-57 \\ \hline\quad\ \ 0\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 19 \\ \hline 13 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$
On remarque que le reste de la division euclidienne est égal $0.$
 
Donc, $13$ est un quotient exact.

Exercice 16

Parmi les égalités ci-dessous, recopions celles qui représentent une division euclidienne ? Justifie.
 
a) $54=27\times 2+0$
 
Dans l'égalité $54=27\times 2+0$, on remarque que le reste est égal à $0$ donc, on a un quotient exact.
 
Par conséquent, l'égalité $54=27\times 2+0$ représente une division euclidienne de $54$ par $27$ et aussi de $54$ par $2.$
 
b) $16=2\times 7+2$
 
Dans l'égalité $16=2\times 7+2$, on constate que le reste est inférieur au diviseur $7$ mais est égal au diviseur $2.$
 
Par conséquent, l'égalité  $16=2\times 7+2$ représente une division euclidienne de $16$ par $7.$
 
c) $16=3\times 5+1$
 
Dans l'égalité $16=3\times 5+1$, le reste $1$ est inférieur à $3$ et à $5.$
 
Par conséquent, l'égalité $16=3\times 5+1$ représente une division euclidienne de $16$ par $3$ et aussi de $16$ par $5.$
 
f) $22=2\times 10+2$
 
Dans l'égalité $22=2\times 10+2$, le reste  est inférieur au diviseur $10$ mais est égal au diviseur $2.$
 
Donc, l'égalité $22=2\times 10+2$ représente une division euclidienne de $22$ par $10.$
 
h) $30=3\times 9+3$
 
Dans l'égalité $30=3\times 9+3$, le reste  est inférieur au diviseur $9$ mais est égal au diviseur $3.$
 
Par conséquent, l'égalité $30=3\times 9+3$ représente une division euclidienne de $30$ par $9.$

Exercice 17

Examinons les égalités suivantes :
$$280=13\times 18+46\;;\ 250=13\times 18+16\;;\ 240=13\times 18+6$$
Lorsqu'une de ces égalités correspond à une division euclidienne, précisons le diviseur, le dividende, le quotient et le reste de cette division.
 
l'égalité $250=13\times 18+16$ correspond à une division euclidienne de $250$ par $18.$
 
Ainsi :
 
$\text{diviseur}=18$
 
$\text{dividende}=250$
 
$\text{quotient}=13$
 
$\text{reste}=16$
 
l'égalité $240=13\times 18+6$ correspond à une division euclidienne de $240$ par $13$ ou encore de $240$ par $18$
 
Ainsi,
 
Pour la division euclidienne de $240$ par $13$, on a :
 
$\text{diviseur}=13$
 
$\text{dividende}=240$
 
$\text{quotient}=18$
 
$\text{reste}=6$
 
Pour la division euclidienne de $240$ par $18$, on a :
 
$\text{diviseur}=18$
 
$\text{dividende}=240$
 
$\text{quotient}=13$
 
$\text{reste}=6$

Exercice 18

1) Considérons les nombres suivants : $39\;,\ 91\;,\  213\;,\  117\ $ et $\ 36$
 
On a :
 
$-\ $ la division euclidienne de $39$ par $13$ donne : $39=13\times 3+0$
 
Comme le reste est égal à $0$ alors, c'est un quotient exact.
 
D'où, $39$ est divisible par $13$
 
$-\ $ la division euclidienne de $91$ par $13$ donne : $91=13\times 7+0$
 
On remarque que le reste est égal à $0$ donc, le quotient est exact.
 
Par conséquent, $91$ est divisible par $13$
 
$-\ $ la division euclidienne de $213$ par $13$ donne : $213=13\times 16+5$
 
Le reste étant différent de $0$ donc, le quotient n'est pas exact.
 
D'où, $213$ n'est pas divisible par $13$
 
$-\ $ la division euclidienne de $117$ par $13$ donne : $117=13\times 9+0$
 
Comme le reste est égal à $0$ alors, le quotient est exact.
 
Par conséquent, $117$ est divisible par $13$
 
$-\ $ la division euclidienne de $36$ par $13$ donne : $36=13\times 2+10$
 
Comme le reste est différent de $0$ alors, le quotient n'est pas exact.
 
D'où, $36$ n'est pas divisible par $13$
 
2) Trouvons les diviseurs communs aux nombres suivants : $12\ $ et $\ 16\;;\quad 15\ $ et $\ 24\;;\quad 12\;,\ 15\ $ et $\ 24\;;\quad 30\ $ et $\ 45\;;\quad 20\;,\ 30\ $ et $\ 50.$
 
Pour cela, on donne la liste des diviseurs de chaque nombre puis on identifie les diviseurs communs à ces nombres.
 
Les diviseurs de $12$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 6\;;\ 12$$
Les diviseurs de $16$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 4\;;\ 8\;;\ 16$$
Donc, les diviseurs communs aux nombres $12\ $ et $\ 16$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 4$$
Les diviseurs de $15$ sont :
$$1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 15$$
Les diviseurs de $24$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 6\;;\ 8\;;\ 12\;;\ 24$$
Ainsi, les diviseurs communs aux nombres $15\ $ et $\ 24$ sont :
$$1\;;\ 3$$
Par suite, les diviseurs communs aux nombres $12\ \;,\ 15\ $ et $\ 24$ sont :
$$1\;;\ 3$$
Les diviseurs de $30$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 6\;;\ 10\;;\ 15\;;\ 30$$
Les diviseurs de $45$ sont :
$$1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 9\;;\ 15\;;\ 45$$
Donc, les diviseurs communs aux nombres $30\ $ et $\ 45$ sont :
$$1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 15$$
Les diviseurs de $20$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 10\;;\ 20$$
Les diviseurs de $50$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 5\;;\ 10\;;\ 25\;;\ 50$$
Par suite, les diviseurs communs aux nombres $20\ \;,\ 30\ $ et $\ 50$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 5\;;\ 10$$

Exercice 19

a) Donnons deux multiples communs à $2\;;\ 5\ $ et $\ 8.$
 
$40\ $ et $\ 80$ sont deux multiples communs à $2\;;\ 5\ $ et $\ 8.$
 
b) Donnons les deux premiers multiples communs à $2\;;\ 3\ $ et $\ 5.$
 
Le premier multiple différent de $0$ commun à $2\;;\ 3\ $ et $\ 5$ est donné par :
$$PPMC(2\;;\ 3\;;\ 5)=2\times 3\times 5=30$$
Donc, le deuxième multiple différent de $0$ commun à $2\;;\ 3\ $ et $\ 5$ est donné par :
$$30\times 2=60$$
Par suite, les deux premiers multiples communs à $2\;;\ 3\ $ et $\ 5$ sont : $30\ $ et $\ 60$
 
c) Donnons trois diviseurs communs à $24\;;\ 36\ $ et $\ 54.$
 
On a : $1\;;\ 2\ $ et $\ 3$ sont trois diviseurs communs à $24\;;\ 36\ $ et $\ 54.$
 
d) $140$ est multiple de $10$
 
Justification :
 
En effet, tout nombre entier dont le dernier chiffre est égal à $0$ est multiple de $10.$
 
Donc, $140$ est bien multiple de $10.$
 
e) $123$ est multiple de $3$
 
Justification :
 
Un nombre entier est multiple de $3$ si la somme de ses chiffres est multiple de $3.$
 
Or, $1+2+3=6\ $ et $\ 6$ est multiple de $3$ donc, $123$ est multiple de $3.$
 
f) Donnons tous les multiples inférieurs à $101$ de chacun des entiers suivants : $2\;;\ 3\;;\ 5\ $ et $\ 7.$
 
$\centerdot\ $ multiples de $2$ inférieurs à $101$
$$\begin{array}{ccccccccccc} 0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&20\\22&24&26&28&30&32&34&36&38&40&42\\44&46&48&50&52&54&56&58&60&62&64\\66&68&70&72&74&76&78&80&82&84&86\\90&92&94&96&98&100&&&&&\end{array}$$
$\centerdot\ $ multiples de $3$ inférieurs à $101$
$$\begin{array}{ccccccccccc} 0&3&6&9&12&15&18&21&24&27&30\\33&36&39&42&45&48&51&54&57&60&63\\66&69&72&75&78&81&84&87&90&93&96\\99&&&&&&&&&&\end{array}$$
$\centerdot\ $ multiples de $5$ inférieurs à $101$
$$\begin{array}{cccccc} 0&5&10&15&20&25\\30&35&40&45&50&55\\60&65&70&75&80&85\\90&95&100&&&\end{array}$$
$\centerdot\ $ multiples $7$ inférieurs à $101$
$$\begin{array}{ccccc} 0&7&14&21&28\\35&42&49&56&63\\70&77&84&91&98\end{array}$$
g) Donnons les diviseurs de chacun des entiers suivants : $18\;;\ 24\;;\ 60\ $ et $\ 63.$
 
$\centerdot\ $ diviseurs de $18$
$$\begin{array}{cccccc} 1&2&3&6&9&18\end{array}$$
$\centerdot\ $ diviseurs de $24$
$$\begin{array}{cccccccc} 1&2&3&4&6&8&12&24\end{array}$$
$\centerdot\ $ diviseurs de $60$
$$\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6\\10&12&15&20&30&60\end{array}$$
$\centerdot\ $ diviseurs de $63$
$$\begin{array}{cccccc} 1&3&7&9&21&63\end{array}$$
h) Donnons les multiples de $7$ compris entre $25\ $ et $\ 133.$
 
Ce sont les nombres entiers multiples de $7$ et qui sont plus grands que $25$ et plus petits que $133.$
$$\begin{array}{ccccc} 28&35&42&49&56\\63&35&42&49&56\\63&70&77&84&91\\98&105&112&119&126\end{array}$$
i) Donnons les multiples de $11$ inférieurs à $112.$
$$\begin{array}{ccccc} 0&11&22&33&44\\55&66&77&88&99\\110&&&&\end{array}$$
j) Les multiples communs à $2\ $ et $\ 3$ inférieurs à $67$ sont donnés par :
$$\begin{array}{cccccc} 0&6&12&18&24&30\\36&42&48&54&60&66\end{array}$$
k) Les multiples communs à $5\ $ et $\ 7$ inférieurs à $97$ sont :
$$\begin{array}{ccc} 0&35&70\end{array}$$
l) Donnons trois multiples consécutifs de $5$ inférieurs à $65$ et supérieurs à $25.$
 
$35\;;\ 40\ $ et $\ 45$ sont trois multiples consécutifs de $5$ inférieurs à $65$ et supérieurs à $25.$
 
On peut aussi choisir :
 
$30\;;\ 35\;;\ 40$
 
$40\;;\ 45\;;\ 50$
 
$50\;;\ 55\;;\ 60$
 
$45\;;\ 50\;;\ 55$

Exercice 20

1) Trouvons les diviseurs des nombres suivants : $19\;;\ 21\;;\ 33\;;\ 47\;;\ 40.$
 
Les diviseurs de $19$ sont :
$$1\;;\ 19$$
Les diviseurs de $21$ sont :
$$1\;;\ 3\;;\ 7\;;\ 21$$
Les diviseurs de $33$ sont :
$$1\;;\ 3\;;\ 11\;;\ 33$$
Les diviseurs de $47$ sont :
$$1\;;\ 47$$
Les diviseurs de $40$ sont :
$$1\;;\ 2\;;\ 4\;;\ 10\;;\ 20\;;\ 40$$
2) Les nombres $19\ $ et $\ 47$ sont premiers.
 
On constate que $19\ $ et $\ 47$ ont exactement deux diviseurs : $1$ et eux-mêmes.
 
Par conséquent, ce sont des nombres premiers.
 
3) En utilisant la méthode du crible d'Eratosthène donnons dans l'ordre croissant les entiers naturels premiers compris entre $100\ $ et $\ 200.$
 
La méthode du crible d'Eratosthène consiste à éliminer tous les multiples des nombres premiers connus.
 
Or, les nombres premiers connus inférieurs à $100$ sont :
$$\begin{array}{cccccccccc} 2&3&5&7&11&13&17&19&23&29\\\\31&37&41&43&47&53&59&61&67&71\\\\73&79&83&89&97&&&&&\end{array}$$
On élimine ensuite leurs multiples compris entre $100\ $ et $\ 200.$
 
On obtient alors, dans l'ordre croissant, les entiers naturels premiers compris entre $100\ $ et $\ 200.$
$$\begin{array}{cccccccccc} 101&103&107&109&113&127&131&137&139&149\\ \\ 151&157&163&167&173&179&181&191&193&197\\\\199&&&&&&&&&\end{array}$$

Exercice 21

1) Rappelons la règle pour justifier qu'un nombre est premier.
 
Pour justifier qu'un nombre entier naturel est premier, il suffit de vérifier qu'il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
 
2) Les entiers naturels $131\ $ et $\ 109$ sont premiers.
 
Par contre, les entiers naturels $91\;;\ 201\;;\ 203\;;\ $ et $\ 301$ ne sont pas premiers.
 
Justifions notre réponse.
 
En effet,
 
$131$ a exactement deux diviseurs : $1\ $ et $\ 131$ donc, $131$ est un nombre premier.
 
$109$ a exactement deux diviseurs : $1\ $ et $\ 109.$ Par conséquent, $109$ est un nombre premier.
 
$91=7\times 13$ alors, $91$ a quatre diviseurs $1\;,\ 7\;,\ 13\ $ et $\ 91$ donc, $91$ n'est pas un nombre premier
 
$201=67\times 3$ alors, $201$ a quatre diviseurs $1\;,\ 3\;,\ 67\ $ et $\ 201$ donc, $201$ n'est pas un nombre premier
 
$203=7\times 29$ alors, $203$ a quatre diviseurs $1\;,\ 7\;,\ 29\ $ et $\ 203$ donc, $203$ n'est pas un nombre premier
 
$301=7\times 43$ alors, $301$ a quatre diviseurs $1\;,\ 7\;,\ 43\ $ et $\ 301$ donc, $301$ n'est pas un nombre premier

Exercice 22

1) Décomposons les nombres suivants en produits de facteurs premiers :
 
$$6\;;\ 9\;;\ 12\;;\ 14\;;\ 17\;;\ 19\;;\ 42\;;\ 50\;;\ 60\;;\ 63\;;\ 70\;;\ 76\;;\ 84\;;\ 91$$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 6&2\\3&3\\1&\end{array}\quad$donc, $6=2\times 3$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 9&3\\3&3\\1&\end{array}\quad$alors, $9=3^{2}$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}\quad$par suite, $12=2^{2}\times 3$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 14&2\\7&7\\1&\end{array}\quad$ainsi, $14=2\times 7$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 17&17\\1&\end{array}\quad$donc, $17=17\times 1$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 19&19\\1&\end{array}\quad\text{alors, }19=19\times 1$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$on obtient alors : $42=2\times 3\times 7$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\quad$par suite,, $50=2\times 5^{2}$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}\quad$ce qui donne : $60=2^{2}\times 3\times 5$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 63&3\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$d'où, $63=3^{2}\times 7$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 70&2\\35&5\\7&7\\1&\end{array}\quad$ainsi, $70=2\times 5\times 7$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 76&2\\38&2\\19&19\\1&\end{array}\quad$ce qui donne : $76=2^{2}\times 19$
 
On a : $\begin{array}{r|l} 84&2\\42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$par suite, $84=2^{2}\times 3\times 7$
 
Soit : $\begin{array}{r|l} 91&7\\13&13\\1&\end{array}\quad$ainsi, $91=7\times 13$
 
2) Écrivons chacun des produits suivants sous forme d'un produit de facteurs premiers.
 
Soit : $A=14\times 18$
 
On commence d'abord par décomposer $14\ $ et $\ 18$ en produits de facteurs premiers.
 
Ce qui donne : $\begin{array}{r|l} 14&2\\7&7\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
 
Par suite, $14=2\times 7\ $ et $\ 18=2\times 3^{2}$
 
Ensuite, dans l'écriture de $A$, on remplace $14\ $ et $\ 18$ par leurs produits de facteurs premiers :
 
$A=14\times 18=2\times 7\times 2\times 3^{2}$
 
Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.
 
$\begin{array}{rcl} 2\times 7\times 2\times 3^{2}&=&2\times 2\times 3^{2}\times 7\\ \\&=&2^{2}\times 3^{2}\times 7\end{array}$
 
D'où : $\boxed{A=2^{2}\times 3^{2}\times 7}$
 
Soit : $B=21\times 22\times 23$
 
On sait que $23$ est un nombre premier donc, pour écrire $B$ sous forme d'un produit de facteurs premiers il suffit de décomposer $21\ $ et $\ 22$ en produits de facteurs premiers.
 
Ainsi, $\begin{array}{r|l} 21&3\\7&7\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 22&2\\11&11\\1&\end{array}$
 
Donc, $21=3\times 7\ $ et $\ 22=2\times 11$
 
En remplaçant dans l'écriture de $B$, on obtient :
 
$B=21\times 22\times 23=3\times 7\times 2\times 11\times 23$
 
D'où, $\boxed{B=3\times 7\times 2\times 11\times 23}$
 
Soit : $C=10\times 11\times 12\times 13$
 
On sait que $11\ $ et $\ 13$ sont des nombres premiers donc, on va d'abord décomposer $10\ $ et $\ 12$ en produits de facteurs premiers.
 
Soit alors : $\begin{array}{r|l} 10&2\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
 
Par suite, $10=2\times 5\ $ et $\ 12=2^{2}\times 3$
 
Ensuite, dans l'écriture de $C$, on remplace $10\ $ et $\ 12$ par leurs produits de facteurs premiers :
 
$C=10\times 11\times 12\times 13=2\times 5\times 11\times 2^{2}\times 3\times 13$
 
Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.
 
$\begin{array}{rcl} 2\times 5\times 11\times 2^{2}\times 3\times 13&=&2\times 2^{2}\times 3\times 5\times 11\times 13\\ \\&=&2^{3}\times 3\times 5\times 11\times 13\end{array}$
 
D'où : $\boxed{C=2^{3}\times 3\times 5\times 11\times 13}$
 
Soit : $D=81\times 121\times 169$
 
On commence par décomposer les nombres $81\;,\ 121\ $ et $\ 169$ en produits de facteurs premiers.
 
Alors, $\begin{array}{r|l} 81&3\\27&3\\9&3\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 121&11\\11&11\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 169&13\\13&13\\1&\end{array}$
 
Donc, $81=3^{4}\;;\ \ 121=11^{2}\ $ et $\ 169=13^{2}$
 
Par suite, $D=81\times 121\times 169=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}$
 
D'où : $\boxed{D=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}}$

Exercice 23

1) Déterminons :
 
$-\ $ le $PPCM$ de $14\ $ et $\ 15$
 
On constate que $14\ $ et $\ 15$ sont deux entiers naturels consécutifs.
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(14\;;\ 15)&=&14\times 15\\\\&=&210\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPCM(14\;;\ 15)=210}$
 
$-\ $ le $PPCM$ de $24\ $ et $\ 48$
 
On constate que $48$ est un multiple de $24.$
 
Par conséquent, $\boxed{PPCM(24\;;\ 48)=48}$
 
$-\ $ le $PPCM$ de $36\ $ et $\ 84$
 
En décomposant les nombres $36\ $ et $\ 84$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$\begin{array}{r|l} 36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 84&2\\42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$
 
Alors, $36=2^{2}\times 3^{2}\ $ et $\ 84=2^{2}\times 3\times 7$
 
Donc, 
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(36\;;\ 84)&=&2^{2}\times 3^{2}\times 7\\\\&=&4\times 9\times 7\\\\&=&252\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPCM(36\;;\ 84)=252}$
 
2) Dans chaque cas suivant, déterminons le $PPCM$ de $A\ $ et $\ B\ :$
 
a) $A=2^{7}\times 3^{2}\times 5\times 7\ $ et $\ B=2^{5}\times 3\times 5^{2}$
 
Alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(A\;;\ B)&=&2^{7}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 7\\\\&=&128\times 9\times 25\times 7\\\\&=&201\,600\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{PPCM(A\;;\ B)=201\,600}$
 
b) $A=2^{3}\times 3\times 5^{2}\times 7\ $ et $\ B=2\times 3^{2}\times 5\times 11$
 
On a alors :
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(A\;;\ B)&=&2^{3}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 7\times 11\\\\&=&8\times 9\times 25\times 7\times 11\\\\&=&138\,600\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPCM(A\;;\ B)=138\,600}$
 
c) $A=100\ $ et $\ B=180$
 
On décompose d'abord les nombres $100\ $ et $\ 180$ en produits de facteurs premiers.
 
On a alors :
 
$\begin{array}{r|l} 100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 180&2\\90&2\\45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
 
Donc, $A=2^{2}\times 5^{2}\ $ et $\ B=2^{2}\times 3^{2}\times 5$
 
Ainsi, 
 
$\begin{array}{rcl} PPCM(A\;;\ B)&=&2^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\\\\&=&4\times 9\times 25\\\\&=&900\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPCM(A\;;\ B)=900}$

Exercice 24

1) Déterminons :
 
$-\ $ le $PGDC$ de $56\ $ et $\ 60$
 
En décomposant les nombres $56\ $ et $\ 60$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$\begin{array}{r|l} 56&2\\28&2\\14&2\\7&7\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
 
Alors, $56=2^{3}\times 7\ $ et $\ 60=2^{2}\times 3\times 5$
 
Donc, 
 
$\begin{array}{rcl} PGDC(56\;;\ 60)&=&2^{2}\\\\&=&4\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PGDC(56\;;\ 60)=4}$
 
$-\ $ le $PGDC$ de $12\ $ et $\ 18$
 
On décompose les nombres $12\ $ et $\ 18$ en produits de facteurs premiers.
 
On obtient alors :
 
$\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
 
Donc, $12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 18=2\times 3^{2}$
 
Ainsi, 
 
$\begin{array}{rcl} PGDC(12\;;\ 18)&=&2\times 3\\\\&=&6\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PGDC(12\;;\ 18)=6}$
 
$-\ $ le $PGDC$ de $200\ $ et $\ 280$
 
En décomposant les nombres $200\ $ et $\ 280$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$\begin{array}{r|l} 200&2\\100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 280&2\\140&2\\70&2\\35&5\\7&7\\1&\end{array}$
 
Alors, $200=2^{3}\times 5^{2}\ $ et $\ 280=2^{3}\times 5\times 7$
 
Donc, 
 
$\begin{array}{rcl} PGDC(200\;;\ 280)&=&2^{3}\times 5\\\\&=&8\times 5\\\\&=&40\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PGDC(200\;;\ 280)=40}$
 
2) Déterminons le $PGDC$ de $A\ $ et $\ B$ dans chaque cas suivants :
 
a) $A=2^{4}\times 7\times 11\ $ et $\ B=2^{3}\times 7^{2}\times 11^{3}\times 5$
 
On a alors :
 
$\begin{array}{rcl} PGDC(A\;;\ B)&=&2^{3}\times 7\times 11\\\\&=&8\times 7\times 11\\\\&=&616\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PGDC(A\;;\ B)=616}$
 
b) $A=2^{7}\times 5^{8}\times 13\ $ et $\ B=5^{4}\times 23$
 
On a alors :
 
$\begin{array}{rcl} PGDC(A\;;\ B)&=&5^{4}\\\\&=&625\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PGDC(A\;;\ B)=625}$
 
c) $A=5\times 7\ $ et $\ B=11\times 13$
 
On a alors : $\boxed{PGDC(A\;;\ B)=1}$

Exercice 25

a) Trouvons deux nombres entiers dont le $PGDC$ est égal à $8.$
 
Soit $A\ $ et $\ B$ deux nombres entiers tels que : $PGDC(A\;;\ B)=8$
 
Donc, en multipliant $8$ respectivement par deux nombres premiers distincts, on obtient $A\ $ et $\ B.$
 
Ainsi, on a : $A=8\times 2=16\ $ et $\ B=8\times 3=24$
$$PGDC(16\;;\ 24)=8$$
b) Trouvons trois nombres entiers dont le $PGDC$ est égal à $11.$
 
Soit $A\;;\ B\ $ et $\ C$ trois nombres entiers tels que : $PGDC(A\;;\ B\;;\ C)=11.$
 
Alors, en multipliant $11$ respectivement par trois nombres premiers distincts, on obtient $A\;;\ B\ $ et $\ C.$
 
Donc, on a : $A=11\times 2=22\;;\ B=11\times 3=33\ $ et $\ C=11\times 5=55$
$$PGDC(22\;;\ 33\;;\ 55)=11$$
c) Trouvons deux nombres entiers dont le $PPMC$ est égal à $100.$
 
Soit $A\ $ et $\ B$ deux nombres entiers tels que : $PPMC(A\;;\ B)=100$
 
Alors, en divisant respectivement par deux nombres entiers distincts, on obtient $A\ $ et $\ B.$
 
Ainsi, on a : $A=100\div 2=50\ $ et $\ B=100\div 5=20$
$$PPMC(50\;;\ 20)=100$$
d) Trouvons trois nombres entiers naturels dont le $PPMC$ est $48.$
 
Soit $A\;;\ B\ $ et $\ C$ trois nombres entiers tels que : $PPMC(A\;;\ B\;;\ C)=48.$
 
Alors, en divisant $48$ respectivement par trois nombres entiers distincts, on obtient $A\;;\ B\ $ et $\ C.$
 
Donc, on a : $A=48\div 2=24\;;\ B=48\div 3=16\ $ et $\ C=48\div 6=8$
$$PPMC(24\;;\ 16\;;\ 8)=48$$

Exercice 26

1) Trouvons $PPMC(18\;;\ 42)\ $ et $\ PPMC(9\;;\ 21).$
 
En décomposant les nombres $18\ $ et $\ 42$ en produits de facteurs premiers, on obtient : $18=2\times 3^{2}\ $ et $\ 42=2\times 3\times 7$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} PPMC(18\;;\ 42)&=&2\times 3^{2}\times 7\\\\&=&2\times 9\times 7\\\\&=&126\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPMC(18\;;\ 42)=126}$
 
En décomposant les nombres $9\ $ et $\ 21$ en produits de facteurs premiers, on obtient : $9=3^{2}\ $ et $\ 21=3\times 7$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} PPMC(9\;;\ 21)&=&3^{2}\times 7\\\\&=&9\times 7\\\\&=&63\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPMC(9\;;\ 21)=63}$
 
2) Trouvons $PPMC(18\;;\ 42\;;\ 21).$
 
On a : $18=2\times 3^{2}\;;\ 42=2\times 3\times 7\ $ et $\ 21=3\times 7$
 
Alors,
 
$\begin{array}{rcl} PPMC(18\;;\ 42\;;\ 21)&=&2\times 3^{2}\times 7\\\\&=&2\times 9\times 7\\\\&=&126\end{array}$
 
D'où, $\boxed{PPMC(18\;;\ 42\;;\ 21)=126}$
 
3) Trouvons $PGCD(9\;;\ 30\;;\ 45).$
 
En décomposant les nombres $9\;;\ 30\ $ et $\ 45$ en produits de facteurs premiers, on obtient : $9=3^{2}\;;\ 30=2\times 3\times 5 $ et $\ 45=3^{2}\times 5$
 
Ainsi, $\boxed{PGCD(9\;;\ 30\;;\ 45)=3}$

 

 
Auteur: 
Diny Faye

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Je veux la correction de l'exercice 25

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