Solution des exercices : Angles - Trigonométrie - 2nd
Classe:
Seconde
Exercice 1
1) Déterminons la mesure principale de :
$$\dfrac{27\pi}{3}\;,\ \dfrac{77\pi}{4}\;,\ -\dfrac{81\pi}{5}$$
$\centerdot\ $ mesure principale de $\dfrac{27\pi}{3}$
Soit $\alpha$ la mesure principale de $\dfrac{27\pi}{3}$ alors, $-\pi<\alpha\leq\pi$ et on a :
$$\dfrac{27\pi}{3}=\alpha+2k\pi\quad\text{avec, }k\in\mathbb{Z}$$
Donc,
$$\alpha=\dfrac{27\pi}{3}-2k\pi$$
Déterminons alors l'entier relatif $k.$
On a :
$\begin{array}{rcl} -\pi<\alpha\leq\pi&\Leftrightarrow&-\pi<\dfrac{27\pi}{3}-2k\pi \leq\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\pi-\dfrac{27\pi}{3}<-2k\pi\leq\pi-\dfrac{27\pi}{3}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{27\pi}{3}-\pi\leq 2k\pi<\dfrac{27\pi}{3}+\pi\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{24\pi}{3}\leq 2k\pi<\dfrac{30\pi}{3}\\ \\&\Leftrightarrow&8\leq 2k<10\\ \\&\Leftrightarrow&4\leq k<5\end{array}$
Par suite : $k=4$
Ainsi, en remplaçant $k$ par sa valeur, dans l'expression de $\alpha$, on trouve :
$$\boxed{\alpha=\pi}$$
$\centerdot\ $ mesure principale de $\dfrac{77\pi}{4}$
Soit $\beta$ la mesure principale de $\dfrac{77\pi}{4}$ alors, $-\pi<\beta\leq\pi$ et on a :
$$\dfrac{77\pi}{4}=\beta+2k\pi\quad\text{avec, }k\in\mathbb{Z}$$
Ainsi,
$$\beta=\dfrac{77\pi}{4}-2k\pi$$
Détermination de l'entier relatif $k.$
On a :
$\begin{array}{rcl} -\pi<\beta\leq\pi&\Leftrightarrow&-\pi<\dfrac{77\pi}{4}-2k\pi \leq\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\pi-\dfrac{77\pi}{4}<-2k\pi\leq\pi-\dfrac{77\pi}{4}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{77\pi}{4}-\pi\leq 2k\pi<\dfrac{77\pi}{4}+\pi\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{73\pi}{4}\leq 2k\pi<\dfrac{81\pi}{4}\\ \\&\Leftrightarrow&18.25\leq 2k<20.25\\ \\&\Leftrightarrow&9.125\leq k<10.125\end{array}$
On obtient : $k=10$
Ce qui donne alors :
$$\boxed{\beta=-\dfrac{3\pi}{4}}$$
$\centerdot\ $ mesure principale de $-\dfrac{81\pi}{5}$
Soit $\gamma$ la mesure principale de $-\dfrac{81\pi}{5}$ alors, $-\pi<\gamma\leq\pi$ et on a :
$$-\dfrac{81\pi}{5}=\gamma+2k\pi\quad\text{avec, }k\in\mathbb{Z}$$
Ce qui entraine :
$$\gamma=-\dfrac{81\pi}{5}-2k\pi$$
Déterminons l'entier relatif $k.$
On a :
$\begin{array}{rcl} -\pi<\gamma\leq\pi&\Leftrightarrow&-\pi<-\dfrac{81\pi}{5}-2k\pi \leq\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\pi+\dfrac{81\pi}{5}<-2k\pi\leq\pi+\dfrac{81\pi}{5}\\ \\&\Leftrightarrow&-\dfrac{81\pi}{5}-\pi\leq 2k\pi<-\dfrac{81\pi}{5}+\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\dfrac{86\pi}{5}\leq 2k\pi<-\dfrac{76\pi}{5}\\ \\&\Leftrightarrow&-17.2\leq 2k<-15.2\\ \\&\Leftrightarrow&-8.6\leq k<-7.6\end{array}$
On obtient alors : $k=-8$
Par suite :
$$\boxed{\gamma=-\dfrac{\pi}{5}}$$
2) Donnons les valeurs exactes de :
a) $\cos\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \cos\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{7\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{213\pi}{6}\;,\ \cos\dfrac{-77\pi}{3}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\cos\dfrac{2\pi}{3}$
Comme $\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ alors, on a :
$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{2\pi}{3} &=&\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\\ \\&=&-\cos\dfrac{\pi}{3}\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{2\pi}{3}$
En utilisant les propriétés trigonométriques du sinus, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\sin\dfrac{2\pi}{3} &=&\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\\ \\&=&\sin\dfrac{\pi}{3}\\ \\&=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$
Donc, $\boxed{\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\cos\dfrac{25\pi}{4}$
On sait que : $\dfrac{25\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+6\pi.$
Donc, d'après les propriétés trigonométriques du cosinus, on a :
$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{25\pi}{4} &=&\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+6\pi\right)\\ \\&=&\cos\dfrac{\pi}{4}\\ \\&=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{\cos\dfrac{25\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{25\pi}{4}$
En utilisant les propriétés trigonométriques du sinus, on trouve :
$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{25\pi}{4}&=&\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+6\pi\right)\\ \\&=&\sin\dfrac{\pi}{4}\\ \\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$
Soit : $\boxed{\sin\dfrac{25\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{7\pi}{4}$
Comme $\dfrac{7\pi}{4}=2\pi-\dfrac{\pi}{4}$ alors, on obtient :
$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{7\pi}{4}&=&\sin\left(2\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\&=&-\sin\dfrac{\pi}{4}\\ \\&=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$
D'où : $\boxed{\sin\dfrac{7\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{213\pi}{6}$
On a : $\dfrac{213\pi}{6}=36\pi-\dfrac{3\pi}{6}=36\pi-\dfrac{\pi}{2}$
Donc, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus, on trouve :
$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{213\pi}{6}&=&\sin\left(36\pi-\dfrac{\pi}{2}\right)\\\\&=&\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\\ \\&=&-\sin\dfrac{\pi}{2}\\\\&=&-1\end{array}$
Par suite, $\boxed{\sin\dfrac{213\pi}{6}=-1}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\cos\dfrac{-77\pi}{3}$
On a : $\dfrac{-77\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}-26\pi$
Donc,
$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{-77\pi}{3}&=&\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-26\pi\right)\\\\&=&\cos\dfrac{\pi}{3}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\cos\dfrac{-77\pi}{3}=\dfrac{1}{2}}$
b) $\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\;,\ \tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\;,\ \tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$
On sait que : $\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}$ donc,
$\begin{array}{rcl}\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)&=&\tan\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)\\\\&=&\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$
D'où, $\boxed{\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$
Soit : $\dfrac{3\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}$
Alors,
$\begin{array}{rcl}\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)&=&\tan\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&-\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&-1\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-1}$
$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)$
On a : $\dfrac{-5\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}-2\pi$
Donc,
$\begin{array}{rcl}\tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)&=&\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi\right)\\\\&=&\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\end{array}$
Or, d'après ce qui précède, $\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Par suite, $\boxed{\tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$
Exercice 2
Transformons les expression suivantes :
$\begin{array}{rcl} A&=&3\cos(-x)+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+4\sin x+\cos x\\\\&=&3\cos x+2\cos x+4\sin x+\cos x\\\\&=&6\cos x+4\sin x\end{array}$
Donc, $\boxed{A=6\cos x+4\sin x}$
$\begin{array}{rcl} B&=&2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+5\cos(\pi-x)-3\sin(-x)-\cos x\\\\&=&2\cos x-5\cos x+3\sin x-\cos x\\\\&=&-4\cos x+3\sin x\end{array}$
D'où, $\boxed{B=-4\cos x+3\sin x}$
$\begin{array}{rcl} C&=&-\sin(\pi-x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-\sin(\pi-x)\\\\&=&-\sin x-\sin x-\sin x\\\\&=&-3\sin x\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C=-3\sin x}$
$\begin{array}{rcl} D&=&\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\cos(x-\pi)+\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\cos(x+\pi)\\\\&=&\cos x+\cos(-(\pi-x))+\sin\left(\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right)-\cos x\\\\&=&\cos x+\cos(\pi-x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-\cos x\\\\&=&\cos x-\cos x-\cos x-\cos x\\\\&=&-2\cos x\end{array}$
Donc, $\boxed{D=-2\cos x}$
$\begin{array}{rcl} E&=&2\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\pi+x\right)-2\sin(x-2\pi)+5\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)\\\\&=&2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-2\sin x+5\sin\left(2\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right)\\\\&=&-2\sin x-2\sin x+5\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\\\\&=&-2\sin x-2\sin x+5\cos x\\\\&=&-4\sin x+5\cos x\end{array}$
Par suite, $\boxed{E=-4\sin x+5\cos x}$
Exercice 3
Établissons les égalités suivantes :
1) $\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x$
Soit la relation suivante :
$$\cos^{2}x-\sin^{2}x\qquad(*)$$
Alors, on sait que : $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$
Ce qui entraine :
$$\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\ \text{ et }\ \sin^{2}x=1-\cos^{2}x$$
Ainsi, en remplaçant $\sin^{2}x$ par son expression, dans la relation $(*)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\cos^{2}x-\sin^{2}x&=&\cos^{2}x-\left(1-\cos^{2}x\right)\\\\&=&\cos^{2}x-1+\cos^{2}x\\\\&=&2\cos^{2}x-1\end{array}$
D'où, $\boxed{\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1}$
De la même manière, dans la relation $(*)$, en remplaçant $\cos^{2}x$ par son expression, on trouve :
$\begin{array}{rcl}\cos^{2}x-\sin^{2}x&=&1-\sin^{2}x-\sin^{2}x\\\\&=&1-2\sin^{2}x\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\cos^{2}x-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x}$
2) $\cos^{4}x+\sin^{4}x=1-2\cos^{2}x\sin^{2}x$
Comme $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ alors, en élevant au carré, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\cos^{2}x+\sin^{2}x=1^{2}&\Rightarrow&\left(\cos^{2}x+\sin^{2}x\right)^{2}=1\\\\&\Rightarrow&\cos^{4}x+2\cos^{2}x\sin^{2}x+\sin^{4}x=1\\\\&\Rightarrow&\cos^{4}x+\sin^{4}x=1-2\cos^{2}x\sin^{2}x\end{array}$
Par suite, $\boxed{\cos^{4}x+\sin^{4}x=1-2\cos^{2}x\sin^{2}x}$
3) $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}+\left(\cos x-\sin x\right)^{2}=2$
En utilisant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\left(\cos x+\sin x\right)^{2}+\left(\cos x-\sin x\right)^{2}&=&\left(\cos^{2}x+2\cos x\sin x+\sin^{2}x\right)+\left(\cos^{2}x-2\cos x\sin x+\sin^{2}x\right)\\\\&=&\cos^{2}x+\cos^{2}x+\sin^{2}x+\sin^{2}x+2\cos x\sin x-2\cos x\sin x\\\\&=&2\cos^{2}x+2\sin^{2}x\\\\&=&2\left(\underbrace{\cos^{2}x+\sin^{2}x}_{=1}\right)\\\\&=&2\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\cos x+\sin x\right)^{2}+\left(\cos x-\sin x\right)^{2}=2}$
Exercice 4
Donnons la longueur d'un demi-cercle de rayon $2\;cm$, et d'un quart de cercle de rayon $4\;cm.$
Un demi-cercle engendre un secteur angulaire de mesure : $\alpha=\pi$

Donc, la longueur $\ell$ de l'arc que représente ce demi-cercle est donnée par :
$$\ell=R\times\alpha\quad\text{ avec }R\text{ rayon du cercle}$$
$$\ell=R\times\alpha\quad\text{ avec }R\text{ rayon du cercle}$$
Par suite,
$\begin{array}{rcl}\ell&=&R\times\alpha\\\\&=&2\times\pi\\\\&=&6.28\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\ell=6.28\;cm}$
De la même manière, un quart de cercle engendre un secteur angulaire de mesure : $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$

Alors, la longueur $\ell$ de l'arc représenté par ce quart de cercle est donnée par :
$$\ell=R\times\alpha\quad\text{ avec }R\text{ rayon du cercle}$$
$$\ell=R\times\alpha\quad\text{ avec }R\text{ rayon du cercle}$$
Donc,
$\begin{array}{rcl}\ell&=&R\times\alpha\\\\&=&4\times\dfrac{\pi}{2}\\\\&=&2\pi\\\\&=&6.28\end{array}$
D'où, $\boxed{\ell=6.28\;cm}$
$-\ $ la mesure dans $[0\;;\ 2\pi[$ (ou dans $[0^{\circ}\;;\ 360^{\circ}[$);
$-\ $ la mesure dans $[-2\pi\;;\ 0[$ (ou dans $[-360^{\circ}\;;\ 0^{\circ}[$).
Exercice 5
1) Complétons le tableau suivant, où $l$ désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon $R$, intercepté par l'angle $\alpha$ mesuré en degrés.
Pour cela , nous allons convertir $\alpha$ en radians.
En effet, on a :
$$l=\theta\times R$$
avec, $\theta$ l'angle, en radians, intercepté par l'arc de cercle de longueur $l.$
Soit $\alpha$ l'angle en degrés correspondant à $\theta.$
On a alors :
$$\begin{array}{rcl}\pi&\longmapsto&180^{\circ}\\\\\theta&\longmapsto&\alpha\end{array}$$
En appliquant les rapports de proportionnalité, on obtient :
$$\dfrac{\theta}{\pi}=\dfrac{\alpha}{180}\ \Rightarrow\ \theta=\dfrac{\alpha\times\pi}{180}$$
Ainsi, on a :
$$\boxed{l=\dfrac{\alpha\times\pi\times R}{180}}$$
Par conséquent,
$$\boxed{\alpha=\dfrac{l\times 180}{\pi R}}$$
D'où, le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline l&\pi R/3&2\pi R/3&\pi R/4&\pi R/6&2\pi R/5\\ \hline\alpha&60&120&45&30&72\\ \hline\end{array}$$
2) Complétons le tableau suivant, où $l$ désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon $R$, intercepté par l'angle $\alpha$ mesuré en radians.
Comme $\alpha$ est en radians alors, on a :
$$\boxed{l=\alpha\times R\ \Rightarrow\ \alpha=\dfrac{l}{R}}$$
Appliquons alors ces relations pour compléter le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline l&2\pi R&R&\pi R/6&2\pi R/3&5\pi R/8 \\ \hline\alpha&2\pi&1&\pi /6&2\pi/3&5\pi /8\\ \hline\end{array}$$
Exercice 6
On considère la figure suivante :

1) Les réels $\dfrac{2\pi}{3}\ $ et $\ -\dfrac{4\pi}{3}$ sont ceux qui représentent une abscisse curviligne du point $E.$
En effet, on a :
$$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$$
Donc, le point d'abscisse curviligne $\dfrac{2\pi}{3}$ est le symétrique, par rapport à l'axe des ordonnées, du point d'abscisse curviligne $\dfrac{\pi}{3}.$
Ce qui correspond au point $E.$
Pour trouver le point d'abscisse curviligne $\dfrac{\pi}{3}$, il suffit de tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par $x=\dfrac{1}{2}.$
Cette droite coupe le cercle trigonométrique en deux points d'abscisses curvilignes $\dfrac{\pi}{3}\ $ et $\ -\dfrac{\pi}{3}.$
Par ailleurs, on a :
$$-\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}-\pi$$
Ainsi, le point d'abscisse curviligne $-\dfrac{4\pi}{3}$ est le symétrique, par rapport à $O$, du point d'abscisse curviligne $-\dfrac{\pi}{3}.$
Cela correspond exactement au point $E.$
Par conséquent, $\dfrac{2\pi}{3}\ $ et $\ -\dfrac{4\pi}{3}$ sont les seuls réels de la liste, représentant une abscisse curviligne du point $E.$
2) Déterminons les points du cercle trigonométrique qui ont pour abscisse curviligne les réels suivants :
$$\dfrac{3\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\;;\ \dfrac{7\pi}{6}\;;\ \dfrac{11\pi}{6}$$
Soit :
$$\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi$$
Cela correspond alors au point $D.$
Ce qui signifie que $D$ est le point d'abscisse curviligne $\dfrac{3\pi}{2}.$
L'abscisse curviligne $\pi$ est associée au point $C.$
$\dfrac{\pi}{6}$ correspond au point $F.$
On a :
$$\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}$$
Alors, le point d'abscisse curviligne $\dfrac{5\pi}{6}$ est le symétrique, par rapport à l'axe des ordonnées, du point d'abscisse curviligne $\dfrac{\pi}{6}.$
Ce qui correspond au point $H.$
Donc, $H$ est le point d'abscisse curviligne $\dfrac{5\pi}{6}.$
Par ailleurs, on constate que :
$$\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+\pi$$
Ce qui signifie que le symétrique, par rapport à $O$, du point d'abscisse curviligne $\dfrac{\pi}{6}$, sera associé à l'abscisse curviligne $\dfrac{7\pi}{6}.$
D'après la figure ci-dessous, cela correspond au pont $G.$
D'où, $G$ est le point d'abscisse curviligne $\dfrac{7\pi}{6}.$
Enfin, on a :
$$\dfrac{11\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi$$
Donc, le point d'abscisse curviligne $-\dfrac{\pi}{6}$ est confondu au point d'abscisse curviligne $\dfrac{11\pi}{6}.$
Or, le point $I$ symétrique, par rapport à l'axe des abscisses, du point $F$ d'abscisse curviligne $\dfrac{\pi}{6}$, est associé à l'abscisse curviligne $-\dfrac{\pi}{6}.$
Par conséquent, $I$ est aussi le point d'abscisse curviligne $\dfrac{11\pi}{6}.$

Exercice 7
Donnons un moyen géométrique de placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
$$\dfrac{\pi}{3}\;;\ -\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{\pi}{6}\;;\ -\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}$$
En effet, on a :
$$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$$
Donc, traçons la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par $\dfrac{1}{2}.$
Alors, cette droite coupe le cercle trigonométrique aux points $A\ $ et $\ B$ d'abscisses curvilignes respectives $\dfrac{\pi}{3}\ $ et $\ -\dfrac{\pi}{3}.$
Aussi, on sait que :
$$\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+\pi$$
Ce qui signifie que le point $C$ d'abscisse curviligne $\dfrac{2\pi}{3}$ est le symétrique, par rapport à $O$, du point $B$ d'abscisse curviligne $-\dfrac{\pi}{3}.$
Par ailleurs, on a :
$$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$$
Donc, la droite passant par $\dfrac{1}{2}$ et parallèle à l'axe des abscisses coupe le cercle trigonométrique au points $D$ d'abscisse curviligne $\dfrac{\pi}{6}.$
Par suite, $E$ d'abscisse curviligne $-\dfrac{\pi}{6}$ est le symétrique, par rapport à l'axe des abscisses, du point $D.$
Enfin, on a :
$$\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}+\pi$$
Alors, cela signifie que le point $F$, d'abscisse curviligne $\dfrac{5\pi}{6}$, est le symétrique, par rapport à $O$, du point $E$ d'abscisse curviligne $-\dfrac{\pi}{6}.$

Exercice 8
Plaçons sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
a) $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}\;,\ k$ entier relatif
Choisissons le sens positif puis, remplaçons $k$ successivement, par $0\;;\ 1\;;\ 2\;;\ \ldots\;;\ $ jusqu'à une valeur égale à $\dfrac{\pi}{3}+2\pi.$
On obtient alors les points suivants d'abscisses curvilignes :
$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{0\pi}{2}=\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{4\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{11\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{4\pi}{2}=\dfrac{\pi}{3}+2\pi$
Ainsi, nous allons placer les points $A\;,\ B\;,\ E\ $ et $\ F$ d'abscisses curvilignes respectives :
$$\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\;;\ \dfrac{11\pi}{6}$$

b) $\dfrac{\pi}{6}+k\pi\;,\ k$ entier relatif
En choisissant le sens positif puis, en remplaçant $k$ successivement, par $0\;;\ 1\;;\ \ldots\;;\ $ jusqu'à une valeur égale à $\dfrac{\pi}{6}+2\pi$, on obtient :
$\dfrac{\pi}{6}+0\pi=\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{6}+\pi=\dfrac{7\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{\pi}{6}+2\pi$
Donc, nous allons placer les points $A\ $ et $\ B$ d'abscisses curvilignes respectives :
$$\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{7\pi}{6}$$

c) $-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}\;,\ k$ entier relatif
De la même manière, en remplaçant $k$ successivement, par $0\;;\ 1\;;\ 2\;;\ \ldots\;;\ $ jusqu'à une valeur égale à $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi$, on trouve :
$-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{0\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{3}$
$-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}$
$-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{3}$
$-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{6}$
$-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{4\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi$
Alors, nous allons placer les points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ d'abscisses curvilignes respectives :
$$\dfrac{-\pi}{3}\;;\ \dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{7\pi}{6}$$

d) $\dfrac{\pi}{4}+k\pi\;,\ k$ entier relatif
En choisissant le sens positif puis, en remplaçant $k$ successivement, par $0\;;\ 1\;;\ \ldots\;;\ $ jusqu'à une valeur égale à $\dfrac{\pi}{4}+2\pi$, on obtient :
$\dfrac{\pi}{4}+0\pi=\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{\pi}{4}+2\pi$
Plaçons les points $A\ $ et $\ B$ d'abscisses curvilignes respectives :
$$\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{5\pi}{4}$$

Remarque
Le point d'abscisse curviligne $\alpha+2\pi$ est confondu au point d'abscisse curviligne $\alpha.$
Par ailleurs, on pouvait aussi choisir le sens négatif et remplacer $k$ successivement, par $0\;;\ -1\;;\ -2\;;\ \ldots\;;\ $ jusqu'à une valeur égale à $\alpha-2\pi.$
Cela conduirait toujours aux mêmes points.
Exercice 9
Plaçons sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
a) $100\pi$
On a :
$$100\pi=0+100\pi$$
Donc, $0$ est la mesure principale de $100\pi.$
Par conséquent, le point d'abscisse curviligne $100\pi$ est confondu au point d'abscisse curviligne $0.$
On note alors $A$ ce point.
b) $71\pi$
On a :
$$71\pi=\pi+70\pi$$
Donc, $\pi$ est la mesure principale de $71\pi.$
D'où, le point d'abscisse curviligne $71\pi$ est confondu au point d'abscisse curviligne $\pi.$
Soit alors $B$ le point d'abscisse $71\pi.$
$B$ est donc placé à l'abscisse curviligne $\pi.$
c) $-\dfrac{37\pi}{2}$
Soit :
$$-\dfrac{37\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}-18\pi$$
Alors, $-\dfrac{\pi}{2}$ est la mesure principale de $-\dfrac{37\pi}{2}.$
Par conséquent, le point $C$ d'abscisse curviligne $-\dfrac{37\pi}{2}$ sera placé au point d'abscisse curviligne $-\dfrac{\pi}{2}.$
d) $\dfrac{18\pi}{4}$
On a :
$$\dfrac{18\pi}{4}=\dfrac{2\pi}{4}+4\pi=\dfrac{\pi}{2}+4\pi$$
Donc, $\dfrac{\pi}{2}$ est la mesure principale de $\dfrac{18\pi}{4}.$
Ainsi, le point $D$ d'abscisse curviligne $\dfrac{18\pi}{2}$ sera placé au point d'abscisse curviligne $\dfrac{\pi}{2}.$

Exercice 10
Dans cet exercice, considérons $\theta$ l'angle en radians et $\alpha$ l'angle en degrés correspondant à $\theta.$
Ainsi, comme dans l'exercice $5$, en appliquant les rapports de proportionnalité, on obtient :
$$\dfrac{\theta}{\pi}=\dfrac{\alpha}{180}$$
Ce qui entraine :
$$\boxed{\theta=\dfrac{\alpha\times\pi}{180}\quad\text{et}\quad\alpha=\dfrac{\theta\times 180}{\pi}}$$
Utilisons alors ces relations pour compléter le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha\ (^{\circ})&45&30&60&15&18&75&135&90&60&36&22.5 \\ \hline\theta\ (\text{rad})&\pi/4&\pi/6&\pi/3&\pi/12&\pi/10&5\pi/12&3\pi/4&\pi/2&\pi/3&\pi/5&\pi/8 \\ \hline \alpha\ (^{\circ})&120&150&180&90&30&45&120&18&150&180&225 \\ \hline\theta\ (\text{rad})&2\pi/3&5\pi/6&\pi&\pi/2&\pi/6&\pi/4&2\pi/3&\pi/10&5\pi/6&\pi&5\pi/4 \\ \hline\end{array}$$
Exercice 11
Pour chacune des mesures suivantes, déterminons :
$-\ $ la mesure principale (en degré ou en radian, selon le cas) ;
$-\ $ la mesure dans $[0\;;\ 2\pi[$ (ou dans $[0^{\circ}\;;\ 360^{\circ}[$);
$-\ $ la mesure dans $[-2\pi\;;\ 0[$ (ou dans $[-360^{\circ}\;;\ 0^{\circ}[$).
Les résultats sont alors regroupées dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{mesure}&\text{mesure principale}&\text{mesure dans }[0\;;\ 2\pi[&\text{mesure dans }[-2\pi\;;\ 0[\\&\text{en }(rad\text{ ou }deg)&\text{ou dans }[0^{\circ}\;;\ 360^{\circ}[&\text{ou dans }[-360^{\circ}\;;\ 0^{\circ}[\\\hline\dfrac{2008\pi}{3}&-\dfrac{2\pi}{3}&\dfrac{4\pi}{3}&-\dfrac{2\pi}{3}\\\hline\dfrac{28\pi}{5}&-\dfrac{2\pi}{5}&\dfrac{8\pi}{5}&-\dfrac{2\pi}{5}\\ \hline\dfrac{27\pi}{4}&\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{3\pi}{4}&-\dfrac{5\pi}{4}\\\hline-\dfrac{19\pi}{3}&-\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{5\pi}{3}&-\dfrac{\pi}{3}\\\hline -270^{\circ}&90^{\circ}&90^{\circ}&-270^{\circ}\\\hline -18\pi&0&0&-2\pi\\\hline 1440^{\circ}&0^{\circ}&0^{\circ}&-360^{\circ}\\\hline -2530^{\circ}&-10^{\circ}&350^{\circ}&-10^{\circ}\\\hline -\dfrac{\pi}{4}&-\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{7\pi}{4}&-\dfrac{\pi}{4}\\\hline\dfrac{5\pi}{6}&\dfrac{5\pi}{6}&\dfrac{5\pi}{6}&-\dfrac{7\pi}{6}\\\hline\dfrac{12\pi}{5}&\dfrac{2\pi}{5}&\dfrac{2\pi}{5}&-\dfrac{8\pi}{5}\\\hline -\dfrac{23\pi}{6}&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{6}&-\dfrac{11\pi}{6}\\\hline 210^{\circ}&-150^{\circ}&210^{\circ}&-150^{\circ}\\\hline -375^{\circ}&-15^{\circ}&345^{\circ}&-15^{\circ}\\\hline -4512^{\circ}&168^{\circ}&168^{\circ}&-192^{\circ}\\\hline 17\pi&\pi&\pi&-\pi\\ \hline\end{array}$$
En effet, en considérant $x$ la mesure de l'angle en radian et $\theta$ sa mesure principale alors, on a :
$$\boxed{x=\theta+2k\pi\ \Rightarrow\ \theta=x-2k\pi}$$
avec, $k\in\mathbb{Z}\ $ et $\ \theta\in\;]-\pi\;;\ \pi]$
Donc, en procédant comme dans l'exercice $1$, on trouve $k$ puis, on détermine $\theta.$
On peut aussi déterminer $\theta$ par calcul direct.
Par exemple, on a :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{2008\pi}{3}&=&-\dfrac{2\pi}{3}+670\pi\\\\&=&-\dfrac{2\pi}{3}+2\times 335\pi\end{array}$
D'où, $\boxed{\theta=-\dfrac{2\pi}{3}}$
De la même manière, on a :
$\begin{array}{rcl}-\dfrac{23\pi}{6}&=&\dfrac{\pi}{6}-4\pi\\\\&=&\dfrac{\pi}{6}-2\times 2\pi\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{6}}$
Pour déterminer la mesure dans $[0\;;\ 2\pi[$ et celle dans $[-2\pi\;;\ 0[$, on procède comme suit :
$-\ $ si $\theta$ est positif alors, la mesure dans $[0\;;\ 2\pi[$ est égale à $\theta$ et la mesure dans $[-2\pi\;;\ 0[$ est donnée par $(\theta-2\pi)$
$-\ $ si $\theta$ est négatif alors, la mesure dans $[0\;;\ 2\pi[$ est égale à $(\theta+2\pi)$ et la mesure dans $[-2\pi\;;\ 0[$ est $\theta$
Par ailleurs, considérons $y$ la mesure de l'angle en degré et $\alpha$ sa mesure principale.
On obtient alors la relation suivante :
$$\boxed{y=\alpha+k\times 360^{\circ}\ \Rightarrow\ \alpha=y-k\times 360^{\circ}}$$
avec, $k\in\mathbb{Z}\ $ et $\ \alpha\in\;]-180^{\circ}\;;\ 180^{\circ}]$
Par exemple, on a :
$\begin{array}{rcl}1440^{\circ}&=&0^{\circ}+1440^{\circ}\\\\&=&0^{\circ}+4\times 360^{\circ}\end{array}$
Donc, $\boxed{\alpha=0^{\circ}}$
Encore, on a :
$\begin{array}{rcl}210^{\circ}&=&-150^{\circ}+360^{\circ}\end{array}$
D'où, $\boxed{\alpha=-150^{\circ}}$
Pour déterminer la mesure dans $[0^{\circ}\;;\ 360^{\circ}[$ et celle dans $[-360^{\circ}\;;\ 0^{\circ}[$, on adopte la méthode suivante :
$-\ $ si $\alpha$ est positif alors, la mesure dans $[0^{\circ}\;;\ 360^{\circ}[$ est encore égale à $\alpha$ et la mesure dans $[-360^{\circ}\;;\ 0^{\circ}[$ est donnée par $(\alpha-360^{\circ})$
$-\ $ si $\alpha$ est négatif alors, la mesure dans $[0^{\circ}\;;\ 360^{\circ}[$ est donnée par $(\alpha+360^{\circ})$ et la mesure dans $[-360^{\circ}\;;\ 0^{\circ}[$ reste égale à $\alpha$
Exercice 12
On considère un triangle $ABC$ rectangle en $C$ et tel que
$$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)=35^{\circ}$$
Soit $O\ $ et $\ A'$ les milieux respectifs des côtés $[AB]\ $ et $\ [BC].$

Trouvons la mesure principale des angles orientés :
$$\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{OA'}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)$$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)$
En effet, $\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)\ $ et $\ \left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)$ sont correspondants.
Or, $O\ $ et $\ A'$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]\ $ et $\ [BC].$
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux, la droite $(OA')$ est parallèle à la droite $(AC).$
Par conséquent, $\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)\ $ et $\ \left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)$ ont même mesure.
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)=35^{\circ}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{OA'}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)$
$ABC$ étant rectangle en $C$ et $O$ milieu de $[AB]$ alors, le triangle $COB$ est isocèle en $O.$
Par conséquent, $[OA')$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{O}.$
D'où,
$$\left(\overrightarrow{OA'}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)$$
Ainsi, $\boxed{\left(\overrightarrow{OA'}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)=35^{\circ}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)$
En effet, on sait que si $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ sont deux vecteurs alors, on a :
$$(\vec{u}\;;\ \vec{v})=-(\vec{v}\;;\ \vec{u})$$
Ainsi, en appliquant cette propriété sur les angles orientés de vecteurs, on obtient :
$$\left(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)=-\left(\overrightarrow{OA'}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)$$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)=-35^{\circ}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)&=&\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA'}\right)+\left(\overrightarrow{OA'}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)\\\\&=&35^{\circ}+35^{\circ}\\\\&=&70^{\circ}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)=70^{\circ}}$
Exercice 13
$ABC$ est un triangle équilatéral direct. On construit à l'extérieur le carré $ABED.$
Déterminons les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
$$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)\;,\ \left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$$
$$\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CD}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)$$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)$
Le triangle $ABC$ étant équilatéral alors, ses trois angles ont la même mesure principale.
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{3}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\right)$
En appliquant une conséquence de la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs, on obtient :
$$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\right)=-\left(\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)$$
Or, $\left(\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{2}$
Donc, $\boxed{\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\right)=-\dfrac{\pi}{2}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)&=&\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)\\\\&=&\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}\\\\&=&\dfrac{5\pi}{6}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)=\dfrac{5\pi}{6}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$
En effet, $ABED$ étant un carré de côté $AB\ $ et $\ ABC$ équilatéral alors, on a :
$$BC=BE$$
Ce qui signifie que le triangle $BCE$ est isocèle en $B.$
Par conséquent, les angles $\left(\overrightarrow{CE}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)\ $ et $\ \left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)$ ont même mesure principale.
Donc,
$$\left(\overrightarrow{CE}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)=-\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$$
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à $\pi.$
Ce qui signifie :
$$\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)+\left(\overrightarrow{CE}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)=\pi$$
Ainsi, en remplaçant $\left(\overrightarrow{CE}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)\ $ et $\ \left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)$ par $-\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)+\left(\overrightarrow{CE}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)=\pi&\Leftrightarrow&\dfrac{5\pi}{6}-\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)-\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=\pi\\\\&\Leftrightarrow&-2\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=\pi-\dfrac{5\pi}{6}\\\\&\Leftrightarrow&\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=-\dfrac{\dfrac{\pi}{6}}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=-\dfrac{\pi}{12}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=-\dfrac{\pi}{12}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)$
En effet, $BCE$ étant isocèle en $B$ alors, on a :
$$\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$$
Or, d'après le résultat précédent, on a : $\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=-\dfrac{\pi}{12}.$
Par conséquent, $\boxed{\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)=-\dfrac{\pi}{12}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$$\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)$$
Comme $ABED$ est un carré alors, la diagonale $[BD]$ est aussi bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BE}\right).$
Par conséquent,
$$\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BE}\right)}{2}=\dfrac{\pi}{4}$$
Ainsi, on a :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)&=&\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)\\\\&=&\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\\\\&=&\dfrac{7\pi}{12}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{7\pi}{12}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CD}\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$$\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CD}\right)+\left(\overrightarrow{CD}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)$$
Ce qui entraine :
$$\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)$$
Or, on sait que les triangles $BCE\ $ et $\ ACD$ sont superposables donc, semblables.
Par conséquent,
$$\left(\overrightarrow{CD}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$$
Par suite, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CD}\right)&=&\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)\\\\&=&\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)-\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)\\\\&=&-\dfrac{\pi}{3}-\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\\\\&=&-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}\\\\&=&-\dfrac{4\pi}{12}+\dfrac{\pi}{12}\\\\&=&-\dfrac{3\pi}{12}\\\\&=&-\dfrac{\pi}{4}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CD}\right)=-\dfrac{\pi}{4}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)=\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)&\Rightarrow&\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)=\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)-\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)\\\\&\Rightarrow&\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)=\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)+\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)\end{array}$
Ainsi, on trouve :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)&=&\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)+\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)\\\\&=&\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{12}\\\\&=&\dfrac{3\pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}\\\\&=&\dfrac{2\pi}{12}\\\\&=&\dfrac{\pi}{6}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA}\right)=\dfrac{\pi}{6}}$

Remarque
$ABC$ étant direct alors, cela signifie que pour construire ce triangle $ABC$, on part de $A$ vers $B$ en suivant le sens positif.
Exercice 14
On considère un losange $ABCD$ dont les diagonales se coupent en $O$ et tel que :
$$\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=-54^{\circ}$$
Déterminons les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
$$\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)$$
$$\left(\overrightarrow{DA}\;,\ \overrightarrow{DC}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OB}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)$$

$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)$
D'après les données de l'exercice, on a :
$$\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=-54^{\circ}$$
Convertissons alors cette mesure en radians.
En effet, on sait que si $\alpha$ est un angle en degrés et $\theta$ l'angle en radians correspondant à $\alpha$ alors, on a la relation suivante :
$$\theta=\dfrac{\alpha\times\pi}{180}$$
Ainsi, en appliquant cette propriété à l'angle $\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)$, on trouve :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)&=&\dfrac{-54\times\pi}{180}\\\\&=&-\dfrac{18\times 3\pi}{18\times 10}\\\\&=&-\dfrac{3\pi}{10}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=-\dfrac{3\pi}{10}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)$
$ABCD$ étant un losange alors, la diagonale $[BD]$ est aussi bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)$
Par conséquent,
$$\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)$$
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
$$\left(\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)=-\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)$$
Ainsi, d'après le résultat précédent, on trouve :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)&=&-\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)\\\\&=&-\left(-\dfrac{3\pi}{10}\right)\\\\&=&\dfrac{3\pi}{10}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{3\pi}{10}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)$
D"après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
$$\left(\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=-\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)$$
Or, d'après le résultat précédent, $\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{3\pi}{10}$
Par conséquent, $\boxed{\left(\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{3\pi}{10}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)&=&\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)\\\\&=&-\dfrac{3\pi}{10}-\dfrac{3\pi}{10}\\\\&=&-\dfrac{6\pi}{10}\\\\&=&-\dfrac{3\pi}{5}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{3\pi}{5}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{DA}\;,\ \overrightarrow{DC}\right)$
En effet, dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesures.
Donc,
$$\left(\overrightarrow{DA}\;,\ \overrightarrow{DC}\right)=\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)$$
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
$$\left(\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BA}\right)=-\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)$$
Par suite, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{DA}\;,\ \overrightarrow{DC}\right)&=&-\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)\\\\&=&-\left(-\dfrac{3\pi}{5}\right)\\\\&=&\dfrac{3\pi}{5}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\left(\overrightarrow{DA}\;,\ \overrightarrow{DC}\right)=\dfrac{3\pi}{5}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OB}\right)$
Comme $ABCD$ est un losange alors, les diagonales $(BD)\ $ et $\ (AC)$ sont perpendiculaires en $O.$
Par conséquent, $\boxed{\left(\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OB}\right)=-\dfrac{\pi}{2}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)$
$O$ étant milieu de $[AC]$ alors, on a :
$$\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$$
Ainsi,
$$\left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)=\left(-\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)$$
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
$$\left(-\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)=\pi$$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)=\pi}$
Exercice 15
$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ de sens indirect. On construit le triangle équilatéral $BCE$ de manière que $E$ appartienne au demi-plan de frontière $(BC)$ contenant $A.$
Déterminons les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
$$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)$$
$$\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)\;;\ \left(\overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)$$

Remarque
$ABC$ étant de sens indirect alors, cela signifie que pour construire le triangle $ABC$, on part de $A$ vers $B$ en suivant le sens négatif qui correspond au sens des aiguilles d'une montre.
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)$
On sait que $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ de sens indirect.
Par conséquent, $\boxed{\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{\pi}{2}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$
Comme $BCE$ est un triangle équilatéral alors, $\boxed{\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=\dfrac{\pi}{3}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)$
$ABC$ étant un triangle rectangle isocèle en $A$ donc, $\boxed{\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{\pi}{4}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)$
Comme $ABC$ étant un triangle isocèle en $A$ alors, on a :
$$\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)$$
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
$$\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)=-\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)$$
Ainsi, on trouve :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)&=&-\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)\\\\&=&-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&\dfrac{\pi}{4}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\pi}{4}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)$
En effet, comme $ABC$ est rectangle isocèle en $A\ $ et $BCE$ équilatéral alors, $[EA)$ est une bissectrice des angles orientés $\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)\ $ et $\ \left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right).$
Donc, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)&=&\dfrac{\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)}{2}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{\pi}{3}}{2}\\\\&=&-\dfrac{\pi}{6}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)=-\dfrac{\pi}{6}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$$\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)+\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)$$
Ce qui entraine alors :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)&=&\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)-\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CA}\right)\\\\&=&\left(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)+\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)\\\\&=&\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\\\\&=&\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}\\\\&=&\dfrac{\pi}{12}\end{array}$
D'où, $\boxed{\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CE}\right)=\dfrac{\pi}{12}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)$
$[EA)$ étant la bissectrice de l'angle orienté $\left(\overrightarrow{EB}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)$ alors, on a :
$$\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)=-\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)$$
Or, d'après les résultats précédents, on a :
$$\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EC}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$$
Par conséquent, $\boxed{\left(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EB}\right)=\dfrac{\pi}{6}}$
$-\ $ mesure principale de $\left(\overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)$
En effet, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
$$\left(\overrightarrow{AE}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)=\left(\overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{AB}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)$$
Ce qui donne alors :
$$\left(\overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{AE}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)-\left(\overrightarrow{AB}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)$$
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
$$\left(\overrightarrow{AE}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)=-\pi$$
De plus, $[EA)$ étant bissectrice de $\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)$ alors, on a :
$$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)=-\dfrac{\pi}{4}$$
Par suite, on trouve :
$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)&=&\left(\overrightarrow{AE}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)-\left(\overrightarrow{AB}\;,\ -\overrightarrow{AE}\right)\\\\&=&-\pi-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&-\dfrac{4\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\\\\&=&-\dfrac{3\pi}{4}\end{array}$
Par conséquent, $\boxed{\left(\overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)=-\dfrac{3\pi}{4}}$
Exercice 16
On donne dans le plan orienté $P$, une demi-droite $Ox.$
1) Construisons les demi-droites $Oy\;,\ Oz\;,\ Ot$ telles que :
$$\left(Ox\;,\ Oy\right)=\dfrac{2\pi}{3}\;,\quad\left(Ox\;,\ Oz\right)=-\dfrac{5\pi}{6}\;,\quad\left(Ox\;,\ Ot\right)=\dfrac{\pi}{4}$$

2) Calculons la mesure principale en radians des angles orientés suivants :
$$\left(Oy\;,\ Oz\right)\;,\ \left(Oz\;,\ Ot\right)\;,\ \left(Ot\;,\ Oy\right)$$
$-\ $ mesure principale de $\left(Oy\;,\ Oz\right)$
En effet, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
$$\left(Oy\;,\ Oz\right)=\left(Oy\;,\ Ox\right)+\left(Ox\;,\ Oz\right)$$
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de demi-droites, on a :
$$\left(Oy\;,\ Ox\right)=-\left(Ox\;,\ Oy\right)$$
Ainsi, on trouve :
$\begin{array}{rcl}\left(Oy\;,\ Oz\right)&=&\left(Oy\;,\ Ox\right)+\left(Ox\;,\ Oz\right)\\\\&=&-\left(Ox\;,\ Oy\right)+\left(Ox\;,\ Oz\right)\\\\&=&-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{5\pi}{6}\\\\&=&-\dfrac{4\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{6}\\\\&=&-\dfrac{9\pi}{6}\\\\&=&\dfrac{3\pi}{6}-2\pi\\\\&=&\dfrac{\pi}{2}-2\pi\end{array}$
Par conséquent, la mesure principale en radians de l'angle orienté $\left(Oy\;,\ Oz\right)$ est donnée par :
$$\boxed{\left(Oy\;,\ Oz\right)=\dfrac{\pi}{2}}$$
$-\ $ mesure principale de $\left(Oz\;,\ Ot\right)$
D'après la relation de Chasles, on a :
$$\left(Oz\;,\ Ot\right)=\left(Oz\;,\ Ox\right)+\left(Ox\;,\ Ot\right)$$
Comme $\left(Oz\;,\ Ox\right)=-\left(Ox\;,\ Oz\right)$ alors, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\left(Oz\;,\ Ot\right)&=&\left(Oz\;,\ Ox\right)+\left(Ox\;,\ Ot\right)\\\\&=&-\left(Ox\;,\ Oz\right)+\left(Ox\;,\ Ot\right)\\\\&=&-\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{4}\\\\&=&\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\\\\&=&\dfrac{10\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}\\\\&=&\dfrac{13\pi}{12}\\\\&=&-\dfrac{11\pi}{12}+2\pi\end{array}$
D'où, la mesure principale en radians de l'angle orienté $\left(Oz\;,\ Ot\right)$ est donnée par :
$$\boxed{\left(Oz\;,\ Ot\right)=-\dfrac{11\pi}{12}}$$
$-\ $ mesure principale de $\left(Ot\;,\ Oy\right)$
En utilisant encore la relation de Chasles, on obtient :
$$\left(Ot\;,\ Oy\right)=\left(Ot\;,\ Ox\right)+\left(Ox\;,\ Oy\right)$$
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de demi-droites, on a :
$$\left(Ot\;,\ Ox\right)=-\left(Ox\;,\ Ot\right)$$
On peut alors écrire :
$\begin{array}{rcl}\left(Ot\;,\ Oy\right)&=&\left(Ot\;,\ Ox\right)+\left(Ox\;,\ Oy\right)\\\\&=&-\left(Ox\;,\ Ot\right)+\left(Ox\;,\ Oy\right)\\\\&=&-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{3}\\\\&=&-\dfrac{3\pi}{12}+\dfrac{8\pi}{12}\\\\&=&\dfrac{5\pi}{12}\end{array}$
D'où, on trouve :
$$\boxed{\left(Ot\;,\ Oy\right)=\dfrac{5\pi}{12}}$$
Exercice 21
Démontrons que, pour tout réel $t\ :$
1) $(\cos t+\sin t)^{2}=1+2\cos t\sin t$
En utilisant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl}(\cos t+\sin t)^{2}&=&\cos^{2}t+2\cos t\sin t+\sin^{2}t\\\\&=&\underbrace{\cos^{2}t+\sin^{2}t}_{=1}+2\cos t\sin t\\\\&=&1+2\cos t\sin t\end{array}$
D'où, $\boxed{(\cos t+\sin t)^{2}=1+2\cos t\sin t}$
2) $(\cos t-\sin t)^{2}=1-2\cos t\sin t$
D'après la forme développée des identités remarquables, on a :
$\begin{array}{rcl}(\cos t-\sin t)^{2}&=&\cos^{2}t-2\cos t\sin t+\sin^{2}t\\\\&=&\underbrace{\cos^{2}t+\sin^{2}t}_{=1}-2\cos t\sin t\\\\&=&1-2\cos t\sin t\end{array}$
Ainsi, $\boxed{(\cos t-\sin t)^{2}=1-2\cos t\sin t}$
3) $(\cos t+\sin t)^{2}+(\cos t-\sin t)^{2}=2$
En effet, d'après les résultats des questions $1\,)\ $ et $\ 2\,)$, on a :
$$\cos t+\sin t)^{2}=1+2\cos t\sin t\qquad(1)$$
$$\cos t-\sin t)^{2}=1-2\cos t\sin t\qquad(2)$$
Alors, en additionnant, membre à membre, les relations $(1)\ $ et $\ (2)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}(\cos t+\sin t)^{2}+(\cos t-\sin t)^{2}&=&(1+2\cos t\sin t)+(1-2\cos t\sin t)\\\\&=&1+2\cos t\sin t+1-2\cos t\sin t\\\\&=&2\end{array}$
D'où, $\boxed{(\cos t+\sin t)^{2}+(\cos t-\sin t)^{2}=2}$
4) $(\cos t+\sin t)^{2}-(\cos t-\sin t)^{2}=4\sin t\cos t$
En utilisant les résultats des questions $1\,)\ $ et $\ 2\,)$, on trouve :
$\begin{array}{rcl}(\cos t+\sin t)^{2}-(\cos t-\sin t)^{2}&=&(1+2\cos t\sin t)-(1-2\cos t\sin t)\\\\&=&1+2\cos t\sin t-1+2\cos t\sin t\\\\&=&4\cos t\sin t\end{array}$
D'où, $\boxed{(\cos t+\sin t)^{2}-(\cos t-\sin t)^{2}=4\sin t\cos t}$
5) $\sin^{4}t-\cos^{4}t=\sin^{2}t-\cos^{2}t$
En effet, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on a :
$$\sin^{4}t-\cos^{4}t=\left(\sin^{2}t-\cos^{2}t\right)\left(\sin^{2}t+\cos^{2}t\right)$$
Or, on sait que :
$$\sin^{2}t+\cos^{2}t=1$$
Par conséquent, $\boxed{\sin^{4}t-\cos^{4}t=\sin^{2}t-\cos^{2}t}$
6) $\sin^{4}t-\cos^{4}t+2\cos^{2}t=1$
D'après le résultat de la question $5\,)$, on a :
$$\sin^{4}t-\cos^{4}t=\sin^{2}t-\cos^{2}t$$
Or, on sait que :
$$\sin^{2}t=1-\cos^{2}t$$
Donc, en remplaçant, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\sin^{4}t-\cos^{4}t+2\cos^{2}t&=&\sin^{2}t-\cos^{2}t+2\cos^{2}t\\\\&=&1-\cos^{2}t-\cos^{2}t+2\cos^{2}t\\\\&=&1-2\cos^{2}t+2\cos^{2}t\\\\&=&1\end{array}$
D'où, $\boxed{\sin^{4}t-\cos^{4}t+2\cos^{2}t=1}$
Exercice 22
Exprimons en fonction de $\sin t\ $ et $\ \cos t$ les expressions suivantes :
Soit $A=\cos(t+\pi)+\cos(t+2\pi)+\cos(t-\pi)+\cos(t-3\pi)$
Alors, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on trouve :
$\begin{array}{rcl} A&=&\cos(t+\pi)+\cos(t+2\pi)+\cos(t-\pi)+\cos(t-3\pi)\\\\&=&-\cos t+\cos t-\cos t+\cos[(t-\pi)-2\pi]\\\\&=&-\cos t+\cos(t-\pi)\\\\&=&-\cos t-\cos t\\\\&=&-2\cos t\end{array}$
D'où, $\boxed{A=-2\cos t}$
Soit : $B=\sin(t+\pi)+\sin(t+2\pi)+\sin(t-\pi)+\sin(t-3\pi)$
Alors, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B&=&\sin(t+\pi)+\sin(t+2\pi)+\sin(t-\pi)+\sin(t-3\pi)\\\\&=&-\sin t+\sin t-\sin t+\sin[(t-\pi)-2\pi]\\\\&=&-\sin t+\sin(t-\pi)\\\\&=&-\sin t-\sin t\\\\&=&-2\sin t\end{array}$
Ainsi, $\boxed{B=-2\sin t}$
Soit : $C=\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos(t-\pi)+\sin\left(t+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\cos(t+\pi)$
Alors, d'après les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on a :
$\begin{array}{rcl} C&=&\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos(t-\pi)+\sin\left(t+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\cos(t+\pi)\\\\&=&\cos t-\cos t+\sin\left[\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)+\pi\right]-\cos t\\\\&=&-\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos t\\\\&=&-\cos t-\cos t\\\\&=&-2\cos t\end{array}$
D'où, $\boxed{C=-2\cos t}$
Soit : $D=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)+\cos\left(\dfrac{27\pi}{2}-t\right)+\sin(3\pi+t)-\cos(7\pi-t)$
Alors, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)+\cos\left(\dfrac{27\pi}{2}-t\right)+\sin(3\pi+t)-\cos(7\pi-t)\\\\&=&\sin\left[\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)\right]+\cos\left[14\pi+\left(-\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right]+\sin[2\pi+(\pi+t)]-\cos[6\pi+(\pi-t)]\\\\&=&-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)+\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-t\right)+\sin(\pi+t)-\cos(\pi-t)\\\\&=&-\cos t+\cos\left[-\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)\right]-\sin t+\cos t\\\\&=&-\cos t+\cos t+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)-\sin t\\\\&=&-\sin t-\sin t\\\\&=&-2\sin t\end{array}$
D'où, $\boxed{D=-2\sin t}$
Exercice 23
Soit $ABC$ un triangle isocèle à angles aigus :
$$AB=AC=a\;;\ \widehat{A}=2\alpha$$
1) Calculons $BC.$
Comme $AB=AC=a$ alors, $ABC$ est un triangle isocèle en $A.$
Donc, la bissectrice $[AD)$ de l'angle $\widehat{BAC}$ est aussi médiatrice du segment $[BC].$
Ainsi, $ADB$ est un triangle rectangle au point $D$ qui est le milieu de $[BC].$
Par conséquent, en utilisant le sinus de l'angle $\widehat{DAB}$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{BD}{AB}=\sin\widehat{DAB}&\Leftrightarrow&\dfrac{BD}{AB}=\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BD=AB\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{BC}{2}=AB\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BC=2AB\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BC=2a\sin\alpha\end{array}$
D'où, $\boxed{BC=2a\sin\alpha}$
2) Calculons la hauteur $BH$ de deux façons différentes.
En effet, $BH$ étant la hauteur issue de $B$ alors, $AHB$ est un triangle rectangle en $H.$
Donc, en utilisant le sinus de l'angle $\widehat{HAB}$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{BH}{AB}=\sin\widehat{HAB}&\Leftrightarrow&\dfrac{BH}{AB}=\sin 2\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BH=AB\sin 2\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BH=a\sin 2\alpha\end{array}$
Ainsi, $\boxed{BH=a\sin 2\alpha\qquad(1)}$
Par ailleurs, $CHB$ est aussi un triangle rectangle en $H.$
Donc, en utilisons le sinus de l'angle $\widehat{HCB}$, on obtient :
$$\dfrac{BH}{BC}=\sin\widehat{HCB}\ \Rightarrow\ BH=BC\sin\widehat{HCB}$$
Ainsi, en remplaçant $BC$ par son expression, on trouve une autre écriture de $BH$, donnée par :
$$\boxed{BH=2a\sin\alpha\sin\widehat{HCB}}$$
Déterminons alors la mesure de l'angle $\widehat{HCB}.$
$ABC$ étant isocèle en $A$ alors, on a :
$$\widehat{ACB}=\widehat{CBA}$$
Or, on sait que dans un tringle, la somme des mesures des angles est égale à $\pi.$
De plus, $\widehat{CAB}=2\alpha$
Donc, on a :
$\begin{array}{rcl}\widehat{ACB}+\widehat{CBA}+\widehat{CAB}=\pi&\Leftrightarrow&2\widehat{ACB}=\pi-\widehat{CAB}\\\\&\Leftrightarrow&\widehat{ACB}=\dfrac{\pi-2\alpha}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\alpha}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha}$
Par suite, en remplaçant cette valeur de l'angle $\widehat{ACB}$, dans l'expression de $BH$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}BH&=&2a\sin\alpha\sin\widehat{HCB}\\\\&=&2a\sin\alpha\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\\\\&=&2a\sin\alpha\cos\alpha\end{array}$
D'où, $\boxed{BH=2a\sin\alpha\cos\alpha\qquad(2)}$
En déduisons la relation :
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
En comparant les égalités $(1)\ $ et $\ (2)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\text{égalité }(1)=\text{égalité }(2)&\Leftrightarrow&a\sin 2\alpha=2a\sin\alpha\cos\alpha\\\\&\Leftrightarrow&\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}$
3) Calculons $AH\ $ et $\ CH.$
$-\ $ Calcul de $AH$
En utilisant le cosinus de l'angle $\widehat{HAB}$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{AH}{AB}=\cos\widehat{HAB}&\Leftrightarrow&AH=AB\cos\widehat{HAB}\\\\&\Leftrightarrow&AH=a\cos 2\alpha\end{array}$
D'où, $\boxed{AH=a\cos 2\alpha}$
$-\ $ Calcul de $CH$
Utilisons le cosinus de l'angle $\widehat{HCB}.$
On obtient alors :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{CH}{BC}=\cos\widehat{HCB}&\Leftrightarrow&CH=BC\cos\widehat{HCB}\\\\&\Leftrightarrow&CH=2a\sin\alpha\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\\\\&\Leftrightarrow&CH=2a\sin\alpha\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&CH=2a\sin^{2}\alpha\end{array}$
Donc, $\boxed{CH=2a\sin^{2}\alpha}$
En déduire la relation :
$$cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha$$
On sait que :
$$AH+CH=AC$$
Ce qui entraine :
$\begin{array}{rcl}a\cos 2\alpha+2a\sin^{2}\alpha=a&\Leftrightarrow&a\left(\cos 2\alpha+2\sin^{2}\alpha\right)=a\\\\&\Leftrightarrow&\cos 2\alpha+2\sin^{2}\alpha=1\\\\&\Leftrightarrow&\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\end{array}$
Par conséquent, $\boxed{\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha}$

Exercice 24
Exprimons à l'aide de $\tan t$ les expressions suivantes :
Soit : $X=\dfrac{\sin^{3}t-\cos^{3}t}{\sin t-\cos t}$
Alors, d'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :
$$\sin^{3}t-\cos^{3}t=(\sin t-\cos t)\left(\sin^{2}t+\sin t\cos t+\cos^{2}t\right)$$
Ainsi, on obtient :
$\begin{array}{rcl}X&=&\dfrac{\sin^{3}t-\cos^{3}t}{\sin t-\cos t}\\\\&=&\dfrac{(\sin t-\cos t)\left(\sin^{2}t+\sin t\cos t+\cos^{2}t\right)}{\sin t-\cos t}\\\\&=&\sin^{2}t+\sin t\cos t+\cos^{2}t\\\\&=&\underbrace{\sin^{2}t+\cos^{2}t}_{=1}+\sin t\cos t\\\\&=&1+\sin t\cos t\end{array}$
Par ailleurs, en factorisant l'expression $\sin t\cos t$ par $\cos^{2}t$, on obtient :
$$\sin t\cos t=\cos^{2}t\times\dfrac{\sin t}{\cos t}$$
Par suite,
$\begin{array}{rcl}X&=&1+\sin t\cos t\\\\&=&1+\cos^{2}t\times\dfrac{\sin t}{\cos t}\end{array}$
Or, on sait que : $\cos^{2}t=\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}$
Par conséquent,
$\begin{array}{rcl}X&=&1+\cos^{2}t\times\dfrac{\sin t}{\cos t}\\\\&=&1+\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}\times\tan t\\\\&=&1+\dfrac{\tan t}{1+\tan^{2}t}\end{array}$
D'où, $\boxed{X=1+\dfrac{\tan t}{1+\tan^{2}t}}$
Soit : $Y=\cos^{2}t-\sin t\cos t$
Alors, en factorisant par $\cos^{2}t$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}Y&=&\cos^{2}t-\sin t\cos t\\\\&=&\cos^{2}t\times\left(1-\dfrac{\sin t}{\cos t}\right)\end{array}$
Or, on sait que : $\cos^{2}t=\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}$
Donc, en remplaçant, on trouve :
$\begin{array}{rcl}Y&=&\cos^{2}t\times\left(1-\dfrac{\sin t}{\cos t}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}\times\left(1-\tan t\right)\\\\&=&\dfrac{1-\tan t}{1+\tan^{2}t}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{Y=\dfrac{1-\tan t}{1+\tan^{2}t}}$
Soit : $Z=\dfrac{\sin^{2}t+\sin t\cos t}{\sin^{2}t-\cos^{2}t}$
Alors, en factorisant le numérateur et le dénominateur par $\cos^{2}t$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}Z&=&\dfrac{\sin^{2}t+\sin t\cos t}{\sin^{2}t-\cos^{2}t}\\\\&=&\dfrac{\cos^{2}\left(\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}+\dfrac{\sin t}{\cos t}\right)}{\cos^{2}t\left(\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}-1\right)}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}+\dfrac{\sin t}{\cos t}}{\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}-1}\\\\&=&\dfrac{\tan^{2}t+\tan t}{\tan^{2}t-1}\\\\&=&\dfrac{\tan t(\tan t+1)}{(\tan t-1)(\tan t+1)}\\\\&=&\dfrac{\tan t}{\tan t-1}\end{array}$
D'où, $\boxed{Z=\dfrac{\tan t}{\tan t-1}}$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 06/12/2021 - 19:06
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mbodji2005@gmail.com
Anonyme (non vérifié)
ven, 06/17/2022 - 13:23
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zdee
Anonyme (non vérifié)
ven, 06/17/2022 - 13:24
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merci beaucoup
Timtim (non vérifié)
lun, 02/26/2024 - 08:06
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Pourrais-je avoir le reste
Fatoumata Zahra... (non vérifié)
dim, 05/26/2024 - 14:05
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