Solution des exercices : Angles - Trigonométrie - 2nd

1) Déterminons la mesure principale de :

 

$\dfrac{27\pi}{3}\;,\ \dfrac{77\pi}{4}\;,\ -\dfrac{81\pi}{5}$

 

$\centerdot\ $ mesure principale de : $\dfrac{27\pi}{3}$

 

Soit $\alpha$ la mesure principale de $\dfrac{27\pi}{3}$ alors, $-\pi<\alpha\leq\pi$ et soit $k\in\mathbb{Z}$

 

Posons : $\dfrac{27\pi}{3}=\alpha+2k\pi$

 

Donc, $\alpha=\dfrac{27\pi}{3}-2k\pi$

 

Déterminons alors l'entier relatif $k$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} -\pi<\alpha\leq\pi&\Leftrightarrow&-\pi<\dfrac{27\pi}{3}-2k\pi \leq\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\pi-\dfrac{27\pi}{3}<-2k\pi\leq\pi-\dfrac{27\pi}{3}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{27\pi}{3}-\pi\leq 2k\pi<\dfrac{27\pi}{3}+\pi\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{24\pi}{3}\leq 2k\pi<\dfrac{30\pi}{3}\\ \\&\Leftrightarrow&8\leq 2k<10\\ \\&\Leftrightarrow&4\leq k<5\end{array}$

 

Par suite : $k=4$

 

Ainsi, en remplaçant, on trouve : $\boxed{\alpha=\pi}$

 

$\centerdot\ $ mesure principale de : $\dfrac{77\pi}{4}$

 

Soit $\beta$ la mesure principale de $\dfrac{77\pi}{4}$ alors, $-\pi<\beta\leq\pi$ et soit $k\in\mathbb{Z}$

 

Posons : $\dfrac{77\pi}{4}=\beta+2k\pi$

 

Alors, $\beta=\dfrac{77\pi}{4}-2k\pi$

 

Détermination de l'entier relatif $k$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} -\pi<\beta\leq\pi&\Leftrightarrow&-\pi<\dfrac{77\pi}{4}-2k\pi \leq\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\pi-\dfrac{77\pi}{4}<-2k\pi\leq\pi-\dfrac{77\pi}{4}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{77\pi}{4}-\pi\leq 2k\pi<\dfrac{77\pi}{4}+\pi\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{73\pi}{4}\leq 2k\pi<\dfrac{81\pi}{4}\\ \\&\Leftrightarrow&18.25\leq 2k<20.25\\ \\&\Leftrightarrow&9.125\leq k<10.125\end{array}$

 

On obtient : $k=10$

 

Ce qui donne alors : $\boxed{\beta=-\dfrac{3\pi}{4}}$

 

$\centerdot\ $ mesure principale de : $-\dfrac{81\pi}{5}$

 

Soit $\gamma$ la mesure principale de $-\dfrac{81\pi}{5}$ alors, $-\pi<\gamma\leq\pi$ et soit $k\in\mathbb{Z}$

 

Posons : $-\dfrac{81\pi}{5}=\gamma+2k\pi$

 

Donc, $\gamma=-\dfrac{81\pi}{5}-2k\pi$

 

Déterminons l'entier relatif $k$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} -\pi<\gamma\leq\pi&\Leftrightarrow&-\pi<-\dfrac{81\pi}{5}-2k\pi \leq\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\pi+\dfrac{81\pi}{5}<-2k\pi\leq\pi+\dfrac{81\pi}{5}\\ \\&\Leftrightarrow&-\dfrac{81\pi}{5}-\pi\leq 2k\pi<-\dfrac{81\pi}{5}+\pi\\ \\&\Leftrightarrow&-\dfrac{86\pi}{5}\leq 2k\pi<-\dfrac{76\pi}{5}\\ \\&\Leftrightarrow&-17.2\leq 2k<-15.2\\ \\&\Leftrightarrow&-8.6\leq k<-7.6\end{array}$

 

On obtient alors : $k=-8$

 

Par suite : $\boxed{\gamma=-\dfrac{\pi}{5}}$

 

2) Donnons les valeurs exactes de :

 

a) $\cos\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \cos\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{7\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{213\pi}{6}\;,\ \cos\dfrac{-77\pi}{3}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\cos\dfrac{2\pi}{3}$

 

Comme $\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{2\pi}{3} &=&\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\\ \\&=&-\cos\dfrac{\pi}{3}\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{2\pi}{3}$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl}\sin\dfrac{2\pi}{3} &=&\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\\ \\&=&\sin\dfrac{\pi}{3}\\ \\&=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\cos\dfrac{25\pi}{4}$

 

On sait que : $\dfrac{25\pi}{4}=6\pi+\dfrac{\pi}{4}$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{25\pi}{4} &=&\cos\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\&=&\cos\dfrac{\pi}{4}\\ \\&=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\cos\dfrac{25\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{25\pi}{4}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{25\pi}{4}&=&\sin\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\&=&\sin\dfrac{\pi}{4}\\ \\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

 

Soit : $\boxed{\sin\dfrac{25\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{7\pi}{4}$

 

Comme $\dfrac{7\pi}{4}=2\pi-\dfrac{\pi}{4}$ alors, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{7\pi}{4}&=&\sin\left(2\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\&=&-\sin\dfrac{\pi}{4}\\ \\&=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

 

D'où : $\boxed{\sin\dfrac{7\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\sin\dfrac{213\pi}{6}$

 

On a : $\dfrac{213\pi}{6}=36\pi-\dfrac{3\pi}{6}=36\pi-\dfrac{\pi}{2}$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{213\pi}{6}&=&\sin\left(36\pi-\dfrac{3\pi}{6}\right)\\\\&=&\sin\left(-\dfrac{3\pi}{6}\right)\\ \\&=&-\sin\dfrac{3\pi}{6}\\\\&=&-\sin\dfrac{\pi}{2}\\ \\&=&-1\end{array}$

 

Par suite, $\boxed{\sin\dfrac{213\pi}{6}=-1}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\cos\dfrac{-77\pi}{3}$

 

On a : $\dfrac{-77\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}-26\pi$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{-77\pi}{3}&=&\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-26\pi\right)\\\\&=&\cos\dfrac{\pi}{3}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\cos\dfrac{-77\pi}{3}=\dfrac{1}{2}}$

 

b) $\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\;,\ \tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\;,\ \tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$

 

On sait que : $\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}$ donc,

 

$\begin{array}{rcl}\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)&=&\tan\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)\\\\&=&\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$

 

Soit : $\dfrac{3\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl}\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)&=&\tan\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&-\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\&=&-1\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-1}$

 

$\centerdot\ \ $ valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)$

 

On a : $\dfrac{-5\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}-2\pi$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl}\tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)&=&\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi\right)\\\\&=&\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\end{array}$

 

Or, d'après ce qui précède, $\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

 

Par suite, $\boxed{\tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

Transformons les expression suivantes :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&3\cos(-x)+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+4\sin x+\cos x\\\\&=&3\cos x+2\cos x+4\sin x+\cos x\\\\&=&6\cos x+4\sin x\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=6\cos x+4\sin x}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+5\cos(\pi-x)-3\sin(-x)-\cos x\\\\&=&2\cos x-5\cos x+3\sin x-\cos x\\\\&=&-4\cos x+3\sin x\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=-4\cos x+3\sin x}$

 

$\begin{array}{rcl} C&=&-\sin(\pi-x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-\sin(\pi-x)\\\\&=&-\sin x-\sin x-\sin x\\\\&=&-3\sin x\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=-3\sin x}$

 

$\begin{array}{rcl} D&=&\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\cos(x-\pi)+\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\cos(x+\pi)\\\\&=&\cos x+\cos(-(\pi-x))+\sin\left(\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right)-\cos x\\\\&=&\cos x+\cos(\pi-x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-\cos x\\\\&=&\cos x-\cos x-\cos x-\cos x\\\\&=&-2\cos x\end{array}$

 

Donc, $\boxed{D=-2\cos x}$

 

$\begin{array}{rcl} E&=&2\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\pi+x\right)-2\sin(x-2\pi)+5\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)\\\\&=&2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-2\sin x+5\sin\left(2\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right)\\\\&=&-2\sin x-2\sin x+5\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\\\\&=&-2\sin x-2\sin x+5\cos x\\\\&=&-4\sin x+5\cos x\end{array}$

 

Par suite, $\boxed{E=-4\sin x+5\cos x}$

Établissons les égalités suivantes :

 

1) $\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x$

 

On sait que : $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$

 

Donc, $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\ $ et $\ \sin^{2}x=1-\cos^{2}x$

 

Ainsi, en remplaçant l'expression de $\sin^{2}x$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\cos^{2}x-\sin^{2}x&=&\cos^{2}x-(1-\cos^{2}x)\\\\&=&\cos^{2}x-1+\cos^{2}x\\\\&=&2\cos^{2}x-1\end{array}$

 

Donc, $\boxed{\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1}$

 

Par ailleurs, en remplaçant l'expression de $\cos^{2}x$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\cos^{2}x-\sin^{2}x&=&1-\sin^{2}x-\sin^{2}x\\\\&=&1-2\sin^{2}x\end{array}$

 

Alors, $\boxed{\cos^{2}x-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x}$

 

Ainsi, $\boxed{\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x}$

 

2) $\cos^{4}x+\sin^{4}x=1-2\cos^{2}x\sin^{2}x$

 

Comme $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl}\cos^{2}x+\sin^{2}x=1&\Rightarrow&(\cos^{2}x+\sin^{2}x)^{2}=1\\\\&\Rightarrow&\cos^{4}x+2\cos^{2}x\sin^{2}x+\sin^{4}x=1\\\\&\Rightarrow&\cos^{4}x+\sin^{4}x=1-2\cos^{2}x\sin^{2}x\end{array}$

 

Par suite, $\boxed{\cos^{4}x+\sin^{4}x=1-2\cos^{2}x\sin^{2}x}$

 

3) $(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}=2$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}&=&(\cos^{2}x+2\cos x\sin x+\sin^{2}x)+(\cos^{2}x-2\cos x\sin x+\sin^{2}x)\\\\&=&2\cos^{2}x+2\sin^{2}x\\\\&=&2(\underbrace{\cos^{2}x+\sin^{2}x}_{=1})\\\\&=&2\end{array}$

 

D'où, $\boxed{(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}=2}$

Exercice 4

Exercice 5