Solution des exercices : Angles - Trigonométrie - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1

1) Déterminons la mesure principale de :
27π3, 77π4, −81π5
⋅  mesure principale de 27π3
 
Soit α la mesure principale de 27π3 alors, −π<α≤π et on a :
27π3=α+2kπavec, k∈Z
Donc,
α=27π3−2kπ
Déterminons alors l'entier relatif k.
 
On a :
 
−π<α≤π⇔−π<27π3−2kπ≤π⇔−π−27π3<−2kπ≤π−27π3⇔27π3−π≤2kπ<27π3+π⇔24π3≤2kπ<30π3⇔8≤2k<10⇔4≤k<5
 
Par suite : k=4
 
Ainsi, en remplaçant k par sa valeur, dans l'expression de α, on trouve :
α=π
⋅  mesure principale de 77π4
 
Soit β la mesure principale de 77π4 alors, −π<β≤π et on a :
77π4=β+2kπavec, k∈Z
Ainsi,
β=77π4−2kπ
Détermination de l'entier relatif k.
 
On a :
 
−π<β≤π⇔−π<77π4−2kπ≤π⇔−π−77π4<−2kπ≤π−77π4⇔77π4−π≤2kπ<77π4+π⇔73π4≤2kπ<81π4⇔18.25≤2k<20.25⇔9.125≤k<10.125
 
On obtient : k=10
 
Ce qui donne alors :
β=−3π4
⋅  mesure principale de −81π5
 
Soit γ la mesure principale de −81π5 alors, −π<γ≤π et on a :
−81π5=γ+2kπavec, k∈Z
Ce qui entraine :
γ=−81π5−2kπ
Déterminons l'entier relatif k.
 
On a :
 
−π<γ≤π⇔−π<−81π5−2kπ≤π⇔−π+81π5<−2kπ≤π+81π5⇔−81π5−π≤2kπ<−81π5+π⇔−86π5≤2kπ<−76π5⇔−17.2≤2k<−15.2⇔−8.6≤k<−7.6
 
On obtient alors : k=−8
 
Par suite :
γ=−π5
2) Donnons les valeurs exactes de :
 
a) cos2π3, sin2π3, cos25π4, sin25π4, sin7π4, sin213π6, cos−77π3
 
⋅   valeur exacte de cos2π3
 
Comme 2π3=π−π3 alors, on a :
 
cos2π3=cos(π−π3)=−cosπ3=−12
 
D'où, cos2π3=−12
 
⋅   valeur exacte de sin2π3
 
En utilisant les propriétés trigonométriques du sinus, on obtient :
 
sin2π3=sin(π−π3)=sinπ3=√32
 
Donc, sin2π3=√32
 
⋅   valeur exacte de cos25π4
 
On sait que : 25π4=π4+6π.
 
Donc, d'après les propriétés trigonométriques du cosinus, on a :
 
cos25π4=cos(π4+6π)=cosπ4=√22
 
D'où, cos25π4=√22
 
⋅   valeur exacte de sin25π4
 
En utilisant les propriétés trigonométriques du sinus, on trouve :
 
sin25π4=sin(π4+6π)=sinπ4=√22
 
Soit : sin25π4=√22
 
⋅   valeur exacte de sin7π4
 
Comme 7π4=2π−π4 alors, on obtient :
 
sin7π4=sin(2π−π4)=sin(−π4)=−sinπ4=−√22
 
D'où : sin7π4=−√22
 
⋅   valeur exacte de sin213π6
 
On a : 213π6=36π−3π6=36π−π2
 
Donc, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus, on trouve :
 
sin213π6=sin(36π−π2)=sin(−π2)=−sinπ2=−1
 
Par suite, sin213π6=−1
 
⋅   valeur exacte de cos−77π3
 
On a : −77π3=π3−26π
 
Donc,
 
cos−77π3=cos(π3−26π)=cosπ3=12
 
Ainsi, cos−77π3=12
 
b) tan(7π6), tan(3π4), tan(−5π6)
 
⋅   valeur exacte de tan(7π6)
 
On sait que : 7π6=π+π6 donc,
 
tan(7π6)=tan(π+π6)=tan(π6)=√33
 
D'où, tan(7π6)=√33
 
⋅   valeur exacte de tan(3π4)
 
Soit : 3π4=π−π4
 
Alors,
 
tan(3π4)=tan(π−π4)=−tan(π4)=−1
 
Ainsi, tan(3π4)=−1
 
⋅   valeur exacte de tan(−5π6)
 
On a : −5π6=7π6−2π
 
Donc,
 
tan(−5π6)=tan(7π6−2π)=tan(7π6)
 
Or, d'après ce qui précède, tan(7π6)=√33
 
Par suite, tan(−5π6)=√33

Exercice 2

Transformons les expression suivantes :
 
A=3cos(−x)+2sin(π2−x)+4sinx+cosx=3cosx+2cosx+4sinx+cosx=6cosx+4sinx
 
Donc, A=6cosx+4sinx
 
B=2sin(π2+x)+5cos(π−x)−3sin(−x)−cosx=2cosx−5cosx+3sinx−cosx=−4cosx+3sinx
 
D'où, B=−4cosx+3sinx
 
C=−sin(π−x)+cos(π2+x)−sin(π−x)=−sinx−sinx−sinx=−3sinx
 
Ainsi, C=−3sinx
 
D=sin(π2+x)+cos(x−π)+sin(x+3π2)+cos(x+π)=cosx+cos(−(π−x))+sin(π+(π2+x))−cosx=cosx+cos(π−x)−sin(π2+x)−cosx=cosx−cosx−cosx−cosx=−2cosx
 
Donc, D=−2cosx
 
E=2cos(3π2−π+x)−2sin(x−2π)+5sin(5π2+x)=2cos(π2+x)−2sinx+5sin(2π+(π2+x))=−2sinx−2sinx+5sin(π2+x)=−2sinx−2sinx+5cosx=−4sinx+5cosx
 
Par suite, E=−4sinx+5cosx

Exercice 3

Établissons les égalités suivantes :
 
1) cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x
 
Soit la relation suivante :
cos2x−sin2x(∗)
Alors, on sait que : cos2x+sin2x=1
 
Ce qui entraine :
cos2x=1−sin2x  et  sin2x=1−cos2x
Ainsi, en remplaçant sin2x par son expression, dans la relation (∗), on obtient :
 
cos2x−sin2x=cos2x−(1−cos2x)=cos2x−1+cos2x=2cos2x−1
 
D'où, cos2x−sin2x=2cos2x−1
 
De la même manière, dans la relation (∗), en remplaçant cos2x par son expression, on trouve :
 
cos2x−sin2x=1−sin2x−sin2x=1−2sin2x
 
Ainsi, cos2x−sin2x=1−2sin2x
 
2) cos4x+sin4x=1−2cos2xsin2x
 
Comme cos2x+sin2x=1 alors, en élevant au carré, on obtient :
 
cos2x+sin2x=12⇒(cos2x+sin2x)2=1⇒cos4x+2cos2xsin2x+sin4x=1⇒cos4x+sin4x=1−2cos2xsin2x
 
Par suite, cos4x+sin4x=1−2cos2xsin2x
 
3) (cosx+sinx)2+(cosx−sinx)2=2
 
En utilisant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
 
(cosx+sinx)2+(cosx−sinx)2=(cos2x+2cosxsinx+sin2x)+(cos2x−2cosxsinx+sin2x)=cos2x+cos2x+sin2x+sin2x+2cosxsinx−2cosxsinx=2cos2x+2sin2x=2(cos2x+sin2x⏟=1)=2
 
D'où, (cosx+sinx)2+(cosx−sinx)2=2

Exercice 4

Donnons la longueur d'un demi-cercle de rayon 2cm, et d'un quart de cercle de rayon 4cm.
 
Un demi-cercle engendre un secteur angulaire de mesure : α=π
 
 
Donc, la longueur ℓ de l'arc que représente ce demi-cercle est donnée par :
ℓ=R×α avec R rayon du cercle
Par suite,
 
ℓ=R×α=2×π=6.28
 
Ainsi, ℓ=6.28cm
 
De la même manière, un quart de cercle engendre un secteur angulaire de mesure : α=π2
 
 
Alors, la longueur ℓ de l'arc représenté par ce quart de cercle est donnée par :
ℓ=R×α avec R rayon du cercle
Donc,
 
ℓ=R×α=4×π2=2π=6.28
 
D'où, ℓ=6.28cm

Exercice 5

1) Complétons le tableau suivant, où l désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon R, intercepté par l'angle α mesuré en degrés.
 
Pour cela , nous allons convertir α en radians.
 
En effet, on a :
l=θ×R
avec, θ l'angle, en radians, intercepté par l'arc de cercle de longueur l.
 
Soit α l'angle en degrés correspondant à θ.
 
On a alors :
π⟼180∘θ⟼α
En appliquant les rapports de proportionnalité, on obtient :
θπ=α180 ⇒ θ=α×π180
Ainsi, on a :
l=α×π×R180
Par conséquent,
α=l×180πR
D'où, le tableau suivant :
lπR/32πR/3πR/4πR/62πR/5α60120453072
2) Complétons le tableau suivant, où l désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon R, intercepté par l'angle α mesuré en radians.
 
Comme α est en radians alors, on a :
l=α×R ⇒ α=lR
Appliquons alors ces relations pour compléter le tableau suivant :
l2πRRπR/62πR/35πR/8α2π1π/62π/35π/8

Exercice 6

On considère la figure suivante :

 

 
1) Les réels 2π3  et  −4π3 sont ceux qui représentent une abscisse curviligne du point E.
 
En effet, on a :
2π3=π−π3
Donc, le point d'abscisse curviligne 2π3 est le symétrique, par rapport à l'axe des ordonnées, du point d'abscisse curviligne π3.
 
Ce qui correspond au point E.
 
Pour trouver le point d'abscisse curviligne π3, il suffit de tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par x=12.
 
Cette droite coupe le cercle trigonométrique en deux points d'abscisses curvilignes π3  et  −π3.
 
Par ailleurs, on a :
−4π3=−π3−π
Ainsi, le point d'abscisse curviligne −4π3 est le symétrique, par rapport à O, du point d'abscisse curviligne −π3.
 
Cela correspond exactement au point E.
 
Par conséquent, 2π3  et  −4π3 sont les seuls réels de la liste, représentant une abscisse curviligne du point E.
 
2) Déterminons les points du cercle trigonométrique qui ont pour abscisse curviligne les réels suivants :
3π2; π; π6; 5π6; 7π6; 11π6
Soit :
3π2=π2+π
Cela correspond alors au point D.
 
Ce qui signifie que D est le point d'abscisse curviligne 3π2.
 
L'abscisse curviligne π est associée au point C.
 
π6 correspond au point F.
 
On a :
5π6=π−π6
Alors, le point d'abscisse curviligne 5π6 est le symétrique, par rapport à l'axe des ordonnées, du point d'abscisse curviligne π6.
 
Ce qui correspond au point H.
 
Donc, H est le point d'abscisse curviligne 5π6.
 
Par ailleurs, on constate que :
7π6=π6+π
Ce qui signifie que le symétrique, par rapport à O, du point d'abscisse curviligne π6, sera associé à l'abscisse curviligne 7π6.
 
D'après la figure ci-dessous, cela correspond au pont G.
 
D'où, G est le point d'abscisse curviligne 7π6.
 
Enfin, on a :
11π6=−π6+2π
Donc, le point d'abscisse curviligne −π6 est confondu au point d'abscisse curviligne 11π6.
 
Or, le point I symétrique, par rapport à l'axe des abscisses, du point F d'abscisse curviligne π6, est associé à l'abscisse curviligne −π6.
 
Par conséquent, I est aussi le point d'abscisse curviligne 11π6.

 
 

Exercice 7

Donnons un moyen géométrique de placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
π3; −π3; 2π3; π6; −π6; 5π6
En effet, on a :
cos(π3)=cos(−π3)=12
Donc, traçons la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par 12.
 
Alors, cette droite coupe le cercle trigonométrique aux points A  et  B d'abscisses curvilignes respectives π3  et  −π3.
 
Aussi, on sait que :
2π3=−π3+π
Ce qui signifie que le point C d'abscisse curviligne 2π3 est le symétrique, par rapport à O, du point B d'abscisse curviligne −π3.
 
Par ailleurs, on a :
sin(π6)=12
Donc, la droite passant par 12 et parallèle à l'axe des abscisses coupe le cercle trigonométrique au points D d'abscisse curviligne π6.
 
Par suite, E d'abscisse curviligne −π6 est le symétrique, par rapport à l'axe des abscisses, du point D.
 
Enfin, on a :
5π6=−π6+π
Alors, cela signifie que le point F, d'abscisse curviligne 5π6, est le symétrique, par rapport à O, du point E d'abscisse curviligne −π6.

 

 

Exercice 8

Plaçons sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
 
a) π3+kπ2, k entier relatif
 
Choisissons le sens positif puis, remplaçons k successivement, par 0; 1; 2; …;  jusqu'à une valeur égale à π3+2π.
 
On obtient alors les points suivants d'abscisses curvilignes :
 
π3+0π2=π3
 
π3+π2=5π6
 
π3+2π2=4π3
 
π3+3π2=11π6
 
π3+4π2=π3+2π
 
Ainsi, nous allons placer les points A, B, E  et  F d'abscisses curvilignes respectives :
π3; 5π6; 4π3; 11π6

 

 
b) π6+kπ, k entier relatif
 
En choisissant le sens positif puis, en remplaçant k successivement, par 0; 1; …;  jusqu'à une valeur égale à π6+2π, on obtient :
 
π6+0π=π6
 
π6+π=7π6
 
π6+2π=π6+2π
 
Donc, nous allons placer les points A  et  B d'abscisses curvilignes respectives :
π6; 7π6

 

 
c) −π3+kπ2, k entier relatif
 
De la même manière, en remplaçant k successivement, par 0; 1; 2; …;  jusqu'à une valeur égale à −π3+2π, on trouve :
 
−π3+0π2=−π3
 
−π3+π2=π6
 
−π3+2π2=2π3
 
−π3+3π2=7π6
 
−π3+4π2=−π3+2π
 
Alors, nous allons placer les points A, B, C  et  D d'abscisses curvilignes respectives :
−π3; π6; 2π3; 7π6

 

 
d) π4+kπ, k entier relatif
 
En choisissant le sens positif puis, en remplaçant k successivement, par 0; 1; …;  jusqu'à une valeur égale à π4+2π, on obtient :
 
π4+0π=π4
 
π4+π=5π4
 
π4+2π=π4+2π
 
Plaçons les points A  et  B d'abscisses curvilignes respectives :
π4; 5π4

 

 
Remarque 
 
Le point d'abscisse curviligne α+2π est confondu au point d'abscisse curviligne α.
 
Par ailleurs, on pouvait aussi choisir le sens négatif et remplacer k successivement, par 0; −1; −2; …;  jusqu'à une valeur égale à α−2π.
 
Cela conduirait toujours aux mêmes points.

Exercice 9

Plaçons sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
 
a) 100π
 
On a :
100π=0+100π
Donc, 0 est la mesure principale de 100π.
 
Par conséquent, le point d'abscisse curviligne 100π est confondu au point d'abscisse curviligne 0.
 
On note alors A ce point.
 
b) 71π
 
On a :
71π=π+70π
Donc, π est la mesure principale de 71π.
 
D'où, le point d'abscisse curviligne 71π est confondu au point d'abscisse curviligne π.
 
Soit alors B le point d'abscisse 71π.
 
B est donc placé à l'abscisse curviligne π.
 
c) −37π2
 
Soit :
−37π2=−π2−18π
Alors, −π2 est la mesure principale de −37π2.
 
Par conséquent, le point C d'abscisse curviligne −37π2 sera placé au point d'abscisse curviligne −π2.
 
d) 18π4
 
On a :
18π4=2π4+4π=π2+4π
Donc, π2 est la mesure principale de 18π4.
 
Ainsi, le point D d'abscisse curviligne 18π2 sera placé au point d'abscisse curviligne π2.

 

 

Exercice 10

Dans cet exercice, considérons θ l'angle en radians et α l'angle en degrés correspondant à θ.
 
Ainsi, comme dans l'exercice 5, en appliquant les rapports de proportionnalité, on obtient :
θπ=α180
Ce qui entraine :
θ=α×π180etα=θ×180π
Utilisons alors ces relations pour compléter le tableau suivant :
α (∘)45306015187513590603622.5θ (rad)π/4π/6π/3π/12π/105π/123π/4π/2π/3π/5π/8α (∘)12015018090304512018150180225θ (rad)2π/35π/6ππ/2π/6π/42π/3π/105π/6π5π/4

Exercice 11

Pour chacune des mesures suivantes, déterminons :
 
−  la mesure principale (en degré ou en radian, selon le cas) ;

−  la mesure dans [0; 2π[ (ou dans [0∘; 360∘[);

−  la mesure dans [−2π; 0[ (ou dans [−360∘; 0∘[).
 
Les résultats sont alors regroupées dans le tableau suivant :
mesuremesure principalemesure dans [0; 2π[mesure dans [−2π; 0[en (rad ou deg)ou dans [0∘; 360∘[ou dans [−360∘; 0∘[2008π3−2π34π3−2π328π5−2π58π5−2π527π43π43π4−5π4−19π3−π35π3−π3−270∘90∘90∘−270∘−18π00−2π1440∘0∘0∘−360∘−2530∘−10∘350∘−10∘−π4−π47π4−π45π65π65π6−7π612π52π52π5−8π5−23π6π6π6−11π6210∘−150∘210∘−150∘−375∘−15∘345∘−15∘−4512∘168∘168∘−192∘17πππ−π
En effet, en considérant x la mesure de l'angle en radian et θ sa mesure principale alors, on a :
x=θ+2kπ ⇒ θ=x−2kπ
avec, k∈Z  et  θ∈]−π; π]
 
Donc, en procédant comme dans l'exercice 1, on trouve k puis, on détermine θ.
 
On peut aussi déterminer θ par calcul direct.
 
Par exemple, on a :
 
2008π3=−2π3+670π=−2π3+2×335π
 
D'où, θ=−2π3
 
De la même manière, on a :
 
−23π6=π6−4π=π6−2×2π
 
Ainsi, θ=π6
 
Pour déterminer la mesure dans [0; 2π[ et celle dans [−2π; 0[, on procède comme suit :
 
−  si θ est positif alors, la mesure dans [0; 2π[ est égale à θ et la mesure dans [−2π; 0[ est donnée par (θ−2π)
 
−  si θ est négatif alors, la mesure dans [0; 2π[ est égale à (θ+2π) et la mesure dans [−2π; 0[ est θ
 
Par ailleurs, considérons y la mesure de l'angle en degré et α sa mesure principale.
 
On obtient alors la relation suivante :
y=α+k×360∘ ⇒ α=y−k×360∘
avec, k∈Z  et  α∈]−180∘; 180∘]
 
Par exemple, on a :
 
1440∘=0∘+1440∘=0∘+4×360∘
 
Donc, α=0∘
 
Encore, on a :
 
210∘=−150∘+360∘
 
D'où, α=−150∘
 
Pour déterminer la mesure dans [0∘; 360∘[ et celle dans [−360∘; 0∘[, on adopte la méthode suivante :
 
−  si α est positif alors, la mesure dans [0∘; 360∘[ est encore égale à α et la mesure dans [−360∘; 0∘[ est donnée par (α−360∘)
 
−  si α est négatif alors, la mesure dans [0∘; 360∘[ est donnée par (α+360∘) et la mesure dans [−360∘; 0∘[ reste égale à α

Exercice 12

On considère un triangle ABC rectangle en C et tel que
(→AB, →AC)=35∘
Soit O  et  A′ les milieux respectifs des côtés [AB]  et  [BC].

 

 
Trouvons la mesure principale des angles orientés : 
(→OB, →OA′); (→OC, →OA′); (→OA′, →OC); (→OB, →OC)
−  mesure principale de (→OB, →OA′)
 
En effet, (→OB, →OA′)  et  (→AB, →AC) sont correspondants.
 
Or, O  et  A′ sont les milieux respectifs des côtés [AB]  et  [BC].
 
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux, la droite (OA′) est parallèle à la droite (AC).
 
Par conséquent, (→OB, →OA′)  et  (→AB, →AC) ont même mesure.
 
D'où, (→OB, →OA′)=35∘
 
−  mesure principale de (→OA′, →OC)
 
ABC étant rectangle en C et O milieu de [AB] alors, le triangle COB est isocèle en O.
 
Par conséquent, [OA′) est la bissectrice de l'angle ˆO.
 
D'où,
(→OA′, →OC)=(→OB, →OA′)
Ainsi, (→OA′, →OC)=35∘
 
−  mesure principale de (→OC, →OA′)
 
En effet, on sait que si →u  et  →v sont deux vecteurs alors, on a :
(→u; →v)=−(→v; →u)
Ainsi, en appliquant cette propriété sur les angles orientés de vecteurs, on obtient :
(→OC, →OA′)=−(→OA′, →OC)
D'où, (→OC, →OA′)=−35∘
 
−  mesure principale de (→OB, →OC)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
 
(→OB, →OC)=(→OB, →OA′)+(→OA′, →OC)=35∘+35∘=70∘
 
D'où, (→OB, →OC)=70∘

Exercice 13

ABC est un triangle équilatéral direct. On construit à l'extérieur le carré ABED.
 
Déterminons les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
(→AB, →AC); (→AB, →AD); (→BC, →BE), (→CB, →CE)
(→EC, →EB); (→BC, →BD); (→CB, →CD); (→EC, →EA)
−  mesure principale de (→AB, →AC)
 
Le triangle ABC étant équilatéral alors, ses trois angles ont la même mesure principale.
 
D'où, (→AB, →AC)=π3
 
−  mesure principale de (→AB, →AD)
 
En appliquant une conséquence de la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs, on obtient :
(→AB, →AD)=−(→AD, →AB)
Or, (→AD, →AB)=π2
 
Donc, (→AB, →AD)=−π2
 
−  mesure principale de (→BC, →BE)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
 
(→BC, →BE)=(→BC, →BA)+(→BA, →BE)=π3+π2=5π6
 
Ainsi, (→BC, →BE)=5π6
 
−  mesure principale de (→CB, →CE)
 
En effet, ABED étant un carré de côté AB  et  ABC équilatéral alors, on a :
BC=BE
Ce qui signifie que le triangle BCE est isocèle en B.
 
Par conséquent, les angles (→CE, →CB)  et  (→EB, →EC) ont même mesure principale.
 
Donc,
(→CE, →CB)=(→EB, →EC)=−(→CB, →CE)
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à π.
 
Ce qui signifie :
(→BC, →BE)+(→CE, →CB)+(→EB, →EC)=π
Ainsi, en remplaçant (→CE, →CB)  et  (→EB, →EC) par −(→CB, →CE), on obtient :
 
(→BC, →BE)+(→CE, →CB)+(→EB, →EC)=π⇔5π6−(→CB, →CE)−(→CB, →CE)=π⇔−2(→CB, →CE)=π−5π6⇔(→CB, →CE)=−π62⇔(→CB, →CE)=−π12
 
D'où, (→CB, →CE)=−π12
 
−  mesure principale de (→EC, →EB)
 
En effet, BCE étant isocèle en B alors, on a :
(→EC, →EB)=(→CB, →CE)
Or, d'après le résultat précédent, on a : (→CB, →CE)=−π12.
 
Par conséquent, (→EC, →EB)=−π12
 
−  mesure principale de (→BC, →BD)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
(→BC, →BD)=(→BC, →BA)+(→BA, →BD)
Comme ABED est un carré alors, la diagonale [BD] est aussi bissectrice de l'angle (→BA, →BE).
 
Par conséquent,
(→BA, →BD)=(→BA, →BE)2=π4
Ainsi, on a :
 
(→BC, →BD)=(→BC, →BA)+(→BA, →BD)=π3+π4=7π12
 
D'où, (→BC, →BD)=7π12
 
−  mesure principale de (→CB, →CD)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
(→CB, →CA)=(→CB, →CD)+(→CD, →CA)
Ce qui entraine :
(→CB, →CD)=(→CB, →CA)−(→CD, →CA)
Or, on sait que les triangles BCE  et  ACD sont superposables donc, semblables.
 
Par conséquent, 
(→CD, →CA)=(→CB, →CE)
Par suite, on obtient :
 
(→CB, →CD)=(→CB, →CA)−(→CD, →CA)=(→CB, →CA)−(→CB, →CE)=−π3−(−π12)=−π3+π12=−4π12+π12=−3π12=−π4
 
Ainsi, (→CB, →CD)=−π4
 
−  mesure principale de (→EC, →EA)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
 
(→EB, →EA)=(→EB, →EC)+(→EC, →EA)⇒(→EC, →EA)=(→EB, →EA)−(→EB, →EC)⇒(→EC, →EA)=(→EB, →EA)+(→EC, →EB)
 
Ainsi, on trouve :
 
(→EC, →EA)=(→EB, →EA)+(→EC, →EB)=π4−π12=3π12−π12=2π12=π6
 
D'où, (→EC, →EA)=π6

 

 
Remarque
 
ABC étant direct alors, cela signifie que pour construire ce triangle ABC, on part de A vers B en suivant le sens positif.

Exercice 14

On considère un losange ABCD dont les diagonales se coupent en O et tel que :
(→BA, →BD)=−54∘
Déterminons les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
(→BA, →BD); (→BC, →BD); (→BD, →BC); (→BA, →BC)
(→DA, →DC); (→OC, →OB); (→OA, →OC)

 

 
−  mesure principale de (→BA, →BD)
 
D'après les données de l'exercice, on a : 
(→BA, →BD)=−54∘
Convertissons alors cette mesure en radians.
 
En effet, on sait que si α est un angle en degrés et θ l'angle en radians correspondant à α alors, on a la relation suivante :
θ=α×π180
Ainsi, en appliquant cette propriété à l'angle (→BA, →BD), on trouve :
 
(→BA, →BD)=−54×π180=−18×3π18×10=−3π10
 
D'où, (→BA, →BD)=−3π10
 
−  mesure principale de (→BC, →BD)
 
ABCD étant un losange alors, la diagonale [BD] est aussi bissectrice de l'angle (→BC, →BA)
 
Par conséquent,
(→BC, →BD)=(→BD, →BA)
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
(→BD, →BA)=−(→BA, →BD)
Ainsi, d'après le résultat précédent, on trouve :
 
(→BC, →BD)=−(→BA, →BD)=−(−3π10)=3π10
 
D'où, (→BC, →BD)=3π10
 
−  mesure principale de (→BD, →BC)
 
D"après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
(→BD, →BC)=−(→BC, →BD)
Or, d'après le résultat précédent, (→BC, →BD)=3π10
 
Par conséquent, (→BD, →BC)=−3π10
 
−  mesure principale de (→BA, →BC)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
 
(→BA, →BC)=(→BA, →BD)+(→BD, →BC)=−3π10−3π10=−6π10=−3π5
 
D'où, (→BA, →BC)=−3π5
 
−  mesure principale de (→DA, →DC)
 
En effet, dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesures.
 
Donc,
(→DA, →DC)=(→BC, →BA)
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
(→BC, →BA)=−(→BA, →BC)
Par suite, on obtient :
 
(→DA, →DC)=−(→BA, →BC)=−(−3π5)=3π5
 
Ainsi, (→DA, →DC)=3π5
 
−  mesure principale de (→OC, →OB)
 
Comme ABCD est un losange alors, les diagonales (BD)  et  (AC) sont perpendiculaires en O.
 
Par conséquent, (→OC, →OB)=−π2
 
−  mesure principale de (→OA, →OC)
 
O étant milieu de [AC] alors, on a :
→OA=−→OC
Ainsi,
(→OA, →OC)=(−→OC, →OC)
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
(−→OC, →OC)=π
D'où, (→OA, →OC)=π

Exercice 15

ABC est un triangle rectangle isocèle en A de sens indirect. On construit le triangle équilatéral BCE de manière que E appartienne au demi-plan de frontière (BC) contenant A.
 
Déterminons les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
(→AB, →AC); (→CB, →CE); (→CA, →CB); (→BA, →BC)
(→EA, →EC); (→CA, →CE); (→EA, →EB); (→AE, →AB)

 

 
Remarque
 
ABC étant de sens indirect alors, cela signifie que pour construire le triangle ABC, on part de A vers B en suivant le sens négatif qui correspond au sens des aiguilles d'une montre.
 
−  mesure principale de (→AB, →AC)
 
On sait que ABC est un triangle rectangle isocèle en A de sens indirect.
 
Par conséquent, (→AB, →AC)=−π2
 
−  mesure principale de (→CB, →CE)
 
Comme BCE est un triangle équilatéral alors, (→CB, →CE)=π3
 
−  mesure principale de (→CA, →CB)
 
ABC étant un triangle rectangle isocèle en A donc, (→CA, →CB)=−π4
 
−  mesure principale de (→BA, →BC)
 
Comme ABC étant un triangle isocèle en A alors, on a :
(→BA, →BC)=(→CB, →CA)
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
(→CB, →CA)=−(→CA, →CB)
Ainsi, on trouve :
 
(→BA, →BC)=−(→CA, →CB)=−(−π4)=π4
 
D'où, (→BA, →BC)=π4
 
−  mesure principale de (→EA, →EC)
 
En effet, comme ABC est rectangle isocèle en A  et BCE équilatéral alors, [EA) est une bissectrice des angles orientés (→AB, →AC)  et  (→EB, →EC).
 
Donc, on obtient :
 
(→EA, →EC)=(→EB, →EC)2=−π32=−π6
 
Ainsi, (→EA, →EC)=−π6
 
−  mesure principale de (→CA, →CE)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
(→CB, →CE)=(→CB, →CA)+(→CA, →CE)
Ce qui entraine alors :
 
(→CA, →CE)=(→CB, →CE)−(→CB, →CA)=(→CB, →CE)+(→CA, →CB)=π3−π4=4π12−3π12=π12
 
D'où, (→CA, →CE)=π12
 
−  mesure principale de (→EA, →EB)
 
[EA) étant la bissectrice de l'angle orienté (→EB, →EC) alors, on a :
(→EA, →EB)=−(→EA, →EC)
Or, d'après les résultats précédents, on a :
(→EA, →EC)=−π6
Par conséquent, (→EA, →EB)=π6
 
−  mesure principale de (→AE, →AB)
 
En effet, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
(→AE, −→AE)=(→AE, →AB)+(→AB, −→AE)
Ce qui donne alors :
(→AE, →AB)=(→AE, −→AE)−(→AB, −→AE)
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de vecteurs, on a :
(→AE, −→AE)=−π
De plus,  [EA) étant bissectrice de (→AB, →AC) alors, on a :
(→AB, −→AE)=−π4
Par suite, on trouve :
 
(→AE, →AB)=(→AE, −→AE)−(→AB, −→AE)=−π−(−π4)=−4π4+π4=−3π4
 
Par conséquent, (→AE, →AB)=−3π4

Exercice 16

On donne dans le plan orienté P, une demi-droite Ox.
 
1) Construisons les demi-droites Oy, Oz, Ot telles que :
(Ox, Oy)=2π3,(Ox, Oz)=−5π6,(Ox, Ot)=π4

 

 
2) Calculons la mesure principale en radians des angles orientés suivants :
(Oy, Oz), (Oz, Ot), (Ot, Oy)
−  mesure principale de (Oy, Oz)
 
En effet, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
(Oy, Oz)=(Oy, Ox)+(Ox, Oz)
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de demi-droites, on a :
(Oy, Ox)=−(Ox, Oy)
Ainsi, on trouve :
 
(Oy, Oz)=(Oy, Ox)+(Ox, Oz)=−(Ox, Oy)+(Ox, Oz)=−2π3−5π6=−4π6−5π6=−9π6=3π6−2π=π2−2π
 
Par conséquent, la mesure principale en radians de l'angle orienté (Oy, Oz) est donnée par :
(Oy, Oz)=π2
−  mesure principale de (Oz, Ot)
 
D'après la relation de Chasles, on a :
(Oz, Ot)=(Oz, Ox)+(Ox, Ot)
Comme (Oz, Ox)=−(Ox, Oz) alors, on obtient :
 
(Oz, Ot)=(Oz, Ox)+(Ox, Ot)=−(Ox, Oz)+(Ox, Ot)=−(−5π6)+π4=5π6+π4=10π12+3π12=13π12=−11π12+2π
 
D'où, la mesure principale en radians de l'angle orienté (Oz, Ot) est donnée par :
(Oz, Ot)=−11π12
−  mesure principale de (Ot, Oy)
 
En utilisant encore la relation de Chasles, on obtient :
(Ot, Oy)=(Ot, Ox)+(Ox, Oy)
Or, d'après les propriétés sur les angles orientés de demi-droites, on a :
(Ot, Ox)=−(Ox, Ot)
On peut alors écrire :
 
(Ot, Oy)=(Ot, Ox)+(Ox, Oy)=−(Ox, Ot)+(Ox, Oy)=−π4+2π3=−3π12+8π12=5π12
 
D'où, on trouve :
(Ot, Oy)=5π12

Exercice 21

Démontrons que, pour tout réel t :
 
1) (cost+sint)2=1+2costsint 
 
En utilisant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
 
(cost+sint)2=cos2t+2costsint+sin2t=cos2t+sin2t⏟=1+2costsint=1+2costsint
 
D'où, (cost+sint)2=1+2costsint
 
2) (cost−sint)2=1−2costsint
 
D'après la forme développée des identités remarquables, on a :
 
(cost−sint)2=cos2t−2costsint+sin2t=cos2t+sin2t⏟=1−2costsint=1−2costsint
 
Ainsi, (cost−sint)2=1−2costsint
 
3) (cost+sint)2+(cost−sint)2=2
 
En effet, d'après les résultats des questions 1)  et  2), on a :
cost+sint)2=1+2costsint(1)
cost−sint)2=1−2costsint(2)
Alors, en additionnant, membre à membre, les relations (1)  et  (2), on obtient :
 
(cost+sint)2+(cost−sint)2=(1+2costsint)+(1−2costsint)=1+2costsint+1−2costsint=2
 
D'où, (cost+sint)2+(cost−sint)2=2
 
4) (cost+sint)2−(cost−sint)2=4sintcost
 
En utilisant les résultats des questions 1)  et  2), on trouve :
 
(cost+sint)2−(cost−sint)2=(1+2costsint)−(1−2costsint)=1+2costsint−1+2costsint=4costsint
 
D'où, (cost+sint)2−(cost−sint)2=4sintcost
 
5) sin4t−cos4t=sin2t−cos2t 
 
En effet, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on a :
sin4t−cos4t=(sin2t−cos2t)(sin2t+cos2t) 
Or, on sait que :
sin2t+cos2t=1
Par conséquent, sin4t−cos4t=sin2t−cos2t 
 
6) sin4t−cos4t+2cos2t=1
 
D'après le résultat de la question 5), on a :
sin4t−cos4t=sin2t−cos2t 
Or, on sait que :
sin2t=1−cos2t 
Donc, en remplaçant, on obtient :
 
sin4t−cos4t+2cos2t=sin2t−cos2t+2cos2t=1−cos2t−cos2t+2cos2t=1−2cos2t+2cos2t=1
 
D'où, sin4t−cos4t+2cos2t=1

Exercice 22

Exprimons en fonction de sint  et  cost les expressions suivantes :
 
Soit A=cos(t+π)+cos(t+2π)+cos(t−π)+cos(t−3π)
 
Alors, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on trouve :
 
A=cos(t+π)+cos(t+2π)+cos(t−π)+cos(t−3π)=−cost+cost−cost+cos[(t−π)−2π]=−cost+cos(t−π)=−cost−cost=−2cost
 
D'où, A=−2cost
 
Soit : B=sin(t+π)+sin(t+2π)+sin(t−π)+sin(t−3π)
 
Alors, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on obtient :
 
B=sin(t+π)+sin(t+2π)+sin(t−π)+sin(t−3π)=−sint+sint−sint+sin[(t−π)−2π]=−sint+sin(t−π)=−sint−sint=−2sint
 
Ainsi, B=−2sint
 
Soit : C=sin(t+π2)+cos(t−π)+sin(t+3π2)+cos(t+π)
 
Alors, d'après les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on a :
 
C=sin(t+π2)+cos(t−π)+sin(t+3π2)+cos(t+π)=cost−cost+sin[(t+π2)+π]−cost=−sin(t+π2)−cost=−cost−cost=−2cost
 
D'où, \boxed{C=-2\cos t}
 
Soit : D=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)+\cos\left(\dfrac{27\pi}{2}-t\right)+\sin(3\pi+t)-\cos(7\pi-t)
 
Alors, en utilisant les propriétés trigonométriques du sinus et du cosinus, on obtient :
 
\begin{array}{rcl} D&=&\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)+\cos\left(\dfrac{27\pi}{2}-t\right)+\sin(3\pi+t)-\cos(7\pi-t)\\\\&=&\sin\left[\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)\right]+\cos\left[14\pi+\left(-\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right]+\sin[2\pi+(\pi+t)]-\cos[6\pi+(\pi-t)]\\\\&=&-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)+\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-t\right)+\sin(\pi+t)-\cos(\pi-t)\\\\&=&-\cos t+\cos\left[-\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)\right]-\sin t+\cos t\\\\&=&-\cos t+\cos t+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)-\sin t\\\\&=&-\sin t-\sin t\\\\&=&-2\sin t\end{array}
 
D'où, \boxed{D=-2\sin t}

Exercice 23

Soit ABC un triangle isocèle à angles aigus :
AB=AC=a\;;\ \widehat{A}=2\alpha
1) Calculons BC.
 
Comme AB=AC=a alors, ABC est un triangle isocèle en A.
 
Donc, la bissectrice [AD) de l'angle \widehat{BAC} est aussi médiatrice du segment [BC].
 
Ainsi, ADB est un triangle rectangle au point D qui est le milieu de [BC].
 
Par conséquent, en utilisant le sinus de l'angle \widehat{DAB}, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{BD}{AB}=\sin\widehat{DAB}&\Leftrightarrow&\dfrac{BD}{AB}=\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BD=AB\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{BC}{2}=AB\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BC=2AB\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BC=2a\sin\alpha\end{array}
 
D'où, \boxed{BC=2a\sin\alpha}
 
2) Calculons la hauteur BH de deux façons différentes.
 
En effet, BH étant la hauteur issue de B alors, AHB est un triangle rectangle en H.
 
Donc, en utilisant le sinus de l'angle \widehat{HAB}, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{BH}{AB}=\sin\widehat{HAB}&\Leftrightarrow&\dfrac{BH}{AB}=\sin 2\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BH=AB\sin 2\alpha\\\\&\Leftrightarrow&BH=a\sin 2\alpha\end{array}
 
Ainsi, \boxed{BH=a\sin 2\alpha\qquad(1)}
 
Par ailleurs, CHB est aussi un triangle rectangle en H.
 
Donc, en utilisons le sinus de l'angle \widehat{HCB}, on obtient :
\dfrac{BH}{BC}=\sin\widehat{HCB}\ \Rightarrow\ BH=BC\sin\widehat{HCB}
Ainsi, en remplaçant BC par son expression, on trouve une autre écriture de BH, donnée par :
\boxed{BH=2a\sin\alpha\sin\widehat{HCB}}
Déterminons alors la mesure de l'angle \widehat{HCB}.
 
ABC étant isocèle en A alors, on a :
\widehat{ACB}=\widehat{CBA}
Or, on sait que dans un tringle, la somme des mesures des angles est égale à \pi.
 
De plus, \widehat{CAB}=2\alpha
 
Donc, on a :
 
\begin{array}{rcl}\widehat{ACB}+\widehat{CBA}+\widehat{CAB}=\pi&\Leftrightarrow&2\widehat{ACB}=\pi-\widehat{CAB}\\\\&\Leftrightarrow&\widehat{ACB}=\dfrac{\pi-2\alpha}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\alpha}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha\end{array}
 
Ainsi, \boxed{\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha}
 
Par suite, en remplaçant cette valeur de l'angle \widehat{ACB}, dans l'expression de BH, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}BH&=&2a\sin\alpha\sin\widehat{HCB}\\\\&=&2a\sin\alpha\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\\\\&=&2a\sin\alpha\cos\alpha\end{array}
 
D'où, \boxed{BH=2a\sin\alpha\cos\alpha\qquad(2)}
 
En déduisons la relation :
\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
En comparant les égalités (1)\ et \ (2), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\text{égalité }(1)=\text{égalité }(2)&\Leftrightarrow&a\sin 2\alpha=2a\sin\alpha\cos\alpha\\\\&\Leftrightarrow&\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\end{array}
 
Ainsi, \boxed{\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}
 
3) Calculons AH\ et \ CH.
 
-\ Calcul de AH
 
En utilisant le cosinus de l'angle \widehat{HAB}, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{AH}{AB}=\cos\widehat{HAB}&\Leftrightarrow&AH=AB\cos\widehat{HAB}\\\\&\Leftrightarrow&AH=a\cos 2\alpha\end{array}
 
D'où, \boxed{AH=a\cos 2\alpha}
 
-\ Calcul de CH
 
Utilisons le cosinus de l'angle \widehat{HCB}.
 
On obtient alors :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{CH}{BC}=\cos\widehat{HCB}&\Leftrightarrow&CH=BC\cos\widehat{HCB}\\\\&\Leftrightarrow&CH=2a\sin\alpha\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\\\\&\Leftrightarrow&CH=2a\sin\alpha\sin\alpha\\\\&\Leftrightarrow&CH=2a\sin^{2}\alpha\end{array}
 
Donc, \boxed{CH=2a\sin^{2}\alpha}
 
En déduire la relation :
cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha
On sait que :
AH+CH=AC
Ce qui entraine :
 
\begin{array}{rcl}a\cos 2\alpha+2a\sin^{2}\alpha=a&\Leftrightarrow&a\left(\cos 2\alpha+2\sin^{2}\alpha\right)=a\\\\&\Leftrightarrow&\cos 2\alpha+2\sin^{2}\alpha=1\\\\&\Leftrightarrow&\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\end{array}
 
Par conséquent, \boxed{\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha}

 

 

Exercice 24

Exprimons à l'aide de \tan t les expressions suivantes :
 
Soit : X=\dfrac{\sin^{3}t-\cos^{3}t}{\sin t-\cos t}
 
Alors, d'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :
\sin^{3}t-\cos^{3}t=(\sin t-\cos t)\left(\sin^{2}t+\sin t\cos t+\cos^{2}t\right)
Ainsi, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}X&=&\dfrac{\sin^{3}t-\cos^{3}t}{\sin t-\cos t}\\\\&=&\dfrac{(\sin t-\cos t)\left(\sin^{2}t+\sin t\cos t+\cos^{2}t\right)}{\sin t-\cos t}\\\\&=&\sin^{2}t+\sin t\cos t+\cos^{2}t\\\\&=&\underbrace{\sin^{2}t+\cos^{2}t}_{=1}+\sin t\cos t\\\\&=&1+\sin t\cos t\end{array}
 
Par ailleurs, en factorisant l'expression \sin t\cos t par \cos^{2}t, on obtient :
\sin t\cos t=\cos^{2}t\times\dfrac{\sin t}{\cos t}
Par suite, 
 
\begin{array}{rcl}X&=&1+\sin t\cos t\\\\&=&1+\cos^{2}t\times\dfrac{\sin t}{\cos t}\end{array}
 
Or, on sait que : \cos^{2}t=\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}
 
Par conséquent,
 
\begin{array}{rcl}X&=&1+\cos^{2}t\times\dfrac{\sin t}{\cos t}\\\\&=&1+\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}\times\tan t\\\\&=&1+\dfrac{\tan t}{1+\tan^{2}t}\end{array}
 
D'où, \boxed{X=1+\dfrac{\tan t}{1+\tan^{2}t}}
 
Soit : Y=\cos^{2}t-\sin t\cos t
 
Alors, en factorisant par \cos^{2}t, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}Y&=&\cos^{2}t-\sin t\cos t\\\\&=&\cos^{2}t\times\left(1-\dfrac{\sin t}{\cos t}\right)\end{array}
 
Or, on sait que : \cos^{2}t=\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}
 
Donc, en remplaçant, on trouve :
 
\begin{array}{rcl}Y&=&\cos^{2}t\times\left(1-\dfrac{\sin t}{\cos t}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{1+\tan^{2}t}\times\left(1-\tan t\right)\\\\&=&\dfrac{1-\tan t}{1+\tan^{2}t}\end{array}
 
Ainsi, \boxed{Y=\dfrac{1-\tan t}{1+\tan^{2}t}}
 
Soit : Z=\dfrac{\sin^{2}t+\sin t\cos t}{\sin^{2}t-\cos^{2}t}
 
Alors, en factorisant le numérateur et le dénominateur par \cos^{2}t, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}Z&=&\dfrac{\sin^{2}t+\sin t\cos t}{\sin^{2}t-\cos^{2}t}\\\\&=&\dfrac{\cos^{2}\left(\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}+\dfrac{\sin t}{\cos t}\right)}{\cos^{2}t\left(\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}-1\right)}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}+\dfrac{\sin t}{\cos t}}{\dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}-1}\\\\&=&\dfrac{\tan^{2}t+\tan t}{\tan^{2}t-1}\\\\&=&\dfrac{\tan t(\tan t+1)}{(\tan t-1)(\tan t+1)}\\\\&=&\dfrac{\tan t}{\tan t-1}\end{array}
 
D'où, \boxed{Z=\dfrac{\tan t}{\tan t-1}}
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

sam, 06/12/2021 - 19:06

mbodji2005@gmail.com

Anonyme (non vérifié)

ven, 06/17/2022 - 13:23

zdee

Anonyme (non vérifié)

ven, 06/17/2022 - 13:24

merci beaucoup

Timtim (non vérifié)

lun, 02/26/2024 - 08:06

Pourrais-je avoir le reste des corrigés des exercices.

Fatoumata Zahra... (non vérifié)

dim, 05/26/2024 - 14:05

Je ne sais pas

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