Serie d'exercices : Fonction exponentielle- TL
Exercice 1
Simplifie l’expression suivante :
A=e5x×e−2xe−x+2
Exercice 2
Résoudre dans R:
1. (E):x(ex−1)x2+1=0
2. (I):x2+x−2e2x−1≥0
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, on admet que la fonction f est dérivable sur R..
Calculer la fonction dérivée de f dans chaque cas :
a) f(x)=e−2x+1
b) f(x)=x+2−ex
c) f(x)=(1−x)ex
Exercice 4
Déterminer la limite des fonctions suivantes en a:
a) f(x)=(2x+1)ex+1x, a=+∞
b) f(x)=2×ex−1x+x2, a=0
Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive de f sur R:
a) f(x)=e4x
b) f(x)=e3x−e−12x+5
c) f(x)=x−34+3e−2x+1
Exercice 6
Choisir la réponse juste pour chaque affirmation :
N°AffirmationsABC1Pour tout x≠0,e2x−exex+1 est égale à ex−11−exex−11+exex−e−x1−ex2Solution de ex2−x−1=e3x−4x=1 et x=−3x=−1 et x=3x=1 et x=33Limite de ex−2x en +∞+∞−∞04Dérivée de f(x)=xe−2xf′(x)=2xe2xf′(x)=(2x−1)e2xf′(x)=(1−2x)e2x
Exercice 7
Simplifier les expressions suivantes :
a) (e2x)2×(e−x)2
b) (ex+e−x)2−(ex−e−x)2
Exercice 8
Etudier le signe de chacune des expressions suivantes :
1. B=e2x+ex−2 .
2. C=ex−2e−x+1 .
Exercice 9
Déterminer la limite en +∞ et en −∞ des fonctions suivantes :
a) f(x)=ex+1ex+2
b) f(x)=xexx+1
c) f(x)=ex+1ex+2
Exercice 10
Dans chacun des cas suivants,trouver une primitive de f sur R :
a) f(x)=e3x−e−12x+5
b) f(x)=e2x1+e2x
c) f(x)=(2x−3)e−x2+3x+1
Exercice 11
Soit la fonction f de R vers R définie par: f(x)=1−x+ex. On note (C) la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J).
1. Préciser l'ensemble de définition de f, noté Df.
2. Calculer la limite de f en −∞.
3. a) Vérifie que pour tout nombre réel x≠0, f(x)=x(1x−1+exx).
b) En Déduire la limite de f en +∞.
4. a) Démontrer que la droite (Δ) d'équation y=−x+1 est asymptote oblique à (C) en −∞.
b) Préciser la position relative de (C) par rapport à (Δ).
5. a) On admet que f est dérivable sur R. Calculer f′(x).
b)Résoudre dans R l'équation f′(x)=0.
c) Résoudre dans R l'inéquation f′(x)>0.
d) En Déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.
Reproduire et complèter le tableau suivant :
x−3−2−1012f(x)
Tracer (C) et (Δ) sur [−3;2].
Exercice 12
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,I,J). L'unité graphique est le centimètre.
On considère la fonction f dérivable et définie sur ]−∞;2] par f(x)=(−2x+3)ex.
On note (C) la représentation graphique de f dans le repère (O,I,J).
1. Justifier que
lim
puis interprèter graphiquement ce résultat.
2. a) Vérifier que pour tout élément x de ]-\infty;2], f'(x) = (-2x + 1)e^x.
b) Étudier le signe de la dérivée f'(x) sur ]-\infty;2].
En déduire les variations de f sur ]-\infty;2].
d)Dresser le tableau de variation de f.
3. Soit A le point d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection de (C) avec l'axe des ordonnées.
Déterminer les coordonnées respectives des points A et B.
4. Recopier et complèter le tableau des valeurs ci-dessous.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\
\hline
\text{Arrondi d'ordre 1 de }f(x) & 0,2 & 0,4 & 1,8 & 3,3 & & & & & -7,4 \\
\hline
\end{array}
5. Construire (C) sur l'intervalle ]-\infty;2].
EXERCICE 13
Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes
1) e^{2x+1} = e^{3x+7}
2) e^{-x+17} = e^x
3) e^{x+3}\times e^{x-2} = e^3
4) e^{2x} - 4e^x + 3 = 0
5)e^{x(x+1)} - 8e^{x+2} - 9e^2 = 0
6) 2e^{2x-4} + 5e^{x-2} - 3 = 0
EXERCICE 14
Résoudre dans \mathbb{R} les inéquations suivantes
1) e^{3x+2} \leq e
2) e^x - 7 < 0
3) e^{2x} - 9 > 0
4) e^x + 1 > 0
5) e^x(e^x - 4) < 0
6) e^{2x} + e^x - 6 \leq 0
7) e^{2x} + e^x - 2 \geq 0
EXERCICE 15
Résoudre dans \mathbb{R} les équations et inéquations suivantes
1) e^{2x} + e^x + 1 = 0
2) e^x - 13e^x - 48 = 0
3) 2e^{2x} + 5e^x + 8 = 0
4) 2e^{2x} + 4e^x + 2 = 0
5) e^x - e^x - 6 = 0
6) e^x - 13e^x - 48 = 0
7) e^{2x} + e^x + 1 > 0
8) 3e^{2x} - 18e^x + 27 \leq 0
9) e^x - e^x - 11 > 0
10) e^x - 1 \geq 3e^x
11) e^{x+1} = e^x
12) e^x - e^x - 15e^x = e^x
13) e^{x+1} \leq e
14) e^{x+1} \leq e^x
15) 3e^{2x} - e^x + 2 \leq 0
16) e^{x+1} - 6e^x + 8e^x \leq 0
EXERCICE 16
Soit le polynôme P(x)=x^3 - x^2 - 4x + 4
1) Calculer P(1). Écrire P(x) sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.
2) Résoudre P(x) = 0.
3) En déduire la résolution dans \mathbb{R} de chacune des équations
a) (\ln x)^3 - (\ln x)^2 - 4(\ln x) + 4 = 0
b) e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 = 0
c) e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 \geq 0
EXERCICE 17
Soit la fonction h définie sur \mathbb{R} par
h(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4
1) Calculer h(-2) puis résoudre dans \mathbb{R} :
h(x) = 0 et h(x) > 0
2) En déduire la résolution dans \mathbb{R} :
a) des équations
2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0 \\
2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0
b) des inéquations
2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0 \\
2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0
EXERCICE 18
Résoudre les systèmes suivants
\begin{cases}
3e^x - 4e^y = -6 \\
2e^x + e^y = 7
\end{cases}
\begin{cases}
xy = -15 \\
e^x e^y = e^{-2}
\end{cases}
\begin{cases}
\ln x + \ln 4 = \ln 3 + \ln y \\
e^x = e^{x-2}
\end{cases}
EXERCICE 19
1) Développer l’expression
A = e^{x-2} - (x + 1)(x - 2)
2) Résoudre les équations suivantes
A) e^{3x} - 2e^{x+1} - e^x + 2 = 0
B) e^{x+2} = e^{x^2 + 4x}
EXERCICE 20
1) Déterminer les racines du polynôme
P(x) = x^2 + 4x - 5
2) En déduire les solutions de l’équation
e^{2x} + 4e^x = 5
3) Résoudre les équations suivantes
A) e^{2x} + e^x - 2 = 0
B) e^{2x+1} + e^{x+1} - 2e = 0
C) e^x - 2e^{-x} + 1 = 0
EXERCICE 21
Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes où a représente un réel quelconque
A = \dfrac{e^{x}}{e^{x}}, \quad B = e^x (1 + 2e^{-x}), \quad C = \dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}}, \quad D = (e^x + e^{-x})^2
E = e^{2x} \cdot e^{-2x}, \quad F = e^{2x+1} \cdot e^{-2x}, \quad G = \dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}}, \quad H = \dfrac{e^{x+1}}{(e^x)^2}
EXERCICE 22
Démontrer que pour tout réel x, on a :
1) \dfrac{e^x-1}{e^{x+1}} = \dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}
2) \dfrac{e^x-1}{e^{2x}} = e^{-x} - e^{-2x}
3) \dfrac{e^{-x}+1}{1+e^x} = e^{-x}
EXERCICE 23
Calculer la dérivée de la fonction f
1) f(x) = e^{x^2 - x}
2) f(x) = e^{x^3 - 2x}
3) f(x) = \dfrac{1-e^{-x}}{1-2e^x}
4) f(x) = \dfrac{2e^x}{e^{x-1}}
EXERCICE 24
Déterminer les limites suivantes
1) \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} + 1
2) \lim\limits_{x \to 0} e^{-x} + 1
3) \lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x} + 1
4) \lim\limits_{x \to +\infty} xe^{x}
5) \lim\limits_{x \to -\infty} xe^{-x}
6) \lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x}
7) \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{e^{2x}-1}{e^{x}+1}
8) \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{1+e^x}
9) \lim\limits_{x \to +\infty} e^x +\dfrac{1}{x}
10) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+e^{-2x}}
11) \lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x}+e^x + 1
12) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+1}{2x}
13) \lim\limits_{x \to -\infty} (x^2 - 4x + 1)e^x
14) \lim\limits_{x \to +\infty} e^x - x^2 - x
EXERCICE 25
On considère la fonction f définie par f(x) = (1 - x)e^x + 1
1) Déterminer le domaine de définition de f puis les limites aux bornes. Que peut-on en déduire pour la courbe de f ?
2) Calculer la fonction dérivée de f, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de f.
3) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
4) Déterminer la nature de la branche infinie de C_f en -\infty.
5) Tracer la courbe.
EXERCICE 26
On considère la fonction f définie par : f(x) = e^{x^2 - 2x} .
1)Déterminer le domaine de définition de f et les limites aux bornes.
2)Calculer la fonction dérivée de f , étudier son signe puis dresser le tableau de variations de f .
3)Déterminer l’équation de la tangente aux points d’abscisse 0 et 2 .
4)Résoudre dans \mathbb{R} l’équation f(x) = 1 .
EXERCICE 27
Soit la fonction f définie par : f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} .
1)Déterminer le domaine de définition de f .
a) Calculer la limite de f en -\infty. En déduire l’équation d’une asymptote à la courbe en -\infty.
b) Calculer la limite de f en +\infty. En déduire l’équation d’une deuxième asymptote à la courbe en +\infty.
c) Calculer la fonction dérivée de f , étudier son signe puis dresser le tableau de variations de f .
2) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
3) Montrer que pour tout x réel, f(-x) = -f(x) . Que peut-on en déduire pour la fonction f et pour sa courbe représentative ?
EXERCICE 28
Soit la fonction f définie par : f(x) = \frac{2e^x - 1}{e^x - 1} .
1) Déterminer les réels a et b tels que f(x) = a + \frac{b}{e^x - 1} .
2) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f et étudier les limites aux bornes de cet ensemble de définition.
a) Déterminer la dérivée f' de la fonction f .
b) Étudier le sens de variation de la fonction f .
c) Dresser le tableau de variations de la fonction f .
4)On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}) (unité 2 cm).
a) Montrer que le point A(0, 2) est un centre de symétrie pour C .
b) Tracer C .
EXERCICE 29
Soit f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1} .
Déterminer l’ensemble de définition de f .
Montrer que f(x) + f(-x) = 0 . Conclure.
Montrer que l’on peut écrire, pour x \in D_f , f(x) = 1 + \frac{2}{e^x - 1} .
Dresser le tableau de variation et construire C_f dans un repère orthonormé (unité 2 cm).
EXERCICE 30
Soit f(x) = \frac{-1}{e^x - 1} .
1) Dresser le tableau de variation de f .
2) Donner l’équation de la tangente à f en x_0 = 0 .
3) Montrer que le point (\ln 2, -1/2) est un centre de symétrie pour la courbe C_f .
4) Tracer la courbe C_f .
EXERCICE 31
Soit f la fonction numérique définie par :
f(x) = x + \ln (2 - e^x)
1) Résoudre l’inéquation 2 - e^x > 0 . En déduire le domaine de définition de f .
2) Étudier les limites de f en -\infty et \ln 2 .
3) Déterminer le tableau de variation de f .
4)a)Montrer que pour tout x de D_f ,
f(x) = x + \ln 2 + \ln (1 - e^x / 2) .
b) Montrer que la droite d’équation y = x + \ln 2 est une asymptote en -\infty à la courbe C_f . Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
5) Tracer la courbe C_f dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}) (unité 1 cm).
EXERCICE 32 (Bac L2 1999)
On considère la fonction numérique définie par f(x) = \frac{1 - 2e^x}{1 + e^x} . C est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}) .
A) Étude de la fonction f
1)a) Déterminer son ensemble de définition.
b)Déterminer \lim_{x \to +\infty} f(x) et \lim_{x \to -\infty} f(x) .
c)Calculer f'(x) et déterminer son signe.
d)Dresser le tableau de variation.
2)a) Démontrer que le point (0, -1/2) est un centre de symétrie pour la courbe.
b)Résoudre dans \mathbb{R} : 2e^{2x} - 5e^x + 2 = 0 .
c)Déterminer l’équation de la tangente à f au point d’abscisse x_0 = 2 .
3) Tracer la courbe C dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}) (unité graphique 4 cm).
B) Calcul intégral}
1) a) Vérifier que pour tout x réel :
f(x) = \frac{1 - 2e^x}{1 + e^x} .
b)En déduire les primitives de f sur \mathbb{R} .
2) Déterminer l’aire en cm^2 du domaine plan délimité par C , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = \ln 3 .
EXERCICE 33 (Bac L2 2000)
Soit f la fonction définie par f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 2} , et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité 2 cm).
1) a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
On le notera D .
b)Calculer la limite de f en -\infty. En déduire une asymptote à C_f .
c)Vérifier que pour tout x de D , f(x) = \frac{1 + 2e^{-x}}{1 - 2e^{-x}} .
d)Démontrer que la droite d’équation x = \ln 2 est une asymptote verticale à la courbe C_f .
2) Déterminer f'(x) , son signe et dresser le tableau de variation de f .
3) Tracer la courbe C_f .
4) a)Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de D ,
f(x) = a + \frac{b}{e^x - 2} .
b) En déduire l’aire en cm^2 de la partie du plan comprise entre C_f , l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = 2 et x = 3 .
Correction des exercices
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