Exercice 1  

Simplifie l’expression suivante :  
$$A = \dfrac{e^{5x} \times e^{-2x}}{e^{-x+2}}$$  

Exercice 2  

Résoudre dans $\mathbb{R}$:
1. $(E) : \dfrac{x(e^x-1)}{x^2+1} = 0$  
2. $(I) : \dfrac{x^2+x-2}{e^{2x}-1} \geq 0$  

Exercice 3  

Dans chacun des cas suivants, on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$..
Calculer la fonction dérivée de $f$ dans chaque cas :

a) $f(x) = e^{-2x+1}$  
b) $f(x) = x + 2 - e^x$  
c) $f(x) = (1 - x)e^x$  

Exercice 4  

Déterminer la limite des fonctions suivantes en $a$:

a) $f(x) = (2x + 1)e^x + \dfrac{1}{x}$, $a = +\infty$  
b) $f(x) = 2 \times \dfrac{e^x-1}{x} + x^2$, $a = 0$  

Exercice 5  

Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$:  
a) $f(x) = e^{4x}$  
b) $f(x) = e^{3x} - e^{-\dfrac{1}{2}x} + 5$  
c) $f(x) = x - \dfrac{3}{4} + 3e^{-2x+1}$  

Exercice 6  

Choisir la réponse juste pour chaque affirmation :
$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|}     \hline     N° & Affirmations & A & B & C \\     \hline     1 & \text{Pour tout }  x \neq 0 ,  \dfrac{e^{2x} - e^x}{e^x + 1} \text{ est égale à }   &  \dfrac{e^x - 1}{1-e^x} &  \dfrac{e^x - 1}{1+e^x}  & \dfrac{e^x - e^{-x}}{1-e^x}  \\     \hline     2 & \text{Solution de } e^{x^2 - x - 1} = e^{3x - 4}  &  x = 1  \text{ et }   x = -3  &  x = -1  \text{ et }  x = 3  &  x = 1  \text{ et }  x = 3  \\     \hline     3 & \text{Limite de }  e^x - 2x  \text{ en }   +\infty  &  +\infty  &  -\infty  & 0 \\     \hline     4 & \text{Dérivée de } f(x) = xe^{-2x}  &  f'(x) = 2xe^{2x}  &  f'(x) = (2x-1)e^{2x}  &  f'(x) = (1-2x)e^{2x}  \\     \hline \end{array}$$

Exercice 7  

Simplifier les expressions suivantes :
a) $(e^{2x})^2 \times (e^{-x})^2$  
b) $(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2$  

Exercice 8  

Etudier le signe de chacune des expressions suivantes :  
1. $B = e^{2x} + e^x - 2$ .  
2. $C = e^x - 2e^{-x} + 1$ .  

Exercice 9  

Déterminer la limite en $+\infty$ et en $-\infty$ des fonctions suivantes :  
a) $f(x) = \dfrac{e^{x+1}}{e^x + 2}$  
b) $f(x) = \dfrac{x e^x}{x + 1}$  
c) $f(x) = \dfrac{e^{x}+1}{e^x + 2}$ 

Exercice 10  

Dans chacun des cas suivants,trouver une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ :  
a) $f(x) = e^{3x} - e^{-\dfrac{1}{2}x} + 5$  
b) $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{1 + e^{2x}}$  
c) $f(x) = (2x - 3) e^{-x^2 + 3x + 1}$

Exercice 11

Soit la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par: $f(x) = 1 - x + e^{x}$. On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$.

     1. Préciser l'ensemble de définition de $f$, noté $D_f$.
    
     2. Calculer la limite de $f$ en $-\infty$.
    
     
      3. a) Vérifie que pour tout nombre réel $x \neq 0$, $f(x) = x \left( \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{e^x}{x} \right)$.
        
          b) En Déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
    
    
      4. a) Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = -x + 1$ est asymptote oblique à $(C)$ en $-\infty$.
        
         b) Préciser la position relative de $(C)$ par rapport à $(\Delta)$.
    
    
      5. a) On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calculer $f'(x)$.
        
         b)Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f'(x) = 0$.
        
         c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x) > 0$.
        
         d) En Déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
    
    
     Reproduire et complèter le tableau suivant :  

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}         \hline         x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\         \hline         f(x) & & & & & & \\         \hline     \end{array}$$

    
     Tracer $(C)$ et $(\Delta)$ sur $[-3 ; 2]$.

Exercice 12

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$. L'unité graphique est le centimètre.  
On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur $]-\infty;2]$ par $f(x) = (-2x + 3)e^x$.  
On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le repère $(O, I, J)$.  

    1. Justifier que
    $$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$$
    puis interprèter graphiquement ce résultat.      
   
    2.  a) Vérifier que pour tout élément $x$ de $]-\infty;2]$, $f'(x) = (-2x + 1)e^x$.       
        b) Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ sur $]-\infty;2]$.  
         En déduire les variations de $f$ sur $]-\infty;2]$.  
        
        d)Dresser le tableau de variation de $f$.  
 
    
    3. Soit A le point d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection de $(C)$ avec l'axe des ordonnées.  
    Déterminer les coordonnées respectives des points A et B.  
    
    4. Recopier et complèter le tableau des valeurs ci-dessous.  
    
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}         \hline         x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\         \hline         \text{Arrondi d'ordre 1 de }f(x) & 0,2 & 0,4 & 1,8 & 3,3 & & & & & -7,4 \\         \hline     \end{array}$$
    
    
    5. Construire $(C)$ sur l'intervalle $]-\infty;2]$. 

EXERCICE 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes

1) $e^{2x+1} = e^{3x+7}$
2) $e^{-x+17} = e^x$
3) $e^{x+3}\times e^{x-2} = e^3$
4) $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$
5)$e^{x(x+1)} - 8e^{x+2} - 9e^2 = 0$
6) $2e^{2x-4} + 5e^{x-2} - 3 = 0$

EXERCICE 14

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes

    1) $e^{3x+2} \leq e$
    2) $e^x - 7 < 0$
    3) $e^{2x} - 9 > 0$
    4) $e^x + 1 > 0$
    5) $e^x(e^x - 4) < 0$
    6) $e^{2x} + e^x - 6 \leq 0$
    7) $e^{2x} + e^x - 2 \geq 0$

EXERCICE 15

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

    1) $e^{2x} + e^x + 1 = 0$
    2) $e^x - 13e^x - 48 = 0$
    3) $2e^{2x} + 5e^x + 8 = 0$
    4) $2e^{2x} + 4e^x + 2 = 0$
    5) $e^x - e^x - 6 = 0$
    6) $e^x - 13e^x - 48 = 0$
    7) $e^{2x} + e^x + 1 > 0$
    8) $3e^{2x} - 18e^x + 27 \leq 0$
    9) $e^x - e^x - 11 > 0$
   10) $e^x - 1 \geq 3e^x$
   11) $e^{x+1} = e^x$
   12) $e^x - e^x - 15e^x = e^x$
   13) $e^{x+1} \leq e$
   14) $e^{x+1} \leq e^x$
   15) $3e^{2x} - e^x + 2 \leq 0$
   16) $e^{x+1} - 6e^x + 8e^x \leq 0$

EXERCICE 16

Soit le polynôme $P(x)=x^3 - x^2 - 4x + 4$

    1) Calculer $P(1)$. Écrire $P(x)$ sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.
    2) Résoudre $P(x) = 0$.
    3) En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de chacune des équations
    
        a) $(\ln x)^3 - (\ln x)^2 - 4(\ln x) + 4 = 0$
        b) $e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 = 0$
        c) $e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 \geq 0$
    

EXERCICE 17

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$h(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4$

    1) Calculer $h(-2)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ :
    $h(x) = 0$ et $h(x) > 0$
    2) En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ :
    
        a) des équations
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0$ \\
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0$
        b) des inéquations
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0$ \\
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0$
    

EXERCICE 18

Résoudre les systèmes suivants

     
    $\begin{cases}         3e^x - 4e^y = -6 \\         2e^x + e^y = 7     \end{cases}$
     
    $\begin{cases}         xy = -15 \\         e^x e^y = e^{-2}     \end{cases}$
     
    $\begin{cases}         \ln x + \ln 4 = \ln 3 + \ln y \\         e^x = e^{x-2}     \end{cases}$

EXERCICE 19

    1) Développer l’expression
    $A = e^{x-2} - (x + 1)(x - 2)$
    2) Résoudre les équations suivantes
    
        A) $e^{3x} - 2e^{x+1} - e^x + 2 = 0$
        B) $e^{x+2} = e^{x^2 + 4x}$
    

EXERCICE 20

    1) Déterminer les racines du polynôme
    $P(x) = x^2 + 4x - 5$
    2) En déduire les solutions de l’équation
    $e^{2x} + 4e^x = 5$
    3) Résoudre les équations suivantes
    
        A) $e^{2x} + e^x - 2 = 0$
        B) $e^{2x+1} + e^{x+1} - 2e = 0$
        C) $e^x - 2e^{-x} + 1 = 0$
    

EXERCICE 21

Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes où $a$ représente un réel quelconque
$$A = \dfrac{e^{x}}{e^{x}}, \quad B = e^x (1 + 2e^{-x}), \quad C = \dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}}, \quad D = (e^x + e^{-x})^2$$
$$E = e^{2x} \cdot e^{-2x}, \quad F = e^{2x+1} \cdot e^{-2x}, \quad G = \dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}}, \quad H = \dfrac{e^{x+1}}{(e^x)^2}$$

EXERCICE 22

Démontrer que pour tout réel $x$, on a :

    1) $\dfrac{e^x-1}{e^{x+1}} = \dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
    2) $\dfrac{e^x-1}{e^{2x}} = e^{-x} - e^{-2x}$
    3) $\dfrac{e^{-x}+1}{1+e^x} = e^{-x}$

EXERCICE 23

Calculer la dérivée de la fonction $f$

    1) $f(x) = e^{x^2 - x}$
    2) $f(x) = e^{x^3 - 2x}$
    3) $f(x) = \dfrac{1-e^{-x}}{1-2e^x}$
    4) $f(x) = \dfrac{2e^x}{e^{x-1}}$

EXERCICE 24

Déterminer les limites suivantes

    1) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} + 1$
    2) $\lim\limits_{x \to 0} e^{-x} + 1$
    3) $\lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x} + 1$
    4) $\lim\limits_{x \to +\infty} xe^{x}$
    5) $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{-x}$
    6) $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x}$
    7) $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{e^{2x}-1}{e^{x}+1}$
    8) $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{1+e^x}$
    9) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x +\dfrac{1}{x}$
   10) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+e^{-2x}}$
   11) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x}+e^x + 1$
   12) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+1}{2x}$
   13) $\lim\limits_{x \to -\infty} (x^2 - 4x + 1)e^x$
   14)  $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x - x^2 - x$

EXERCICE 25

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = (1 - x)e^x + 1$

    1) Déterminer le domaine de définition de $f$ puis les limites aux bornes. Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
    2) Calculer la fonction dérivée de $f$, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$.
    3) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
    4) Déterminer la nature de la branche infinie de $C_f$ en $-\infty$.
    5) Tracer la courbe.

EXERCICE 26

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = e^{x^2 - 2x}$.

    1)Déterminer le domaine de définition de $f$ et les limites aux bornes.
    2)Calculer la fonction dérivée de $f$, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$.
    3)Déterminer l’équation de la tangente aux points d’abscisse $0$ et $2$.
    4)Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $f(x) = 1$.

EXERCICE 27

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$.

    1)Déterminer le domaine de définition de $f$.
    
        a) Calculer la limite de $f$ en $-\infty$. En déduire l’équation d’une asymptote à la courbe en $-\infty$.
        b) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire l’équation d’une deuxième asymptote à la courbe en $+\infty$.
        c) Calculer la fonction dérivée de $f$, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$.
    
    2) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
    3) Montrer que pour tout $x$ réel, $f(-x) = -f(x)$. Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ et pour sa courbe représentative ?

EXERCICE 28

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{2e^x - 1}{e^x - 1}$.

    1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = a + \frac{b}{e^x - 1}$.
    2) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ et étudier les limites aux bornes de cet ensemble de définition.
     
    
        a) Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
        b) Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
        c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    
    4)On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité 2 cm).
    
        a) Montrer que le point $A(0, 2)$ est un centre de symétrie pour $C$.
        b) Tracer $C$.
    

EXERCICE 29

Soit $f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$.

     Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
     Montrer que $f(x) + f(-x) = 0$. Conclure.
     Montrer que l’on peut écrire, pour $x \in D_f$, $f(x) = 1 + \frac{2}{e^x - 1}$.
     Dresser le tableau de variation et construire $C_f$ dans un repère orthonormé (unité 2 cm).

EXERCICE 30

Soit $f(x) = \frac{-1}{e^x - 1}$.

    1) Dresser le tableau de variation de $f$.
    2) Donner l’équation de la tangente à $f$ en $x_0 = 0$.
    3) Montrer que le point $(\ln 2, -1/2)$ est un centre de symétrie pour la courbe $C_f$.
    4) Tracer la courbe $C_f$.

EXERCICE 31

Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$$f(x) = x + \ln (2 - e^x)$$

    1) Résoudre l’inéquation $2 - e^x > 0$. En déduire le domaine de définition de $f$.
    2) Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $\ln 2$.
    3) Déterminer le tableau de variation de $f$.
    4)a)Montrer que pour tout $x$ de $D_f$,
    $$f(x) = x + \ln 2 + \ln (1 - e^x / 2)$$ .
       b) Montrer que la droite d’équation $y = x + \ln 2$ est une asymptote en $-\infty$ à la courbe $C_f$. Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
    5) Tracer la courbe $C_f$ dans un plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité 1 cm).

EXERCICE 32 (Bac L2 1999)

On considère la fonction numérique définie par $f(x) = \frac{1 - 2e^x}{1 + e^x}$. $C$ est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

A) Étude de la fonction $f$

    1)a) Déterminer son ensemble de définition.
      b)Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
      c)Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe.
      d)Dresser le tableau de variation.
    2)a) Démontrer que le point $(0, -1/2)$ est un centre de symétrie pour la courbe.
      b)Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $2e^{2x} - 5e^x + 2 = 0$.
      c)Déterminer l’équation de la tangente à $f$ au point d’abscisse $x_0 = 2$.
    3) Tracer la courbe $C$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité graphique 4 cm).

B) Calcul intégral}

    1) a) Vérifier que pour tout $x$ réel :
    $$f(x) = \frac{1 - 2e^x}{1 + e^x}$$ .
      b)En déduire les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    2) Déterminer l’aire en cm$^2$ du domaine plan délimité par $C$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x = \ln 3$.

EXERCICE 33 (Bac L2 2000)

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 2}$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité 2 cm).

     
    
    1) a) Quel est l’ensemble de définition de $f$ ?
        On le notera $D$.
       b)Calculer la limite de $f$ en $-\infty$. En déduire une asymptote à $C_f$.
       c)Vérifier que pour tout $x$ de $D$, $f(x) = \frac{1 + 2e^{-x}}{1 - 2e^{-x}}$.
       d)Démontrer que la droite d’équation $x = \ln 2$ est une asymptote verticale à la courbe $C_f$.
    
    2) Déterminer $f'(x)$, son signe et dresser le tableau de variation de $f$.
    3) Tracer la courbe $C_f$.
     
    
    4) a)Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x$ de $D$,
        $$f(x) = a + \frac{b}{e^x - 2}$$ .
        b) En déduire l’aire en cm$^2$ de la partie du plan comprise entre $C_f$, l’axe des abscisses, et les droites d’équation $x = 2$ et $x = 3$.

Correction des exercices