Série N°5 : dérivabilité - 1er L

Rappel du cours portant sur le nombre de dérivé
 
Soit f une fonction définie continue dans un voisinage de x0 contenant x0 , f est dérivable enx0
 
ssi : limxx0f(x)f(x0)xx0 est  finie 
 
Cette limite, notée f(x0), est appelée nombre dérivé de f en x0
 
Exercice 1
 
Nombre dérivé
 
Calculer le nombre de dérivé de f en x0 :
 
1. f(x)=3x2x0=0
 
2. f(x)=3x2+2x1x0=2
 
3. f(x)=x2x3x0=2
 
4. f(x)=5xx0=4
 
Exercice 2
 
Dérivé d'une fonction en un point
 
Étudie la dérivée de f en x0 :
 
1. f(x)=2x2x+1x0=2
 
2. f(x)=4x5x+1x0=1
 
3. f(x)=x23x+2x0=2 ;
 
4. f(x)=|x3|x0=3
 
5. f(x)=x+1x2x0=4
 
6. f(x)=2x+5x0=12
 
Rappel du cours portant sur la dérivée d'une fonction : constante ; linéaire et affine
 
La fonction f(x)=k (k est un nombre réel) a pour dérivé f(x)=0
 
La fonction f(x)=ax (a est un nombre réel) a pour dérivé f(x)=a
 
La fonction f(x)=ax+b (a et b sont des nombres réels) a pour dérivé f(x)=a
 
Exercice 3
 
Calcule de dérivé d'une fonction constante ; linéaire et affine.
 
Déterminer la fonction dérivée f de f
 
1. f(x)=4
 
2. (x)=12x
 
3. f(x)=4x+2 ;
 
4. f(x)=43x ;
 
5. f(x)=254 ;
 
6. f(x)=32x ;
 
7. f(x)=4x+8 ;
 
8. f(x)=157x ;
 
La fonction f(x)=xn (n est un nombre entier) a pour dérivé f(x)=nxn1
 
Exercice 4 
 
Calcule de la dérivée d'une fonction polynôme
 
Déterminer la fonction dérivée f de f
 
1. f(x)=x2+x1
 
2. f(x)=2x3x+6 ;
 
3. f(x)=x7 ;
 
4. f(x)=3x45x3+x2+3x1
 
5. f(x)=5x2+3x5 ;
 
6. f(x)=32x443x2+7x13x36 ;
 
7. f(x)=x7
 
La fonction f(x)=u×v a pour dérivé f(x)=uv+vu
 
Exercice 5
 
Calcule de la dérivée d'un produit
 
Déterminer la fonction dérivée f de f
 
1. f(x)=(x+1)(3x+1)
 
2. f(x)=(3x5)(2x21)
 
3. f(x)=(2x24x+6)(3x5)
 
4. f(x)=(2x+3)(x+5) 
 
5. f(x)=(23x5)(2x22x)
 
6. f(x)=(2x24x+6)(3x5)
 
La fonction f(x)=uv a pour dérivé f(x)=uvvuv2
 
Exercice 6
 
Calcule de la dérivée d'une fonction rationnelle
 
Déterminer la fonction dérivée f de f
 
1. f(x)=1x
 
2. f(x)=5x+2
 
3. f(x)=2x+1x2
 
4. f(x)=5x1x+4
 
5. f(x)=2x2+1x32
 
La fonction f(x)=un a pour dérivé f(x)=nuun1
 
Exercice 7
 
Calcule de dérivé d'une fonction puissance
 
1. f(x)=(x+3)2 
 
2. f(x)=(5x2)3
 
3. f(x)=\left(2x^{2}+5x-2)^{4}
 
4. f(x)=(27x)3
 
5. f(x)=(2x1x+1)2
 
6. f(x)=(25xx1)4
 
7. f(x)=(12x3)3
 
8. f(x)=(4x+35)4
 
surd La fonction f(x)=u a pour dérivé f(x)=u2u
 
Exercice 8
 
Calcule de dérivé d'une fonction irrationnelle
 
Exercice 9
 
« Dérivé d'une fonction irrationnelle »
 
Déterminer la fonction dérivée f de f
 
1. f(x)=x
 
2. f(x)=5x4
 
3. f(x)=x2+3x4
 
4. f(x)=3x12x+3
 
5. f(x)=2x
 
6. f(x)=34x25
 
7. f(x)=5x24x+2
 
8. f(x)=3x4x+3
 
L'équation de la tangente au point d'abscisse x0 est de : 
 
y=f(x0)(xx0)+f(x0)
 
Exercice 10
 
Déterminez l'équation de la tangente à la courbe (C) représentant la fonction f au point A d'abscisse xA dans les cas suivants :
 
a. f(x)=x2+3x12xA=5
 
b. f(x)=x33x+6xA=1
 
c. f(x)=x2+2x+3x0=1
 
d. f(x)=2x+1x2x0=3
 
e. f(x)=3x1x0=1
 
Exercice 11
 
Approfondissement
 
Déterminer la fonction dérivée de chacune des expressions suivantes
 
1. f(x)=15(3x32x+7)
 
2.  f(x)=3x22x+75
 
3. f(x)=(ax2+bx+c)(2x+5)
 
4. f(x)=xx2+x+1 
 
5. f(x)=(x+1)(32x)4x+2
 
6. f(x)=(2x+33x5)3
 
7. f(x)=x+3+4x2
 
8. f(x)=5x+42x
 
9 f(x)=5x245x2+3x
 

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C'est excellent

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