Série d'exercices : Droites remarquables 4e

Classe: 
Quatrième

Exercice 1

1) Construire un triangle $ABC$ quelconque.
 
2) a) Construire $(b_{2})$ bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ ; elle coupe $(BC)$ en $A'.$
 
b) Construire la droite $(b_{1})$ bissectrice de l'angle $\widehat{B}$ ; elle coupe $(AC)$ en $B'.$
 
3) a) $(b_{1})$ et $(b_{2})$ se coupent en $O$, marque $O.$
 
4) a) La droite perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $O$ coupe la droite $(AB)$ en $I.$
 
b) La droite perpendiculaire à $(BC)$ et passant par $O$ coupe la droite $(BC)$ en $J.$
 
c) La perpendiculaire à $(AC)$ et passant par $O$ coupe la droite $(AC)$ en $K.$
 
5) a) Démontrer que : $OI=OJ=OK.$
 
b) En déduire que $(b_{3})$ bissectrice de $\widehat{C}$ passe par $O.$
 
c) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les bissectrices.
 
d) Que représente le point $O$ pour le triangle $ABC\ ?$

Exercice 2

Construire un triangle $MNP$ tel que : 
 
$MN=6\;cm\;;\ NP=5\;cm$ et $MP=7\;cm.$
 
1) La bissectrice de l'angle $\widehat{M}$ coupe $[NP]$ en $E.$
 
2) La bissectrice de l'angle $\widehat{N}$ coupe $(ME)$ en $I.$
 
3) Démontrer que $(IP)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{MPN}.$

Exercice 3

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O\;,\ P$ est le milieu de $[OB].$

Les droites $(CP)$ et $(DA)$ se coupent en $R.$

$T$ est le symétrique de $R$ par rapport à $P$

Les droites $(RO)$ et $(DT)$ se coupent en $M.$
 
1) Faire une figure complète.
 
2) Montrer que $(DP)$ est une médiane de $RDT.$
 
3) Montrer que $DO=\dfrac{2}{3}DP$
 
4) Quel est le centre de gravité du triangle $RDT.$
 
5) Démontrer que $M$ est milieu du segment $[DT].$

Exercice 4

1) Construire un triangle $ABC$ tel que : 
 
$AB=5\;cm\;,\ AC=4\;cm$ et $BC=6\;cm.$
 
$I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC].$
 
2) Montrer que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles puis calculer $IJ.$
 
3) Les demi-droites $[BJ)$ et $[CJ)$ se coupent en $G.$
 
a) Que représentent les demi-droites $[BI)$ et $[CJ)$ pour le triangle $ABC\ ?$
 
b) Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC\ ?$
 
4) Soit $K$ le milieu du segment $[BC]$. Montrer que les points $A\;,\ G$ et $K$ sont alignés.
 
5) On donne $AK=3\;cm$. Calculer $AG$ et $GK.$

Exercice 5

1) Construire un triangle $ABC$ quelconque.
 
2) a) Construire la droite $(m_{1})$ médiatrice de $[AB].$
 
b) Construire la droite $(m_{2})$ médiatrice de $[BC].$
 
2) a)Les droites $(m_{1})$ et $(m_{2})$ se coupe en $O.$
 
3) a) Démontrer que : $OA=OB=OC.$
 
b) En déduire que la droite $(m_{3})$ médiatrice $[AC]$ passe par $O.$
 
c) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les médiatrices.
 
d) Que représente le point $O$ pour le triangle $ABC\ ?$

Exercice 6

1) Construire un triangle $ABC$ quelconque.
 
2) a) Construire $(AM)$ hauteur issue de $A.$
 
b) Construire la droite $(BN)$ hauteur issue de $B.$
 
3) a) Les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont sécantes.
 
b) Les deux droites $(AM)$ et $(BN)$ se coupent en $H$, placer le point $H.$
 
4) a) Construire la droite $(B'C')$ passant par $A$ et parallèle à $(BC).$
 
b) Construire la droite $(A'C')$ passant par $B$ et parallèle à $(AC).$
 
c) Construire la droite $(B'A')$ passant par $C$ et parallèle à $(AB).$
 
5) Démontrer que : les quadrilatères $ABCB'\;;\ BCAC'$ et $CABA'$ sont des parallélogrammes.
 
6) a) Démontrer que $(AH)$ est la médiatrice de $[B'C'].$
 
b) Démontrer que $(BH)$ est la médiatrice de $[A'C'].$
 
c) Démontrer que $(CH)$ est la troisième médiatrice du triangle $A'B'C'.$
 
7) a) Que représentent les médiatrices du triangle $ABC\ ?$
 
b) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les hauteurs du triangle.
 
c) Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$

Exercice 7

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $H.$ La perpendiculaire à $(DB)$ passant par $A$ et la La perpendiculaire à $(AC)$ passant par $B$ se coupent en $G.$
 
1) Faire une figure.
 
2) Que représente le point $H$ pour le triangle $AGB.$
 
3) Montrer que les droites $(GH)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
 
4) Montrer que les droites $(GH)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.

Exercice 8

Soit $ABC$ un triangle tel que : 
 
$AB=6\;cm\;;\ AC=7\;cm$ et $BC=8\;cm.$ 
 
Les points $L\;,\ M$ et $N$ sont les milieux respectifs des côtés $[BC]\;,\ [AB]$ et $[AC]$ d'un triangle $ABC.$
 
1) Faire une figure complète.
 
2) Démontrer que $MLCN$ est un parallélogramme. 
 
En déduire que : $AK=\dfrac{1}{2}AL$ puis $KG=\dfrac{1}{6}AL$

Exercice 9

Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $C.$ Les droites $(AD)$ et $(BE)$ se coupent en $F.$
 
1) Montrer que $B$ est le milieu du segment $[EF].$
 
2) Montrer que $A$ est le milieu du segment $[DF].$
 
3) Les droites $(FC)$ et $(DB)$ se coupent en $G.$ Démontrer que les points $A\;,\ G$ et $E$ sont alignés.

Exercice 10

1) Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=14\;cm\;,\ AC=10\;cm\text{ et }BC=12\;cm.$
 
2) Construis ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.
 
3) Place le point $G$ centre de gravité du triangle, le point $O$ centre du cercle circonscrit, le point $I$ centre du cercle inscrit et le point $H$ orthocentre du triangle.
 
4) Pour ce triangle $ABC$, construis les cercles circonscrit et inscrit.
 
5) Trace la droite qui passe par $O$ et $G.$ 
 
Vérifie qu'elle passe par $H.$

Exercice 11

Construis le triangle $ABC$ tel que : 
 
$AB=3.5\;cm=120^{\circ}\text{ et }BC=5\;cm.$
 
1) Trace en bleu la hauteur issue de $A$ et en vert la médiatrice du segment $[BC].$
 
2) Démontre que ces deux droites sont parallèles.

Exercice 12

$ABC$ est un triangle de centre de gravité $G.$
 
$E\;,\ D\text{ et }F$ sont les milieux respectifs de $[AC]\;,\ [AB]\text{ et }[BC].$
 
On donne : 
 
$AE=2\;cm\;,\ AG=3\;cm\;,\ GD=1\;cm\text{ et }BE=6\;cm.$
 
Calcule $AC\;,\ GF\;,\ GC\;,\ BG\text{ et }GE.$
 
Justifie.

Exercice 13

Sur la figure ci-contre, $\widehat{ABC}=64^{\circ}\text{ et }\widehat{ACB}=58^{\circ}.$
 
$(BE)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{B}$ et $(CD)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{C}.$
 
Les deux bissectrices se coupent en $I.$
 
Calcule la mesure des angles $\widehat{ACD}$, $\widehat{ADC}$, $\widehat{BIC}$, $\widehat{BAC}.$
 
Justifie.
 
 

Exercice 14

On donne un segment $[AK].$
 
Soit $J$ son milieu. 
 
Place un point $L$ n'appartenant pas à $(AK)$ tel que $JL=6\;cm.$
 
Place sur $[JL]$ le point $G$ tel que $LG=4\;cm.$ 
 
$(KG)$ coupe $(AL)$ en $I.$ 
 
Démontre que $I$ est le milieu de $[AL].$

Exercice 15

$MNP$ est un triangle isocèle en $M$, $K$ est le milieu de $[NP].$
 
Les bissectrices $(PZ)$ et $(NT)$ des angles $\widehat{MPN}$ et $\widehat{MNP}$ se coupent en $I.$ 
 
Démontre que $(MK)$ passe par $I.$

Exercice 16

$KELI$ est un parallélogramme de centre $O.$
 
1) Construis le point $M$ centre de gravité du triangle $KEI$ et le point $N$ centre de gravité du triangle $ILE.$
 
2) Démontre que les points $K$, $M$, $O$ et $N$ sont alignés.
 
3) Démontre que $KM=MN=NL.$

Exercice 17

1) Construis un segment $[UV]$ et sa médiatrice $(\Delta).$
 
Marque un point $K$ sur cette médiatrice, $K$ n'appartient pas à $[UV]$ et le point $M$ symétrique de $U$ par rapport à $K.$
 
2) Démontre que $K$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $MUV.$
 
3) La parallèle à $(UV)$ passant par $K$ coupe $(MV)$ en $J.$
 
Démontre que $(KJ)$ est la médiatrice du segment $[MV].$

Exercice 18

Trace un triangle $ABC.$
 
On appelle $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $C.$
 
1) Démontre que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
 
2) On appelle $I$ le milieu du segment $[BC].$ 
 
La droite $(AI)$ coupe $(DE)$ en $H.$
 
Démontre que $I$ est le milieu du segment $[AH].$
 
3) Démontre que les droites $(DC)$, $(AH)$ et $(BE)$ sont concourantes.

Exercice 19

Soit un parallélogramme $ABCD.$
 
Le point $E$ est le symétrique de $D$ par rapport à $C.$
 
Les droites $(AD)$ et $(BE)$ se coupent en $F.$
 
1) Montre que $B$ est le milieu de $[EF].$
 
2) Montre que $A$ est le milieu de $[DF].$
 
3) Les droites $(DB)$ et $(FC)$ se coupent en $G.$
 
Démontre que les points $E$, $G$ et $A$ sont alignés.

Exercice 20

1) Construis un triangle $EFG$ rectangle en $F.$
 
Place $K$ le milieu du segment $[EG].$
 
Trace la droite passant par $K$ et perpendiculaire à $(EF).$
 
Elle coupe $[EF]$ en $L.$
 
2) Démontre que $L$ est le milieu du segment $[EF].$
 
3) Les droites $(FK)$ et $(GL)$ se coupent en $M.$
 
Que représentent les droites $(FK)$ et $(GL)$ pour le triangle $EFG$ ?
 
Déduis-en que la droite $(EM)$ coupe le segment $[FG]$ en son milieu.

Exercice 21

$MIL$ est un triangle, $A$, $B$ et $C$ les milieux respectifs des cotés $[MI]$, $[IL]$ et $[ML].$ 
 
Soit $G$ son centre de gravité.
 
1) Démontre que le quadrilatère $MABC$ est un parallélogramme.
 
2) $(AC)$ et $(MB)$ se coupent en $J.$ 
 
Démontre que $J$ est le milieu de $[AC].$
 
3) Démontrer que $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC.$

Exercice 22

$PQR$ est un triangle.
 
1) Construis le point $M$ milieu de $[PQ]$ et le point $K$, symétrique de $P$ par rapport à $R.$ 
 
La droite $(KM)$ coupe le segment $[RQ]$ en $I$ et la droite $(PI)$ coupe $[KQ]$ en $N.$
 
2) Démontre que $N$ est le milieu du segment $[KQ].$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

 

Auteur: 
Diny Faye & adem

Commentaires

5

Bonjour j'ai besoin de la série et correction si possible: sldlldiallo91@gmail.com

Et moi j'ai besoin de la correction

Bonjour j'ai besoin de la correction de cette série

Correction

On a besoin la correction des exercices concernant les droites remarquables. svp

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