Série d'exercice sur les primitives et l'étude de fonctions 1e S

Exercice

Déterminer les primitives de la fonction $f$ puis celle qui s'annule en $(+2)$

préciser l'intervalle de définition

$1)\ f(x)=(x-1)(x-2)\;;\qquad 2)\ f(x)=4x^{4}-2x^{2}+5x$

$3)\ f(x)=x+\dfrac{1}{x^{2}}\;;\qquad 4)\ f(x)=(x+1)^{3}$

$5)\ f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{3}}\;;\qquad 6)\ f(x)=x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$7)\ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\;;\qquad 8)\ f(x)=(2x-1)(x^{2}-x)^{2}$

$9)\ f(x)=\dfrac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}\;;\qquad 10)\ f(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

$11)\ f(x)=\dfrac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}\;;\qquad 12)\ f(x)=3\sin\dfrac{\pi x}{2}$

$13)\ f(x)=\sin^{2}x\;;\qquad 14)\ f(x)=\sin3x+\cos(2x+3)$

$15)\ f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}\;;\qquad 16)\ f(x)=\sin^{2}x\cos x$

Exercice 1

Recherche d'asymptotes

Dans chacun des cas suivants :

Montrer que la droite $\mathcal{D}$ dont l'équation est donnée est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ de la
fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$

Étudier la positon relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.

$1)\ f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=3$

$2)\ f(x)=2x-1+\dfrac{1}{x-2}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=2x-1$

$3)\ f(x)=\dfrac{-x^{2}+2}{x+1}\qquad\mathcal{D}\ :\ -x+1$

$4)\ f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=x$

$5)\ f(x)=\dfrac{x+3}{x^{2}-4x}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=0$

$6)\ f(x)=\sqrt{x^{2}-x+3}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=x-\dfrac{1}{2}$

Exercice 2

Recherche d'asymptotes

Montrer que la courbe représentant le graphe de chacune des fonctions $f$ suivantes admet une asymptote non parallèle aux axes de coordonnées.

(il est recommandé d'étudier d'abord l'ensemble de définition de chaque fonction).

$1)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x+1}\;;\qquad 2)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-3x+3}{x}$

$3)\ f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x-5}{x+1}\;;\qquad 4)\ f(x)=\dfrac{6x^{2}+5x-6}{2x+3}$

$5)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+|x|+1}{|x|+2}\;;\qquad 6)\ f(x)=\left|\dfrac{2x^{2}-3x}{x-2}\right|$

$7)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}\;;\qquad 8)\ f(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\;;\qquad 9)\ f(x)=x+ \sqrt{x^{2}-1}$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants :

Montrer que la droite $\mathcal{D}$ dont l'équation est donnée est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ de la Fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.

$1)\ f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}\qquad \mathcal{D}\ :\ y=3$

$2\ f(x)=2x-1+\dfrac{1}{x-2}\qquad \mathcal{D}\ :\ y=2x-1$

$3)\ f(x)=\dfrac{-x^{2}+2}{x+1}\qquad \mathcal{D}\ :\ y=-x+1$

$4)\ f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\qquad \mathcal{D}\ :\ y=x$

$5)\ f(x)=\dfrac{x+3}{x^{2}-4x}\qquad \mathcal{D}\ :\ y=0$

$6)\ f(x)=\sqrt{x^{2}-x+3}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=x-\dfrac{1}{2}$

Étude de fonction

Exercice 1

a) Déterminer la fonction polynôme du second degré $f$ telle que

$$f(0)=4\;;\ f'(0)=3\;;\ f(1)=3$$

b) Étudier cette fonction.

Exercice 2

Soit la fonction :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x^{2}-1 &\text{si} &x<1 \\ \\ f(x) &=& \dfrac{x-2}{x+2} &\text{si} & x\geq 1 \end{array}\right.$$

1) Démontrer que $f$ est continue en 1

2) Calculer les limites aux bornes (Faites l'étude des branches infinies).

3) Étudier la dérivabilité de $f$ en 1.

4) Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente à droite à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ au point d'abscisse 1.

5) Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ sur $]-\infty\;;\ 1[$ et sur $]1\;;\ +\infty[$
 
6) Étudier le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\;;\ 1[$ et sur $(1\;;\ +\infty[$ puis dresser le tableau de variation.

7) Tracer $(\mathcal{C}_{f})$

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=x-1+\dfrac{2x}{x^{2}+1}$$

on désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

1) Étudier la fonction $f$ (limites, dérivée, sens de variation et tableau)

2) Montrer que $(\mathcal{D})\ :\ y=x-1$ est une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$

3) Montrer que $I(0\;;\ -1)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C})$

4) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ en $I$ puis préciser la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(T)$

5) Déterminer les points $A$ et $B$ de $(\mathcal{C})$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=x-2$

6) Montrer que pour tout réel $x\ :\ x-2\leq f(x)\leq x$

7) Tracer $(\mathcal{C})$, $(T)$ ainsi que les droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ d'équations $y=x-2$
et $y=x$

Exercice 4

1) Montrer que $1+x-\sqrt{x^{2}+1}=0\ \Longleftrightarrow\ x=0$

2) Soit $h\ :\ x\mapsto \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{1+x-\sqrt{x^{2}+1}}$

Préciser $D_{h}$ et déterminer les limites aux bornes de $D_{h}$

3) Déterminer les asymptotes de $(\mathcal{C}_{h})$ (On étudiera la position de $(\mathcal{C}_{h})$ par rapport à l'asymptote horizontale et l'asymptote oblique)

4) Étudier les variations de $h$ et dresser le tableau de variation de $h.$

5) Construire $(\mathcal{C}_{h})$ dans un repère orthonormé (unité : $1\;cm$)

Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\dfrac{1}{3}\left(x^{2}+x+\dfrac{1}{x}\right)\;;\ x\neq 0$$

1) Calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x\neq 0\;,\ f'(x)$ a même signe que $2x^{3}+x^{2}-1$
 
Pour trouver le signe de $f'(x)$, on étudie la fonction $g$ telle que : $$g(x)=2x^{3}+x^{2}-1$$

2) a) Étudier les variations de $g$

b) En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule $\alpha$ telle que $0.5<\alpha < 1$

Quel est le signe de $g(x)$ sur $]-\infty\;;\ \alpha]$ ? sur $]\alpha\;;\ +\infty[$ ?

3) Dresser le tableau de variation de $f.$

4) Notons $h$ la fonction définie par $h(x)=\dfrac{1}{3}(x^{2}+x)$

a) Étudier les limites de $f(x)-h(x)$ en $+\infty$ et $-\infty$.

Qu'en déduit-on pour les courbes $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{h})$ ?

b) Étudier la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $(\mathcal{C}_{h})$

5) Tracer $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{h})$ dans un même repère orthonormal (unité : $3\;cm$)

Exercice 6

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}$

On note $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x+1$

1) Déterminer $D_{f}$, puis calculer les limites aux bornes de $D_{f}$

2) Étudier la dérivabilité de $f$ en -2 puis en 0.

Que peut-on en déduire pour $(\mathcal{C}_{f})$ ?

3) Calculer $f'(x)$ pour $x<-2$ et pour $x>0$

4) Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x<-2$ et pour $x>0$

5) Dresser le tableau de variation de $f.$

6) Montrer que $\Delta$ est une asymptote oblique de $(\mathcal{C}_{f})$ au voisinage de $+\infty$

7) Déterminer l'autre asymptote oblique $\Delta'$ de $(\mathcal{C}_{f})$

8) Soit $f_{1}$ la restriction de $f$ à $]-\infty\;;\ -2]$

Montrer que $f_{1}$ est bijective de $]-\infty\;;\ -2]$ sur un intervalle $J$ à préciser.

9) Préciser $f_{1}^{-1}(x)$

10) Étudier la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $\Delta$ sur $[0\;;\ +\infty[$,

puis celle de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $\Delta'$ sur $]-\infty\;;\ -2]$

11) Construire $(\mathcal{C}_{f})$, $\Delta$, $\Delta'$

puis $(\mathcal{C}f_{1}^{-1})$ courbe de $f_{1}^{-1}$ dans un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

Étude des fonctions circulaires

Exercice 1

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points $x_{0}$ indiqués ou en $+\infty$

$1)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{x}{\sin x}\;(x_{0}=0)\qquad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\tan x}{x}\;(x_{0}=0)$

$2)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin x}{x}+\tan x\;(x_{0}=0)\quad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin3x}{2x}\;(x_{0}=0)$

$3)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{\tan2x}{5x}\;(x_{0}=0)\qquad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin3x}{\sin5x}\;(x_{0}=0)$

$4)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin 3x}{\tan 2x}\;(x_{0}=0)\qquad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}\;(x_{0}=0)$

$5)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin x-\tan x}{x^{3}}\;(x_{0}=0)\quad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin 2x-\sin x}{\sin 2x+\sin x}\;(x_{0}=0)$

$6)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{\tan 6x-\tan x}{1-2\sin x}\;\left(x_{0}=\dfrac{\pi}{6}\right)\quad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin 3x}{1-2\cos x}\;\left(x_{0}=\dfrac{\pi}{3}\right)$

$7)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{2\cos 2x-1}{\cos3x}\;\left(x_{0}=\dfrac{\pi}{6}\right)\quad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\tan x}{\sin2x-1}\;\left(x_{0}=\dfrac{\pi}{4}\right)$

$8)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{4}}\;\left(x_{0}=\dfrac{\pi}{4}\right)\quad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{\cos x-\sqrt{3}\sin x}{x-\dfrac{\pi}{6}}\;\left(x_{0}=\dfrac{\pi}{6}\right)$

$9)\ f\;:\;x\mapsto\dfrac{1+\cos x}{\sqrt{x}}\;(+\infty)\quad\text{et }g\;:\;x\mapsto\dfrac{x\sin x}{x^{2}+1}\;(+\infty)$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction $f$.

$1)\ f(x)=(1-x)\sqrt{2-3x}\;;\qquad 2)\ f(x)=3\sin x-5\cos x$

$3)\ f(x)=\tan x+x\;;\qquad 4)\ f(x)=\dfrac{2\sin x-1}{3\cos x+1}$

$5)\ f(x)=\dfrac{\cos2x+\sin3x }{\tan6x}\;;\qquad 6)\ f(x)=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

$7)\ f(x)=\dfrac{\cos x+x\sin x}{\sin x-x\cos x}\;;\qquad 8)\ f(x)=\dfrac{1-\tan^{2}x}{1+\tan^{2}x}$

Exercice 3

Étudier les fonctions suivantes et dessiner leurs courbes représentatives dans les intervalles précisés.

$1)\ f(x)=\dfrac{\cos 2x+1}{2\cos x-1}\;(\text{sur }[0\;;\ \pi])$

$2)\ f(x)=2\sin x+x\;(\text{sur }[0\;;\ \pi[)$

$3)\ f(x)=4\cos 2x-\cos 3x$

$4)\ f(x)=4\sin x+\dfrac{1}{\sin x-1}\;(\text{sur }[0\;;\ 2\pi[)$

$5)\ f(x)=\tan^{2}x-2\tan x\;(\text{sur }[0\;;\ \pi[)$

$6)\ f(x)=\sqrt{1-\sin x}\;(\text{sur }[0\;;\ 2\pi[)$

$7)\ f(x)=\dfrac{1+\sin x}{1-\cos x}\text{ intervalle à préciser}$

$8)\ f(x)=\cos x+x\sin x\ [-\pi\;;\ \pi]$

Exercice 4

Soit la fonction :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x^{2}-1 & \text{si} & x<1 \\ \\ f(x) &=& \dfrac{x-2}{x+2} & \text{si} & x\geq 1 \end{array}\right.$$

1) Démontrer que $f$ est continue en 1

2) Calculer les limites aux bornes (faites l'étude des branches infinies)

3) Étudier la dérivabilité de $f$ en 1.

4) Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente à droite à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ au point d'abscisse 1.

5) Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ sur $]-\infty\;;\ 1[$ et sur $(1\;;\ +\infty[$

6) Étudier le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\;;\ 1[$ et sur $(1\;;\ +\infty[$ puis dresser le
tableau de variation.

7) Tracer $(\mathcal{C}_{f})$

Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=x-1+\dfrac{2x}{x^{2}+1}$$

on désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

1) Étudier la fonction $f$ (limites, dérivée, sens de variation et tableau)

2) Montrer que $(\mathcal{D})\ :\ y=x-1$ est une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$

3) Montrer que $I(0\;;\ -1)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C})$

4) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ en $I$ puis préciser la position de $(C)$ par rapport à $(T)$

5) Déterminer les points $A$ et $B$ de $(\mathcal{C})$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=x-2$

6) Montrer que pour tout réel $x\ :\ x-2\leq f(x)\leq x$

7) Tracer $(\mathcal{C})$, $(T)$ ainsi que les droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ d'équations $y=x-2$ et $y=x$

Exercice 6

1) Montrer que $1+x-\sqrt{x^{2}+1}=0\ \Leftrightarrow\ x=0$

2) Soit $h\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{1+x-\sqrt{x^{2}+1}}$

Préciser $D_{h}$ et déterminer les limites aux bornes de $D_{h}$

3) Déterminer les asymptotes de $(\mathcal{C}_{h})$

(On étudiera la position de $(\mathcal{C}_{h})$ par rapport à l'asymptote horizontale et l'asymptote oblique)
 
4) Étudier les variations de $h$ et dresser le tableau de variation de $h.$

5) Construire $(\mathcal{C}_{h})$ dans un repère orthonormé (unité : $1\;cm$)

Exercice 7

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{1}{3}\left(x^{2}+x+\dfrac{1}{x}\right)\;;\ x\neq 0$

1) Calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x\neq 0\;,\ f'(x)$ a même signe que $2x^{3}+x^{2}-1$

Pour trouver le signe de $f'(x)$, on étudie la fonction $g$ telle que : $$g(x)=2x^{3}+x^{2}-1$$

2) a) Étudier les variations de $g$

b) En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule $\alpha$ telle que $0.5<\alpha<1$

Quel est le signe de $g(x)$ sur $]-\infty\;;\  \alpha]$ ? sur $]\alpha\;;\ +\infty[$ ?

3) Dresser le tableau de variation de $f$.

4) Notons $h$ la fonction définie par $h(x)=\dfrac{1}{3}(x^{2}+x)$

a) Étudier les limites de $f(x)-h(x)$ en $+\infty$ et $-\infty$.

Qu'en déduit-on pour les courbes $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{h})$ ?

b) Étudier la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $(\mathcal{C}_{h})$

5) Tracer $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{h})$ dans un même repère orthonormal (unité : $3\;cm$)

Exercice 8

On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}$$

On note $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x+1$

1) Déterminer $D_{f}$, puis calculer les limites aux bornes de $D_{f}$.

2) Étudier la dérivabilité de $f$ en -2 puis en 0.

Que peut-on en déduire pour $(\mathcal{C}_{f})$ ?

3) Calculer $f'(x)$ pour $x<-2$ et pour $x>0$

4) Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x<-2$ et pour $x>0$

5) Dresser le tableau de variation de $f.$

6) Montrer que $\Delta$ est une asymptote oblique de $(\mathcal{C}_{f})$ au voisinage de $+\infty$.

7) Déterminer l'autre asymptote oblique $\Delta'$ de $(\mathcal{C}_{f})$

8) Soit $f_{1}$ la restriction de $f$ à $]-\infty\;;\ -2]$
 
Montrer que $f_{1}$ est bijective de $]-\infty\;;\ -2]$ sur un intervalle $J$ à préciser.

9) Préciser $f_{1}^{-1}(x)$

10) Étudier la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $\Delta$ sur $[0\;;\ +\infty[$, puis celle de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $\Delta'$ sur $]-\infty\;;\ -2]$

11) Construire $(\mathcal{C}_{f})\;,\ \Delta\;,\ \Delta'$ puis $(\mathcal{C}_{f_{1}^{-1}})$ courbe de $f_{1}^{-1}$
dans un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$