Multiplication des nombres décimaux arithmétiques 6e

Classe: 
Sixième

I. Vocabulaire

Activité 1 :

Pour organiser une fête ; une $ASC$ loue $5$ bâches à $2\,500\;F$ l'unité.
 
Calculer le montant à payer de deux façons différentes.

Solution

$-\ $ Première façon : le montant à payer est de
 
$2\,500\;F+2\,500\;F+2\,500\;F+2\,500\;F+2\,500\;F=12\,500\;F$
 
$-\ $ Deuxième façon : le montant à payer est de
 
$2\,500\;F\times 5=12\,500\;F$
 
Donc, l'$ASC$ doit payer $12\,500\;F$ pour la location des $5$ bâches.

Activité 2 :

Moussa achète à la boutique $2.5\;Kg$ de sucre en raison de $650\;F$ le $Kg.$
 
Quel est le prix d'achat du sucre ?

Solution

Le prix d'achat du sucre est de :
 
$625\;F\times 2.5=1\,625\;F$
 
Le nombre $1\,625$ est le produit de $2.5\ $ et $\ 650.$
 
Les nombres $2.5\ $ et $\ 650$ sont les facteurs de l'opération (produit).
 
L'opération effectuée est la multiplication.
 
Le signe de la multiplication est $"\times"$
 
La multiplication dans $\mathfrak{D}$ est l'opération qui à deux décimaux $a$ et $b$ associe le produit noté $$a\times b\;\text{ ou }\;a.b\;\text{ ou encore }\;ab$$
 
$a\ $ et $\ b$ sont les facteurs et le produit est $a\times b$

Attention :

Il faut utiliser les écritures $ab$ ou $a.b$ lorsque les nombres sont inconnus ou variable.

Exemples :

$a\times x=a.x=ax\;;\quad a\times a=a.a=aa=a^{2}$
 
Par contre : $3\times 7=21\;;\quad 3.7=3,7 \;;\quad 37=\text{trente-sept}$

II. Propriétés

II.1 Commutativité

Activité :

Calculer de deux façons différentes les opérations suivantes : $4\times 25\;;\quad 42\times 0.9$

Solution

On a :
 
$4\times 25=100\ $ et $\ 25\times 4=100$
 
$42\times 0.9=37.8\ $ et $\ 0.9\times 42=37.8$

Énoncé :

Pour calculer un produit ;on peut changer l'ordre des deux facteurs sans modifier le résultat ; on dit que la multiplication est commutative.

II.2 Associativité

Activité 

Calculer de deux façons différentes les opérations suivantes : $50\times 8\times 3.4\;;\quad 15\times 5\times 10$

Solution

On a :
 
$50\times 8\times 3.4=1\,360$
 
$50\times 8\times 3.4=400\times 3.4=1\,360$
 
$15\times 5\times 10=750$
 
$15\times 5\times 10=75\times 10=750$

Énoncé :

Pour multiplier trois facteurs;on peut multiplier deux facteurs et le produit est multiplié par le $3^{e}$ facteur ; on dit que la multiplication est associative.

II.3 Rôle de zéro et de un

Énoncé :

Tout nombre multiplié par zéro a un produit nul; on dit que zéro est l'élément absorbant de la multiplication.

Exemple :

$17\times 0=0$

Énoncé :

Tout nombre multiplié par un a un produit égal à ce nombre lui-même ; on dit que un est l'élément neutre de la multiplication.

Exemple :

$12.5\times 1=12.5$

II.4 Distributivité

Activité 1

Complète puis compare :
 
$(5\times 7.5)+(5\times 8.5)\;;\quad 5\times(7.5+8.5)$

Solution

Complétons puis comparons
 
$\begin{array}{rcl}(5\times 7.5)+(5\times 8.5)&=&37.5+42.5\\\\&=&80\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl}5\times(7.5+8.5)&=&5\times 16\\\\&=&80\end{array}$
 
D'où, $(5\times 7.5)+(5\times 8.5)=5\times(7.5+8.5)$

Activité 2

Soit $ABCD$ un rectangle avec $a=3\;cm\;,\ b=5\;cm\ $ et $\ c=2\;cm.$
 
 
Pour calculer l'aire de $ABCD$ : 
 
Moussa propose : $3\times(5+2)$
 
Abdou propose : $(3\times 5)+(3\times 2)$
 
Calcul puis compare

Solution

Calculons puis comparons
 
Avec la proposition de Moussa, on a :
 
$\begin{array}{rcl}3\times(5+2)&=&3\times 7\\\\&=&21\end{array}$
 
Avec la proposition de Moussa, on a :
 
$\begin{array}{rcl}(3\times 5)+(3\times 2)&=&15+6\\\\&=&21\end{array}$
 
Donc, l'aire de $ABCD$ est égale à $21\;cm^{2}$
 
Par suite, $3\times(5+2)=(3\times 5)+(3\times 2)$
 
Ainsi, Moussa et Abdou obtiennent le même résultat.

Cas général :

Pour multiplier une somme par un nombre ; on peut multiplier chaque terme de la somme par ce nombre et additionner les produits obtenus : $$a\times(b+c)=(a\times b)=a\times b+a\times c$$
 
Pour multiplier une différence par un nombre ; on peut multiplier chaque terme de la différence par ce nombre et soustraire les produits obtenus : $$a\times(b-c)=(a\times b)-(a\times c)=a\times b-a\times c$$
 
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

Exercices d'application

Donner une autre écriture puis calculer
 
$a=(5.8-4.2)\times 2.5$
 
$b=3\times 100+3\times 2.5$
 
$c=5\times(25+7.8)$
 
$d=375\times 2-12.5\times 2$

Solution

Donnons une autre écriture puis calculons
 
On a : $a=(5.8-4.2)\times 2.5=5.8\times 2.5-4.2\times 2.5$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} a&=&5.8\times 2.5-4.2\times 2.5\\\\&=&14.5-10.5\\\\&=&4\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{a=4}$
 
Soit : $b=3\times 100+3\times 2.5=3\times(100+2.5)$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} b&=&3\times(100+2.5)\\\\&=&3\times 102.5\\\\&=&307.5\end{array}$
 
D'où, $\boxed{b=307.5}$
 
On a : $c=5\times(25+7.8)=5\times 25+5\times 7.8$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} c&=&5\times 25+5\times 7.8\\\\&=&125+39\\\\&=&164\end{array}$
 
D'où, $\boxed{c=164}$
 
Soit : $d=375\times 2-12.5\times 2=(375-12.5)\times 2$
 
Alors,
 
$\begin{array}{rcl} d&=&(375-12.5)\times 2\\\\&=&362.5\times 2\\\\&=&725\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{d=725}$

III. Puissances

III.1 Carré d'un nombre

Le produit de $a$ par $a$ noté $a^{2}$ est une puissance de deux
 
On lit : $a$ au carré ou $a$ à la puissance deux ou $a$ exposant deux

III.2 Cube d'un nombre

Le produit de $a^{3}$ est une puissance de trois.
 
On lit : $a$ au cube ou $a$ à la puissance trois ou $a$ exposant trois.

Exercice d'application 

Soit un bassin cubique dont les arêtes mesurent $5\;m$
 
Calculer sa surface de base, puis son volume

Solution

Comme le bassin a la forme d'un cube donc, sa base est un carré de côté $a=5\;m$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} \text{Surface de base}&=&a^{2}\\\\&=&5^{2}\\\\&=&25\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\text{Surface de base}=25\;m^{2}}$
 
Le volume de ce bassin est donné par :
 
$\begin{array}{rcl} \text{Volume}&=&a^{3}\\\\&=&5^{3}\\\\&=&125\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\text{Volume du bassin}=125\;m^{3}}$

 

 

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