Limites d'une fonction - 1er L

Classe: 
Première
 

N.B : 

Dans tout le cours les fonctions considérées sont des fonctions numériques d'une variable réelle.

I. Limite d'une fonction en un nombre réel

1. Limite finie d'une fonction en un nombre réel

a. Notion de limite finie en un nombre réel

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^{2}.$ 
 
Remplissons le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&1.999&1.9999&1.99999&2.0001&2.00001\\\hline f(x)&&&&&\\\hline \end{array}$$

Exploitation

D'après le tableau ci-dessus, on constate que si les valeurs de $x$ sont très proches de $2$ alors celles de $f(x)$ sont très proches de $4.$
 
On dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ est égale à $4.$ 
 
On note $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;2}f(x)=4$ et on lit $«$ limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ égale à $4.»$

b. Définition intuitive et notation

Si les valeurs de $x$ sont très proches d'un nombre réel $a$ et qu'alors celles de $f(x)$ sont très proches d'un nombre réel $l$, on dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est égale à $1.$ 
 
On note $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)=l$ et on lit : $«$ limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ égale à $l. »$
 
Nous admettons que lorsqu'une fonction admet une limite en un nombre réel alors celle ci est unique.

c. Propriété

Si $f$ est une fonction polynôme et si $a$ un nombre réel alors $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)=f(a).$

$\surd\ $Exemple

Soit $f$ telle que $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-x+7.$
 
Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1.$
 
Comme $f$ est une fonction polynôme alors $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-1}f(x)=f(-1).$
 
$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-1}f(x)=2(-1)-3+1+7=3.$

2. Limite infinie d'une fonction en un nombre réel

a. Limite à gauche, limite à droite d'une fonction en un nombre rée

Soit $f$, la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}.$ 
 
Remplissons le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&-0.001&-0.0001&-0.00001&-0.000001&0.001&0.0001&0.00001&0.000001 \\ \hline f(x)&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
 
En examinant les $4$ premières colonnes du tableau ci-dessus, on constate que si les valeurs de $x$ sont de plus en plus proches de $0$ mais en étant inférieures à $0$ alors celles de $f(x)$ sont très très grandes en valeurs absolues mais en étant négatives. 
 
On dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ à gauche est égale à $-\infty.$ 
On note $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;0^{-}}=-\infty$ et on lit : $«$ limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ moins égale moins l'infini. $»$
 
En examinant les $4$ dernières colonnes du tableau ci-dessus, on constate que si les valeurs de $x$ sont de plus en plus proches de $0$ mais en étant supérieures à $0$ alors celles de $f(x)$ sont très très grandes mais en étant positives. 
 
On dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ à droite est égale à $+\infty.$ 
 
On note $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;0^{-}}=+\infty$ et on lit : $«$ limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ plus égale plus l'infini. $»$

b. Définition intuitive et notation 

$\surd\ $Si les valeurs de $x$ sont de plus en plus proches d'un nombre réel a mais en étant inférieures à $a$ alors que celles de $f(x)$ sont très très grandes en valeur absolue, on dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ à gauche est infinie.
 
$\surd\ $Si les valeurs de $x$ sont de plus en plus proches d'un nombre réel $a$ mais en étant supérieures à $a$ alors que celles de $f(x)$ sont très très grandes en valeur absolue, on dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ à droite est infinie

c. Remarque

Si $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a^{+}}f(x)\neq\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a^{-}}f(x)$ alors $f$ n'admet pas de limite en $a.$
 
Si $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a^{+}}f(x)$ alors $f$ admet une limite en $a$ et on a : $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)=\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a^{+}}f(x)$

II. Limites d'une fonction à l'infini

1. Limite infinie d'une fonction à l'infini

a. Notion de limite infinie à l'infini

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^{2}.$ 
 
Remplissons le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&-1000000&-100000&-10000&-1000&1000&10000&100000&1000000\\\hline f(x)&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
 
En examinant les $4$ premières colonnes du tableau ci-dessus, on constate que si les valeurs de $x$ sont de plus en plus grandes en valeurs absolues en étant négatives alors celles de $f(x)$ sont de plus en plus grandes en étant positives. 
 
On dit que la limite de $f(x)$ lorsque x tend vers $-\infty$ est égale à $+\infty.$ 
 
On note $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}=+\infty.$ 
 
En examinant les $4$ dernières colonnes du tableau, on constate que si les valeurs de $x$ sont de plus en plus grandes en étant positives alors celles de $f(x)$ sont de plus en plus grandes en étant positives. 
 
On dit que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $+\infty.$ 
 
On note $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}f(x)=+\infty$

b. Définition intuitive et notation

Si les valeurs de $x$ sont de plus en plus grandes en étant positives alors que celles de $f(x)$ sont :
 
$\surd\ $de plus en plus grandes en valeurs absolues en étant négatives, on dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $-\infty.$ 
 
On note : $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}f(x)=-\infty$
 
$\surd\ $de plus en plus grandes en étant positives, on dit la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $+\infty.$ 
 
On note : $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}f(x)=+\infty$

c. Théorème

$\bullet\ $Si $n$ est un entier naturel quelconque alors $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}x^{n}=+\infty.$
 
$\bullet\ $Si $n$ est un entier naturel pair alors $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}x^{n}=+\infty.$
 
$\bullet\ $Si $n$ est un entier naturel impair alors $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}x^{n}=-\infty.$

Exemples

$\surd\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}x=+\infty\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}x^{2}=+\infty\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}x^{5}=+\infty$
 
$\surd\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}x=-\infty\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}x^{2}=+\infty\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}x^{5}=-\infty$

2. Limite finie d'une fonction à l'infini

a. Notion de limite finie à l'infini

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}.$
 
Remplissons le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline x&-100000&-10000&-1000&1000&10000&100000\\ \hline f(x)&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
 
En examinant les $3$ premières colonnes du tableau ci-dessus, on constate que si les valeurs de $x$ sont de plus en plus grandes en valeurs absolues en étant négatives alors celles de $f(x)$ sont de plus en plus proches de $0.$ 
 
On dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $0.$ 
 
On note $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;}f(x)=0.$
 
En examinant les $3$ dernières colonnes du tableau, on constate que si les valeurs de $x$ sont de plus en plus grandes en étant positives alors celles de $f(x)$ sont de plus en plus proches de $0.$ 
 
On dit que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $0.$ 
 
On note : $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}f(x)=0.$

b. Définition intuitive et notation

Si les valeurs de $x$ sont de plus en plus grandes en étant positives alors que celles de $f(x)$ sont de plus en plus proches d'un nombre réel $l$ alors on dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $l.$ 
 
On note : $\lim\limits_{x\;x\longrightarrow\;+\infty}f(x)=l$
 
Si les valeurs de $x$ sont de plus en plus grandes en valeurs absolues mais en étant négatives et qu'alors celles de $f(x)$ deviennent de plus en plus proches d'un nombre réel $l$ alors on dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $l.$ 
 
On note : $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}f(x)=l$
 
Nous admettons que lorsqu'une fonction admet une limite à l'infini alors celle-ci est unique.

c. Théorème

Si $n$ est un entier naturel quelconque alors $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;\infty}\dfrac{1}{x^{n}}=0$

Exemples

$\surd\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{x}=0\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0$
 
$\surd\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}\dfrac{1}{x}=0\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0$

III. Opérations sur les limites

Soient $f$ et $g$ des fonctions définies par $f(x)$ et $g(x)$, $l$, $l'$ et $a$ sont des nombres réels ou bien $a=\infty.$

1. Limites de la somme $f(x)+g(x)$

Pour calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)+g(x)$, il faut calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)$ et $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x).$
 
Le tableau ci-dessous donne dans chaque cas $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)+g(x)$ lorsque $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)$ et $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x)$ sont connues.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)&l&l&l&+\infty&-\infty&+\infty\\ \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x)&l'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\ \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)+g(x)&l+l'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&\text{Forme indéterminée}\\ \hline \end{array}$$
 
Une forme indéterminée signifie qu'on ne peut pas immédiatement donner la limite. 
 
Lorsqu'on a une forme indéterminée, on verra dans la suite, des méthodes pour trouver la limite.

2. Limites du produit de deux fonctions

a. Limites de $a\times f(x)$ où $a$ est un nombre réel constant.

Pour calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}a\times f(x)$, il faut calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x).$ 
 
Le tableau ci-dessous donne dans chaque cas $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}a\times f(x)$ lorsque  $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)$ est connue.
$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)&l&+\infty&-\infty\\ \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}a\times f(x)&a\times l&\left\lbrace\begin{array}{lcl} +\infty\text{ si }a&>&0\\-\infty\text{ si }a&<&0 \end{array}\right.& \left\lbrace\begin{array}{lcl} -\infty\text{ si }a&>&0\\+\infty\text{ si }a&<&0 \end{array}\right.\\\hline \end{array}$$

Exemples

$\surd\ $Calculons $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}2x^{2}\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}x^{2}=+\infty\text{ donc }\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}2x^{2}=+\infty$
 
$\surd\ $Calculons $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}-2x^{2}\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}x^{2}=+\infty\text{ donc }\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}-2x^{2}=-\infty$
 
$\surd\ $Calculons $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}2x^{3}\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}x^{3}=-\infty\text{ donc }\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}2x^{3}=-\infty$
 
$\surd\ $Calculons $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}-2x^{3}\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}x^{3}=-\infty\text{ donc }\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}-2x^{3}=+\infty$

b. Limites de $f(x)\times g(x)$

Pour calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)\times g(x)$, il faut calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)$ et $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x).$ 
 
Le tableau ci-dessous donne dans chaque cas $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)\times g(x)$ lorsque $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)$ et $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x)$ sont connues.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)&l&l>0&l>0&l<0&l<0&+\infty&+\infty&-\infty&0\\ \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x)&l'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty\\\hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)\times g(x)&l\times l'&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&+\infty&-\infty&+\infty&\text{Forme}\\&&&&&&&&&\text{indéterminé}\\\hline \end{array}$$

3. Limites du quotient de deux fonctions

a. Limites de $\dfrac{\alpha}{f(x)}$ où $\alpha$ est un réel constant.

Pour calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{\alpha}{f(x)}$, il faut calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x).$ 
 
Le tableau ci-dessous donne dans chaque cas $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{\alpha}{f(x)}$ lorsque $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x).$ est connue.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)&l\neq 0&\infty&0\\ \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{\alpha}{f(x)}&\dfrac{\alpha}{l}&0\left\lbrace\dfrac{R}{I}=0\right\rbrace&\infty\left\lbrace\dfrac{R}{0}\right\rbrace=I\\\hline \end{array}$$

Exemples

$\surd\ $Calculons $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;1}\dfrac{1}{2x+1}$
 
$\surd\ $Calculons $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{-2}{x}$

b. Limites de $\dfrac{f(x)}{g(x)}$

Pour calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ il faut calculer $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)$ et $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x).$ 
 
Le tableau ci-dessous donne dans chaque cas $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ lorsque $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)$ et $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x)$ sont connues.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}f(x)&l&l&l&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty&0&\infty\\ \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}g(x)&l'\neq 0&\infty&0&l'>0&l'<0&l'>0&l'<0&0&\infty\\ \hline \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{f(x)}{g(x)}&\dfrac{l}{l'}&0&\infty&+\infty&-\infty& \infty&+\infty&\text{Forme}&\text{Forme}\\ &&&&&&&&\text{indéterminé}&\text{indéterminé}\\ \hline \end{array}$$

Exemples

Calculons les limites suivantes :
 
$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;1}\dfrac{2x^{2}+x-2}{4x-5}$
 
$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}$
 
$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-1}\dfrac{3x^{2}+x-2}{x^{2}+3x+2}$

4. Théorèmes

a. Théorème 1

Si $c$ est un nombre réel constant et si $a$ est un nombre réel ou bien si $\alpha=\infty$ alors $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;\alpha}c=c$
 
Par exemple : $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;1}3=3\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}-3=-3\ ;\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}5=5$

b. Théorème 2

La limite à l'infini d'une fonction polynôme est égale à la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré.

Exemple

$\surd\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}2x^{3}-3x^{2}-x+7=\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}2x^{3}=+\infty$
 
$\surd\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}-2x^{3}-3x^{2}-x+7=\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}-2x^{3}=+\infty$

c. Théorème 3

La limite à l'infini d'une fraction rationnelle est égale à la limite à l'infini du rapport des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemple

$\surd\ \lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{x-3}=\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}\dfrac{2x^{2}}{x}=\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;-\infty}2x=-\infty$
 

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lun, 03/04/2024 - 23:31

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