Les nombres décimaux relatifs 6e

Classe: 
Sixième
Lorsqu'on observe les graduations d'un thermomètre,on constate que les nombres sont accompagnés soit  d'un signe $+$ (graduation qui sont au dessus de zéro) soit d'un signe $-$ (graduation qui sont en dessous de zéro).
 
Ces nombres qui sont précédés d'un signe $+$ ou $-$ sont des nombres relatifs.

I. Nombre décimal relatif

Activité :

1) Tracer une droite graduée d'origine $O$ et placer le point $I$ d'abscisse 1.
 
2) Placer les points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ et $E$ d'abscisses respectifs $(+3)\;,\ (+4)\;,\ (-2)\;,\ (-4)$ et $(+5).$
 
3) Prenant comme unité de mesure la longueur du segment $[OI]$, donner la distance des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$  et $ E$ au point $O.$
 
4) Que peut-on dire des abscisses des points situés à une même distance du point $O\;?$
 
5) Choisir deux nombres positifs et donner la position sur la droite graduée du plus petit par rapport au plus grand.
 
6) Cette observation est-elle valable pour d'autres choix.
 
$\centerdot\ \ $Les nombres décimaux précédés d'un signe $+$ sont des nombres décimaux relatifs positifs.
 
$\centerdot\ \ $Les nombres décimaux précédés d'un signe - sont des nombres décimaux relatifs.

Cas particulier :

Zéro est le seul nombre décimal relatif qui soit positif et négatif.
 
On n'écrit ni $+0$ ni $-0$ mais toujours 0.

II. Valeur absolue et nombres décimaux opposés

La valeur absolue d'un nombre décimal relatif est nombre décimal sans son signe.
 
On note la valeur absolue par deux traits verticaux.

Exemples :

$|+3|=3\;;\quad |-6|=6$
 
$\centerdot\ \ $Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont la même valeur absolue et de signe contraire.

Exemples :

$-6$ et $+6$

III. Ensembles $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{D}$

$$\left.\begin{array}{ll}\text{l'ensemble des nombres entiers naturels est noté }\mathbb{N}\\ \text{l'ensemble des nombres décimaux arithmétiques est noté } \mathfrak{D}\end{array}\right\rbrace\;\mathbb{N}\subset\mathfrak{D}$$
 
l'ensemble des nombres entiers relatifs est noté $\mathbb{Z}\;\Rightarrow\;\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$
 
l'ensemble des nombres décimaux relatifs est noté $\mathbb{D}\;\Rightarrow\;\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\;\text{ et }\;\mathfrak{D}\subset\mathbb{D}$

IV. Addition de deux nombres décimaux relatifs

Activité :

Mamadou établit le bilan de ses gains et pertes aux jeux de billes de la semaine.
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\text{Jours} & \text{Gains / Pertes} & \text{Calculs ou Opérations} & \text{Bilan}  \\ \hline\text{Lundi} & +2 &  & +2  \\ \hline \text{Mardi} & +5 & (+2)+(+5) & +7 \\ \hline\text{Mercredi} & -8 & ? & -1  \\ \hline\text{Jeudi} & -3 & ? & -4  \\ \hline\text{Vendredi} & +7 & ? & +3  \\ \hline\text{Samedi} & -4 & ? & ?  \\ \hline\text{Dimanche} & 0 & ? & ?  \\ \hline\end{array}$$
 
1) Représenter et complète le tableau
 
2) Quelle opération est effectuée pour déterminer le bilan le Mardi ?
 
3) Expliquer les calculs faits en utilisant la valeur absolue.
 
$\centerdot\ \ $Addition de deux nombres décimaux relatifs de même signe

Règle :

Pour additionner deux nombres décimaux relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et le signe des deux nombres.
 
$\centerdot\ \ $Addition de deux nombres décimaux relatifs de signes opposés

Règle :

Pour additionner deux nombres décimaux relatifs de signes opposés, on fait la différence de leurs valeurs absolues et le signe du résultat est le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

V. Soustraction de deux nombres décimaux relatifs

Règle :

Pour soustraire deux nombres décimaux relatifs,on ajoute au premier l'opposé du second.
 
$\centerdot\ \ $Addition et soustraction de nombres relatifs

Méthode :

Effectuer :
 
\begin{eqnarray} A&=&5+18-14+3-9\nonumber \\ &=&5+18+3-14-9\nonumber \\ &=&26-23\nonumber \\ &=&3\nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} B&=&(2-8)+(-15+4)\nonumber \\ &=&-6+(-11)\nonumber \\ &=&-6-11\nonumber \\ &=&-17\nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} C&=&-15-(7-18)+(14-16)\nonumber \\ &=&-15-(-11)+(-2)\nonumber \\ &=&-15+11-2\nonumber \\ &=&11-17\nonumber \\ &=&-6\nonumber \end{eqnarray}
 
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