Les nombres décimaux relatifs - 5e

Classe: 
Cinquième
 

I. Rappels

I.1. Les nombres entiers naturels

Les nombres entiers naturels sont les nombres qui nous servent à compter.
 
Exemples : $1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ldots\ldots\;;\ 100\ldots\text{etc}$
 
L'ensemble des entiers naturels se nomme $\mathbb{N}$

I.2. Les nombres entiers relatifs

Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers naturels précédés par un signe $(+)$ ou un signe $(-).$

Exemples :

$-20\;;\ 0\;;\ +100$
 
L'ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb{Z}$

Remarque 

Tout entier naturel est aussi un entier relatif ; c'est-à-dire
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$$

I.3. Les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre composé de deux parties : une partie entière (PE) et une partie décimale (PD), séparées par une virgule.

Exemples :

$\underbrace{1634}_{PE},\underbrace{28}_{PD}\;;\quad 260,20\;;\quad 5,3$

II. Les décimaux relatifs

II.1. Définition

Les nombres décimaux relatifs sont les nombres décimaux précédés par les signes $(+)$ ou $(-)$

Exemples :

$-0,5\;;\quad +10,4\;;\quad +20$
 
L'ensemble des décimaux relatifs se note $\mathbb{D}$

Remarque 

Tout entier relatif est un décimal relatif. On a finalement :
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$$
La partie entière comme la partie décimale d'un nombre décimal relatif peuvent être nulles.

II.2. Repérer des points sur une droite graduée par des décimaux relatifs

Sur une droite $(D)$ donnée, on demande de :
 
1) Placer les points $A\ $ et $\ B$
 
2) Graduer la droite $(D)$ en prenant $A$ comme origine et distance $A - B$ comme unité.
 
3) Placer le point $C$ tel que $A - C$ égale à $2,5\;cm$
 
4) Placer le point $E$ tel que $A$ soit le milieu de $[E - C]$
 
5) Quel est le nombre décimal associé à $E\ ?$

Solution


 

 
$-2,5$ est la valeur de $E$
 
Sur la droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse.

Exemples :

$0$ est l'abscisse du point $A$
 
$1$ est l'abscisse du point $B$
 
$2,5$ est l'abscisse du point $C$
 
$-2,5$ est l'abscisse du point $E$

II.3. Valeur absolue

Sur une droite graduée, la valeur absolue d'un nombre est la distance du point d'origine au point associé à ce nombre.
 
Pour le cas de l'exemple précédent :
 
$AC=+2,5=|+2,5|$
 
$AE=2,5=|-2,5|$
 
D'une manière générale, la valeur absolue du nombre $a$ se note $|a|$ et il est toujours plus grand que $0$ ; c'est-à-dire toujours positive.

Application

Sur une droite graduée, les points $E\;;\ F\;;\ G$ d'abscisses respectives $-5\;;\ -1\;;\ +2.5$
 
Placer les points $E\;;\ F\;;\ G$ puis calculer les distances $EF\;;\ FG\;;\ EG$

 

 
La distance $EF$ est de : $|+4|$
 
La distance $FG$ est de : $|+3,5|$
 
La distance $EG$ est de : $|+7,5|$

III. Comparaison des nombres décimaux

III.1. Nombres décimaux de signes différents

Si deux nombres décimaux relatifs sont de signes différents, le plus grand est celui qui a le signe positif.

Exemple :

$-5,2<+2,4$

III.2. Nombres décimaux relatifs positifs

$+5>+2$ évidence
 
$+1001<3005$

III.3. Nombres décimaux relatifs négatifs

$-10<-3$
 
$3<10$ donc, $-3$ est plus grand que $-10$
 
Si deux décimaux relatifs sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

Exemples :

$-7,5\;;\quad -139,4$
 
$|-7,5|=+7,5\ $ et $\ |-139,4|=139,4$
 
$7,5$ étant plus petit donc, $-7,5>-139,4$

Remarque

De deux nombres décimaux relatifs négatifs, le plus grand est celui étant plus proche de $0.$

Application

1) Ranger dans l'ordre croissant :
$$-102,5\;;\quad +7\;;\quad -15,2\;;\quad 0\;;\quad -2\;;\quad +3,4\;;\quad +4,6$$
1) Ranger dans l'ordre décroissant :
$$+13\;;\quad -2,7\;;\quad -5,3\;;\quad 0\;;\quad -100\;;\quad +18\;;\quad +46$$

Réponses

1) Je range dans l'ordre croissant
$$-102,5\;;\quad -15,2\;;\quad -2\;;\quad 0\;;\quad +3,4\;;\quad +4,6\;;\quad +7$$
1) Je range dans l'ordre décroissant
$$+46\;;\quad +18\;;\quad +13\;;\quad 0\;;\quad -2,7\;;\quad -5,3\;;\quad -100$$

Remarque

$-6\ $ et $\ +6$ sont des nombres opposés car ils ont la même valeur absolue mais des signes contraires.
 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

C'est un bon site

Merci beaucoup

Merci beaucoup

C'est un bon site parce qu'il me tout nécessaire

Bien mais pas d'exercice s

Très intéressant mais pas d'évaluation

POUR INFO IL Y A DES EXERCICES

C'est un très bon site j'y apprends beaucoup de chose je veux être doué en math pour devenir docteur

C'est un très bon math

Aucune balise HTML autorisee

j'apprends bien le math car je veux être un ingénieur

C'est vraiment intéressant

J'adore ce site c'est le meuilleur

c trop bien la leçon

c trop bien la leçon

Ajouter un commentaire