Généralités sur les fonctions numériques - 1er L
Classe:
Première
I. Fonction numérique d'une variable réelle
1. Définition
Une fonction numérique de la variable réelle $x$ notée $f$ est définie par une expression notée $f(x)$ donnée en fonction de $x.$
2. Exemples
$\surd\ $L'expression $f(x)$ donnée par $f(x)=2x^{3}+x^{2}-25x+12$ définie une fonction numérique de la variable réelle $x$ notée $f.$
$\surd\ $L'expression $g(x)$ donnée par $g(x)\dfrac{x-2}{3x+1}$
définie une fonction numérique de la variable réelle $x$ notée $g.$
3. Ensemble de définition d'une fonction numérique
a. Définition
Soit $f$ une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par l'expression $f(x).$
L'ensemble de définition de $f$ ou domaine de définition de $f$ notée $\mathcal{D}_{f}$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression $f(x)$ existe.
b. Ensemble de définition d'une fonction polynôme
Si $f$ est une fonction définie par une expression $f(x)$ qui est un polynôme alors l'ensemble de définition de $f$ est $\mathcal{D}_{f}=\mathbb{R}=]-\infty\ ;\ +\infty[$
$\surd\ $Exemple
Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=2x^{3}+x^{2}-25x+12.$
L'ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathcal{D}_{f}$
c. Fraction rationnelle
i. Définition et Exemple
On dit qu'une fonction $f$ est une fraction rationnelle si son expression $f(x)$ est donnée par un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
Par exemple, la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{3}-2x+1}{3x+1}$ est une fraction rationnelle.
ii. Ensemble de définition d'une fraction rationnelle
$\surd\ $Soit $f$ une fraction rationnelle.
L'ensemble de définition $\mathcal{DS}_{f}$ de $f$ est l'ensemble des nombres réels $x$ pour lesquels son dénominateur est différent de zéro autrement dit c'est l'ensemble de tous les nombres réels sauf les racines de son dénominateur.
$\surd\ $Exemples
Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=\dfrac{x^{3}-2x+1}{3x+1}.$
Déterminons $\mathcal{D}_{f}$, $f$ est une fraction rationnelle donc $f(x)$ existe $\Leftrightarrow\quad 3x+1\neq 0.$
Ainsi pour trouver $\mathcal{D}_{f}$, on peut chercher les racines de $3x+1$ c'est-à-dire les solutions de l'équation $3x+1=0$
$3x+1=0\ \Leftrightarrow\ 3x=-1\ \Leftrightarrow\ x=-\dfrac{1}{3}.$
Par suite $\mathcal{D}_{f}$ est l'ensemble de tous les nombres réels sauf $-\dfrac{1}{3}.$
Cet ensemble est noté $\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -\dfrac{1}{3}\right\rbrace$ et est égal à $\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{1}{3}\right[\bigcup\left]-\dfrac{1}{3}\ ;\ +\infty\right[.$
On a donc $\mathcal{D}_{f}=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{1}{3}\right[\bigcup\left]-\dfrac{1}{3}\ ;\ +\infty\right[.$
Exercice d'application :
Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
1. $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=\dfrac{4x-1}{-x+3}$
2. $g$ est la fonction définie par $g(x)=\dfrac{x^{4}}{x^{2}+x-6}$
II. Parité d'une fonction
1. Ensemble symétrique par rapport à zéro
a. Définition
Un ensemble de nombres réels est dit symétrique par rapport à zéro si à chaque fois qu'il contient un nombre réel alors il contient nécessairement son opposé.
b. Exemples et contre-exemples
$\surd\ \mathbb{R}=]-\infty\ ;\ +\infty[$ est symétrique par rapport à $0.$
$\surd\ \mathbb{R}\setminus{0}=]-\infty\ ;\ 0[\bigcup]0\ ;\ +\infty[$ est symétrique par rapport à zéro.
$\surd\ $Si $a$ est un nombre réel alors $\mathbb{R}\setminus{a\ ;\ -a}$ est symétrique par rapport à zéro.
Par exemple $\mathbb{R}\setminus{1\ ;\ -1}$ est symétrique par rapport à zéro.
$\surd\ $Si $a$ est un nombre réel différent de zéro alors $\mathbb{R}\setminus{a}$ n'est pas symétrique par rapport à zéro.
Par exemple $\mathbb{R}\setminus{-\dfrac{1}{2}}$ n'est pas symétrique par rapport à zéro.
$\surd\ $Si $a$ et $b$ sont des nombres réels qui ne sont pas opposés alors $\mathbb{R}\setminus{a\ ;\ b}$ n'est pas symétrique par rapport à zéro.
Par exemple $\mathbb{R}\setminus{0\ ;\ 1}$ n'est pas symétrique par rapport à zéro.
2. Fonction paire et fonction impaire
a. Fonction paire
$\surd\ $Une fonction $f$ est paire si son ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}$ est symétrique par rapport à zéro et si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathcal{D}_{f}.$
$\surd\ $Exemple :
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^{2}.$
Montrons que $f$ est une fonction paire.
$f$ est une fonction polynôme donc $\mathcal{D}_{f}=\mathbb{R}$ d'où $\mathcal{D}_{f}$ est symétrique par rapport à zéro.
Comparons maintenant $f(-x)$ et $f(x).$
Comme on connait déjà $f(x)$ alors calculons $f(-x).$
$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}$ donc $f(-x)=f(x).$
Par suite $f$ est une fonction paire.
b. Fonction impaire
$\surd\ $Une fonction $f$ est impaire si son ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}$ est symétrique par rapport à zéro et si $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in\mathcal{D}_{f}.$
Exemple :
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^{3}.$
Montrons que $f$ est une fonction impaire.
$f$ est une fonction polynôme donc $\mathcal{D}_{f}=\mathbb{R}$ d'où $\mathcal{D}_{f}$ est symétrique par rapport à zéro.
Comparons maintenant $f(-x)$ et $-f(x).$
Calculons d'abord $f(-x).$
On a : $f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}.$
Calculons ensuite $-f(x).$
On a : $-f(x)=-x^{3}.$
D'où $f(-x)=-f(x).$
Par suite $f$ est une fonction impaire.
c. Remarque
$\bullet\ $Si l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f$ n'est pas symétrique par rapport à zéro ou bien si $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq -f(x)$ alors $f$ n'est ni une fonction paire ni une fonction impaire.
$\bullet\ $Étudier la parité d'une fonction $f$, c'est étudier si la fonction $f$ est paire ou bien impaire.
d. Exercice d'application
Étudier la parité des fonctions définies ci-dessous :
1. $f(x)=\dfrac{x^{4}}{x^{2}-4}$
2. $g(x)=\dfrac{x^{3}-x}{x^{2}+1}$
3. $h(x)=\dfrac{3x-1}{x-3}$
Commentaires
Khadim Diaw (non vérifié)
mar, 01/31/2023 - 20:40
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