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Exercices : Théorème de Thalès 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1

Calculer $x$ dans les cas suivants :

Exercice 2

Dans les cas suivants, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont- elles parallèles ?

$1^{er}$ cas : $EA=\dfrac{1}{2}\;;\ EC=\dfrac{2}{3}\;;\ EB=3\;;\ ED=4$

$2^{ième}$ cas : $EA=2\;;\ EC=3.2\;;\ EB=4\;;\ ED=6$

Exercice 3

$ABCD$ est un trapèze de bases $(AB)\ $ et $\ (DC)$ ; $AB=3\;cm\;;\ BC=4\;cm\;;\ DC=5\;cm\ $ et $\ \widehat{BCD}=60^{\circ}.$

La parallèle à $(BC)$ passant par $A$ coupe $(BD)$ en $I\ $ et $\ (DC)$ en $M.$

1) Faire la figure.

2) Quelle est la nature du quadrilatère $ABCM$ ? En déduire $MC$ puis $AI.$

3) Soit $P$ un point de $[BC]$ tel que $PC=2.4$. Montrer que les droites $(MP)\ $ et $\ (DB)$ sont parallèles.

Exercice 4

On considère le triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6\ $ et $\ AC=8.$

1) Calculer $BC$

2) Le cercle de centre $B$ et de rayon 6 coupe $[BC]$ en $M.$

Soit $N$ un point du segment $[AB]$ tel que $AN=2.4.$

Démontrer que $(MN)\parallel(AC)$ puis calculer $MN.$

Exercice 5

$ABCD$ est un rectangle : $AB=4\;cm\;,\ BC=3\;cm$. $\ M$ est un point de $[AB]$ tel que $AM=2.5\;cm$. $\ (AC)\ $ et $\ (DM)$ se coupent en $I.$

1) Calculer $AC\ $ et $\ AI$.

2) $K$ est un point de $[CD]$ tel que $DK=1.6\;cm\ $ et $\ H$ un point de $[DA]$ tel que $AH=1.8\;cm$, démontre que $(HK)\parallel(AC).$

Exercice 6

On considère deux cercles $\mathcal{C}(O\;;\ 1.5)\ $ et $\ \mathcal{C'}(O'\;;\ 3)$ tangents extérieurement en $I$. $(\Delta)$ est une droite tangente à $(\mathcal{C})$ et à $(\mathcal{C'})$ respectivement en $A\ $ et $\ B$ $(A\neq B).$

La droite $(\Delta)$ coupe $(OO')$ en $P.$

1) Démontrer que $(OA)\parallel(O'B)$.

2) a) On pose $PO=x$ ; exprime $PO'$ en fonction de $x$ puis calcule $PO.$

b) En déduire la valeur exacte de $PA$.

c) Démontre que $PI=6$.

3) Soit $I'$ le point de $[AB]$ tel que $PI'=4\sqrt{2}$. Démontrer que $(OA)\parallel(II').$

Exercice 7

$ABCD$ est un carré.

$E$ est le point de $[AD]$ tel que $AE=\dfrac{1}{3}AD$.

$F$ est le point de $[AB]$ tel que $AF=\dfrac{1}{3}AB.$

1) Démontrer que les droites $(EF)$ et $(BD)$ sont parallèles.

2) a) Par quel nombre doit-on multiplier la longueur $BD$ pour obtenir la longueur $EF\ ?$ Justifie la réponse donnée.

b) Par quel nombre doit-on multiplier l'aire du triangle $ABD$ pour obtenir l'aire de $AEF\ ?$ Justifier.

Exercice 8

On donne trois points du plan $E\;,\ G\ $ et $\ H$ alignés dans cet ordre sur une droite $(d)$ tels que $EG=1\,cm$ et $EH=x.$

$x$ est un réel positif.

Sur une droite $(D)$ passant par $E$ et distincte de $(d)$, on prend deux points $M\ $ et $\ N$ tels que $(GM)\parallel(HN)$ et un point $F$ sur $(d)$ tel que $(FM)\parallel(GN).$

1) Faire la figure ; puis démontrer que $EG^{2}=EF\times EH.$

2) Calculer $EF$ en fonction de $x$.

Exercice 9

Construire un triangle $RTS$ tel que $RT=4\;cm\;;\ RS=7\;cm\;;\ ST= 5\;cm.$

1) Le triangle $RTS$ est-il rectangle ? Justifier.

2) Marque un point $M$ sur $[RS]$ tel que $RM=5\;cm$ puis tracer la droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(ST)$, elle coupe $(RT)$ en $N.$ Calculer $MN\ $ et $\ NT.$

3) On donne $MN=k\times TS\ $ et $\ \text{Aire}(RTS)=m\times \text{Aire}(RMN).$ Déterminer la valeur de $k$ puis la valeur de $m.$

Exercice 10

Soit le triangle $ABC$ tel que : $AB=5.2\;cm$, $BC=3.9\;cm\ $ et $\ AC=4.8\;cm.$

$M$ est le point du côté $[AB]$ tel que $AM=4\;cm.$

1) La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe le côté $[AC]$ en $N.$

Calcule la longueur $MN.$

2) La perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$ coupe $(MN)$ en $I\ $ et $\ (BC)$ en $J.$

Calcule $\dfrac{AI}{AJ}.$

3) Soit $A'$ un point de la parallèle à $(BC)$ passant par $A$, on appelle respectivement $M'$ et $N'$ les intersections de $(A'B)\ $ et $\ (A'C)$ avec la droite $(MN).$

a) Calcule $\dfrac{A'M'}{A'B}.$

b) Calcule $M'N'.$

Exercice 11

$ABC$ est un triangle $E$ est un point de la droite$(AB).$

La droite passant par $E$ et parallèle à la droite $(BC)$ coupe la droite $(AC)$ au point $F.$

La droite passant par $F$ et parallèle à la droite $(EC)$ coupe la droite $(AB)$ au point $H.$

Démontrer que $AE^{2}=AH\times AB.$

Exercice 12

$ABC$ est un triangle tel que $AB=7\;cm\;,\ BC=6\;cm\ $ et $\ AC=4\,cm.$

Soit $E$ le point de $[AC]$ tel que : $CE=3\;cm.$

La parallèle à $(AB)$ passant par $E$ coupe $[BC]$ en $F.$

Calculer $CF\ $ et $\ EF.$

Exercice 13

Dans le plan, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que : $AB=2\;cm\ $ et $\ BC=1\;cm.$

1) Faire une figure complète puis calculer $AC.$

2) On considère le point $D$, tel que : $B$ soit un point du segment $[AD]\ $ et $\ AD=8\;cm.$

3) a) Soit $E$ le point de la droite $(AC)$ dont la projection orthogonale sur $(AB)$ est le point $D.$

b) Montrer que les droites $(BC)\ $ et $\ (DE)$ sont parallèles.

c) Calculer les distances $AE\ $ et $\ DE.$

4) Calculer l'aire de $ABC$ et le coefficient $K$ de réduction des longueurs. En déduire l'aire de $ADE.$

Exercice 14

Soit $ABC$ un triangle tel que : $AB=10\,cm\;,\ AC=7.5\,cm\ $ et $\ BC=12.5\,cm.$

1) Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle en $A.$

2) Soit $E$ le point du segment $[AB]$ tel que $AE=2\,cm.$

La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $E$ coupe $(BC)$ au point $F.$

a) Montrer que $(AC)\ $ et $\ (EF)$ sont parallèles.

b) Calculer les distances $BE\;,\ EF\ $ et $\ BF.$

Exercice 15

1) Soit un cercle $(\zeta)$ de centre $O$ et de rayon $4\,cm\;,\ [AD]$ un de ses diamètres.

a) D'un côté de la droite $(AD)$, construire le point $G$ tel que le triangle $ADG$ soit équilatéral.

b) De l'autre côté de la droite $(AD)$, placer le point $B$ du cercle $(\zeta)$, tel que $AB=4\,cm.$

2) Démontrer que le triangle $OAB$ est équilatéral.

3) On admet que les angles $\widehat{OAB}\ $ et $\ \widehat{ADG}$ sont égaux. En déduire la position relative de $(AB)\ $ et $\ (DG).$

4) La droite $(BG)$ coupe le segment $[AD]$ en $I\ $ et $\ (\zeta)$ en $J.$ En utilisant le théorème de Thalès justifier que : $$\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{1}{2}$$

Exercice 16

Construire un rectangle $ABCD$ tel que : $AB=8\;cm\ $ et $\ AD=6\;cm.$ On désigne par $M$ un point $[AB]$ tel que $AM=x.$

Par $M$, on trace la parallèle à $(AC)$ qui coupe $(BC)$ en $N$ et la parallèle à $(BD)$ qui coupe $(AD)$ en $P.$

1) Calculer $AC$ puis exprimer $MN$ et $MP$ en fonction de $x.$

2) Montrer que $MN+MP$ est indépendant de $x.$

3) Pour quelles valeurs de $x$ à t-on $MN=MP.\ ?$

Exercice 17

1) Énonce dans ton cahier le théorème de Thalès.

2) Énonce dans ton cahier la réciproque du théorème de Thalès.

Exercice 18

Donne la ou les figures présentant deux triangles en position de Thalès.

$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

Exercice 19

Réponds par vrai ou faux :

1) $FEG$ est un triangle, $M\in[FE]\ $ et $\ N\in[FG]$ tels que :

$(MN)\parallel (EG)$, d'après la réciproque du théorème de Thalès, $\dfrac{FM}{FE}=\dfrac{FN}{FG}$

2) Si, $MAN$ est un triangle ; $M\;,\ I\;,\ A$ d'une part et $M\;,\ J\;,\ N$ d'autre part sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{MN}{MJ}$ alors, $(IJ)\parallel (AN).$

3) Si, deux triangles sont en position de Thalès alors, les supports de deux de leurs côtés sont parallèles.

4) $MNL\ $ et $\ MAB$ sont deux triangles tels que $(NL)\parallel (AB)$ alors $MNL\ $ et $\ MAB$ sont en position de Thalès.

5) Si $ABC$ est un triangle, $K\in[BC]$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $K$ coupe $(AC)$ en $J$ alors $CKJ\ $ et $\ CBA$ sont des triangles en position de Thalès.

Exercice 20

$ABCD$ est un trapèze rectangle tel que $AB=4\,cm$, $AD=3\,cm\ $ et $\ DC=6\,cm.$

1) Fais la figure en vraie grandeur que tu compléteras au fur et à mesure.

2) Calcule $BD\ $ et $\ AC.$

3) La perpendiculaire à la droite $(DC)$ passant par $B$ coupe $(DC)$ en $E.$

Montre que $BC=\sqrt{13}.$

4) Soit $F$ le point de la droite $(EB)$ n'appartenant pas à $[BE]$ tel que $EF=1.5\;cm.$

Démontre que $(CF)\ $ et $\ (DB)$ sont parallèles.

5) Calcule $FC$

Exercice 21

$\left(\Delta_{1}\right)\ $ et $\ \left(\Delta_{2}\right)$ sont deux droites sécantes en $O.$

$A\in\left(\Delta_{1}\right)\ $ et $\ B\in\left(\Delta_{1}\right)$ ,

$C\in\left(\Delta_{2}\right)\ $ et $\ D\in\left(\Delta_{2}\right)$ ;

$(AC)\parallel (BD)\ $ et $\ OA=4\;cm$ ,

$OB=10\;cm\ $ et $\ OC=5\;cm.$

a) Fais la figure.

b) Calcule $OD.$

c) $F\in\left(\Delta_{1}\right)$ et $E\in\left(\Delta_{2}\right)$ tel que : $OF=3\;cm$, $OE=4\;cm.$

Les droites $(EF)\ $ et $\ (AC)$ sont elles parallèles ?

Exercice 22

1) Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=4.5\;cm$, $AC=5\;cm\ $ et $\ BC=6\;cm.$

2) Place sur le segment $[BC]$ le point $P$ tel que $CP=3\;cm$ et sur le segment $[AC]$ le point $Q$ tel que $AQ=2.5\;cm.$

3) Démontre que les droites $(PQ)$ et $(AB)$ sont parallèles.

4) Place le point $R$ sur le segment $[BC]$ tel que $CR=4.5\;cm.$

La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $R$ coupe la droite $(AC)$ en $S.$

Calcule $CS\ $ et $\ RS.$

Exercice 23

Sur la figure ci-dessous,

$MO=7.5\;cm$, $OV=18\;cm$, $OS=1.5\;cm\ $ et $\ OR=3.6\;cm$, $RS=3\;cm.$

1) Montre que les droites $(MV)\ $ et $\ (RS)$ sont parallèles.

2) Calcule $VM.$

Exercice 24

Soient $F\;,\ A\ $ et $\ B$ trois points alignés dans cet ordre sur une droite $(\mathcal{D})$ tels que $FA=4\;cm\ $ et $\ AB=6\;cm.$

$(\mathcal{C})\ $ et $\ (\mathcal{C'})$ sont deux cercles de diamètres respectifs $[AB]\ $ et $\ [AF].$

Place un point $C$ sur le cercle $(\mathcal{C})$ tel que $BC=3\;cm.$

1) Donne en justifiant, la nature du triangle $ABC.$

2) Calcule la longueur $AC$

3) La droite $(AC)$ coupe le $(\mathcal{C'})$ en $E.$

a) Donne en justifiant, la nature du triangle $AEF$ puis démontre que $(BC)\parallel (EF).$

b) Calcule les longueurs $AE\ $ et $\ EF.$

Exercice 25

1) Construis un triangle $IJK$ rectangle en $I$ tel que : $IJ=4.5\;cm\ $ et $\ IK=6\;cm.$

2) Calcule $JK.$

3) Place le point $P\in[IJ]$ tel que $JP=3\;cm$, puis trace la parallèle à $(IK)$ passant par $P$ qui coupe $(JK)$ en $L.$

4) Calcule les distances $JL\ $ et $\ PL.$

5) Soit $A_{1}$ l'aire du triangle $IJK\ $ et $\ A_{2}$ celle du triangle $JPL.$

Montre que $\dfrac{A_{2}}{A_{1}}=\left(\dfrac{JI}{JP}\right)^{2}.$

6) Construis sur $[JI)$, le point $A$ tel que $JA=6\;cm$ puis sur $[KI)$ le point $B$ tel que $IB=2\;cm\ $ et $\ B\in[KI].$

7) Démontre que les droites $(PB)\ $ et $\ (KJ)$ sont parallèles.

Exercice 26

La figure ci-dessous donne le schéma d'une table à repasser.

Le segment $[AD]$ représente la planche.

Les segments $[AB]\ $ et $\ [EC]$ représentent les pieds.

Les droites $(AB)\ $ et $\ (EC)$ se coupent en $O.$

On donne :

$AD=125\;cm$ ;

$AC=100\;cm$ ;

$OA=60\;cm$ ;

$OB=72\;cm$ ;

$OE=60\;cm$ ;

$OC=50\;cm.$

1) Montre que la droite $(AC)$ est parallèle à $(EB).$

2) Calcule l'écartement $EB$ en $cm.$

3) Le triangle $EOB$ est-il rectangle ?

Justifie ta réponse.

Exercice 27

1) Construis le triangle $ABC$ tel que :

$AB=6\;cm$ ;

$AC=9\;cm$ ;

$BC=7\;cm.$

2) Construis le point $M$ de $[BC]$ tel que : $BM=\dfrac{2}{3}BC.$

3) La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N.$

a) Démontre que $\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{1}{3}$

b) Calcule $NC.$

4) Calcule $MN.$

5) La parallèle à $(BC)$ passant par $N$ coupe $(AB)$ en $F.$

La parallèle à $(BN)$ passant par $F$ coupe $(AC)$ en $G.$

Démontre que : $AN^{2}=AC\times AG.$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Cherif ba (non vérifié)

mar, 11/19/2019 - 16:35

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Solutions

C'est important cette iniative de sunudara. Bonne continuation. Merco beaucoup. Je demande juste de mettre les solutions sur les exercices si possible.