Exercices d'entrainement types du Bac : Intégration et Primitives
Classe:
Terminale
I. Primitives de fonctions - Calcul d'intégrales
Exercice 1
Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle donné dans chacun des cas :
1) $f(x)=\sin x\cos x\qquad \text{ sur }\mathbb{R}$
2) $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\qquad \text{ sur }]0;\ +\infty[$
3) $f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}\qquad \text{ sur }]1;\ +\infty[$
4) $f(x)=5\sqrt{x}+2\sqrt[5]{x}\qquad \text{ sur }\mathbb{R}_{+}^{*}$
5) $f(x)=(3x+3)(x^{2}+2x-3)^{4}\qquad \text{ sur }\mathbb{R}$
6) $f(x)=2\cos x+\dfrac{3}{x}\qquad \text{ sur }]0;\ +\infty[$
7) $f(x)=2\cos x+\dfrac{3}{x}\qquad \text{ sur }]-\infty;\ 0[$
8) $f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\qquad \text{ sur }]0;\ +\infty[$
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, calculer $$I=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$$
1) $f(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+2}\qquad a=0\text{ et }b=\ln 2$
2) $f(x)=(2x^{3}-3x+1)\mathrm{e}^{x}\qquad a=0\text{ et }b=1$
3) $f(x)=\dfrac{x^{3}}{4+\cos x}\qquad a=-2\text{ et }b=2$
4) $f(x)=|x-2|+2|x-1|\qquad a=0\text{ et }b=3$
5) $f(x)=\mathrm{e}^{2x}\sin x\qquad a=0\text{ et }b=1$
6) $f(x)=\dfrac{x^{3}+3x-1}{(x-1)^{4}}\qquad a=-1\text{ et }b=0$
7) $f(x)=(x^{2}+3x-4)\cos x\qquad a=1\text{ et }b=\pi$
8) $f(x)=\dfrac{1}{\sin 2x}\qquad a=\dfrac{\pi}{4}\text{ et }b=\dfrac{\pi}{3}$
9) $f(x)=4+\sqrt{-x^{2}+6x+16}\qquad a=-2\text{ et }b=8$
10) $f(x)=\sqrt{2x+1}\qquad a=0\text{ et }b=4$
Exercice 3
Calculer les intégrales $I$ et $J$ dans chacun des cas suivants :
a) $$I=\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\mathrm{d}x\;,\qquad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin 2x\cos 3x\mathrm{d}x$$
b) $$I=\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\mathrm{d}x\;,\qquad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\mathrm{d}x$$
c) $$I=\int_{0}^{\pi}\sin x\cos^{4}x\mathrm{d}x\;,\qquad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x$$
Exercice 4
On considère les intégrales : $$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{2}x}\;;\quad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{4}x}$$
1) Quelle est la dérivée de la fonction tangente ? En déduire $I.$
2) a) Soit la fonction $f$ définie sur $\left[0;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ par $f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}.$
Démontrer que $f$ est dérivable sur $\left[0;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et que, pour tout $x\in\left[0;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$, $f'(x)=\dfrac{3}{\cos^{4}x}-\dfrac{2}{\cos^{2}x}.$
b) Déduire du calcul précédent une relation entre $I$ et $J$, puis calculer $J.$
Exercice 5
On considère les fonctions $f\;,\ g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=x\;,\quad g(x)=\sqrt{x^{2}+1}\;,\quad \text{ et }\quad h(x)=x+\dfrac{1}{4}$$
1) Démontrer que pour tout $x\in[2;\ +\infty[\;,\ f(x)<g(x)<h(x).$
2) En déduire un encadrement de $$I=\int_{2}^{3}\sqrt{x^{2}+1}\mathrm{d}x$$
II. Intégration par parties
Exercice 1
Soit $a$ un réel strictement positif. On pose $$I(a)=\int_{1}^{a}\dfrac{\ln(x+1)}{x^{2}}\mathrm{d}x$$
1) En remarquant que, pour tout $x\in]0;\ +\infty[\;,\ \dfrac{1}{x(1+x)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$, calculer $I(a)$ à l'aide d'une intégration par parties.
2) Déterminer $$\lim_{a\rightarrow 0}I(a)$$
Exercice 2
Soit $\alpha$ un réel strictement positif.
1) On pose $$I(\alpha)=\int_{\alpha}^{1}\dfrac{1}{t^{2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{t}}\mathrm{d}t$$
Calculer $I(\alpha)$ en fonction de $\alpha$, puis $$\lim_{\alpha\rightarrow 0}I(\alpha)$$
2) On pose $$J(\alpha)=\int_{\alpha}^{1}\dfrac{1}{t^{3}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{t}}\mathrm{d}t$$
En utilisant une intégration par parties, exprimer $J(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ et $I(\alpha)$, puis en fonction de $\alpha$ et déterminer $$\lim_{\alpha\rightarrow 0}J(\alpha)$$
Exercice 3
Considérons les intégrales suivantes $$I=\int_{0}^{1}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+2}}\;,\quad J=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}\mathrm{d}x\;,\quad K=\int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+2}\mathrm{d}x$$
1) Calculer $I$
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;\ 1]$ par $f(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+2}).$
a) Calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto\ \sqrt{x^{2}+2}.$
b) En déduire la dérivée $f'$ de $f$.
c) Calculer la valeur de $I$
2) Calcul de $J$ et $K$
a) Sans calculer explicitement $J$ et $K$, vérifier que : $J+2I=K.$
b) A l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale $K$, montrer que : $K=\sqrt{3}-J$
c) En déduire les valeurs de $J$ et de $K$
Exercice 4
1) Soit l'intégrale : $$K=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\cos(2x)\mathrm{d}x$$
A l'aide de deux intégrations par parties successives, montrer que : $$K=\dfrac{\mathrm{e}^{\pi}-1}{5}$$
2) Soient $$I=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\cos^{2}x\mathrm{d}x\quad\text{ et }\quad J=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\sin^{2}x\mathrm{d}x$$
Calculer $I+J$ et $I-J$
En déduire les valeurs de $I$ et $J$
Exercice 5
1) Vérifier que pour tout réel $x\;,\ \dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$
2) Calculer la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $h$ définie sur $[0;\ 1]$ par $h(x)=\mathrm{e}^{x}\ln(1+\mathrm{e}^{x})$ et donner sa primitive sur $\mathbb{R}$ s'annulant en 0.
Exercice 6
On considère les fonctions $f\;,\ g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=x\;,\quad g(x)=\mathrm{e}^{-x}\;,\quad \text{ et }\quad h(x)=x\mathrm{e}^{-x}$$
Soit $I=[\ln 2;\ \ln 3]$
1) Calculer la valeur moyenne $m_{1}$ de la fonction $f$ sur $I.$
2) Calculer la valeur moyenne $m_{2}$ de la fonction $g$ sur $I.$
3) En utilisant une intégration par parties, calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $h$ sur $I.$
III. Calcul d'aire et de volume
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}\dfrac{1}{2}x^{2}+x\quad\text{ si }x &\leq & 0\\ \\ \sin(2x)\ \quad\text{ si }x &>& 0 \end{array}\right.$$
1) Montrer que $f$ possède une infinité de primitives sur $\mathbb{R}$ et donner celle qui s'annule en $\pi.$
2) Construire l'arc relatif à l'intervalle $[-2,\ \pi]$ de la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de $f$ dans le repère orthonormé direct $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ et calculer l'aire de la portion du plan délimitée par les droites d'équations $x=-2\;,\ x=\pi\;,\ y=0$ et par $(\mathcal{C}).$
Exercice 2
Soit $\mathfrak{R}_{1}$ la région du plan délimitée par la droite $\Delta$ d'équation $y=2x+2$, la courbe $(\mathcal{C})$ d'équation $y=2x+2-\dfrac{3\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ et le demi-plan d'inéquation $x\leq 0.$
Calculer l'aire de $\mathfrak{R}_{1}$ et représenter $\mathfrak{R}_{1}$ dans un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$
Exercice 3
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par :$$f(x)=\dfrac{x^{3}+2x}{x^{2}+x+1}-\ln x$$
1) Calculer les réels $a,\ b,\ c$ et $d$ tels que pour tout réel $x>0\;,\ f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^{2}+x+1}-\ln x.$
2) Soit $$u=\int_{1}^{4}\ln x\mathrm{d}x$$
Donner une interprétation géométrique de $u.$
Calculer le réel $u.$
3) En déduire l'aire $\mathcal{A}_{1}$ de la portion de plan $\mathbf{D}_{1}$, délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de $f$ dans le repère orthonormé direct $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$, l'axe des abscisses et la bande $1\leq x\leq 4.$
Représenter $\mathcal{A}_{1}$.
Exercice 4
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\mathrm{e}^{-x}.$
1) Faire une étude complète de $f$ (limites aux bornes et variations).
Le plan étant muni d'un repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$, on désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni de ce repère.
Tracer $(\mathcal{C})$.
2) Soit $a$ un réel strictement supérieur à 1.
a) Déterminer l'aire $\mathcal{A}(a)$ de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=1$ et la droite d'équation $x=a.$
b) Déterminer $$\lim_{a\rightarrow +\infty}\mathcal{A}(a)$$
Exercice 5
Soit la fonction $f$ définie sur $]0;\ +\infty[$ par $f(x)=x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x^{2}}.$
Soit $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans le repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$
$(\mathcal{C})$ admet une asymptote $D$ d'équation $y=x$, et pour $x>0.7$, $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $D.$
1) Au moyen d'une intégration par parties, calculer $$I=\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x$$
2) En déduire l'aire $\mathcal{A}$ de la portion du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $D$ et les parallèles à l'axe des ordonnées d'équations $x=1$ et $x=2.$
Exercice 6
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}$ et $g(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-x.$
Soit $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ respectivement dans un repère orthogonal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$
1) Donner une étude de $f$ et de $g.$
2) Représenter $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma).$
3) Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la portion de plan $\mathbf{D}$, délimitée par $(\mathcal{C})\;,\ (\Gamma)$ et la bande $0\leq x\leq 4.$
Exercice 7
1) Tracer dans un repère orthonormé du plan la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f\ :\ x\mapsto\sin^{2}x$ définie sur $[0,\ \pi].$
2) Montrer que pour tout réel $x\;,\ \sin^{4}x=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{8}\cos 4x.$
3) Calculer le volume engendré par rotation autour de l'axe des abscisses de la plaque $D\;,\ $ $D$ étant l'ensemble des points $M(x,\ y)$ tels que $0\leq x\leq\pi$ et $0\leq x\leq\sin^{2}x.$
IV. Suite d'intégrales
Exercice 1
$$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ I_{n}=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{\mathrm{e}^{x}+x+1}\mathrm{d}x$$
1) Montrer que la suite $(I_{n})$ est positive.
2) Montrer que la suite $(I_{n})$ est décroissante.
3) En déduire que la suite $(I_{n})$ converge et donner un encadrement de sa limite $I.$
4) Déterminer les extremums de la fonction $u\ :\ x\mapsto\mathrm{e}^{x}+x+1$ sur $[0,\ 1]$ et en déduire d'abord un encadrement de $I_{n}$ puis la valeur de $I.$
Exercice 2
Pour tout entier naturel non nul, on pose $$I_{n}=\int_{1}^{\mathrm{e}}x^{2}(\ln x)^{n}\mathrm{d}x$$
De plus, on pose $$I_{0}=\int_{1}^{\mathrm{e}}x^{2}\mathrm{d}x$$
1) Calculer $I_{0}.$
2) En utilisant une intégration par parties, calculer $I_{1}.$
3) L'affirmation "$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ $ le réel $I_{n}$ est positif" est-elle vraie ?
4) Démontrer que la suite $(I_{n})$ est décroissante.
5) a) En utilisant une intégration par parties, démontrer que $$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ 3I_{n+1}+(n+1)I_{n}=\mathrm{e}^{3}\qquad(\star)$$
b) En déduire les réels $I_{2}$ et $I_{3}.$
6) a) Déduire de l'égalité $(\star)$ que, $$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ I_{n}\leq\dfrac{\mathrm{e}^{3}}{n+1}$$
b) Déterminer $$\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}$$
Exercice 3
Soit la fonction $f$ définie sur $]0,\ +\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$
1) Démontrer que la fonction $h$ définie sur $]0,\ +\infty[$ par $h(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ est une primitive de $f$ sur $]0,\ +\infty[.$
2) Pour $n\in\mathbb{N}^{*}\;,$ on pose $$u_{n}=\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)\mathrm{d}x$$ Calculer $u_{n}$ et interpréter graphiquement le résultat.
3) Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$
Exercice 4
Pour tout entier naturel non nul $p$, on pose $$I_{p}=\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}}\dfrac{(\ln x)^{p}}{x^{2}}\mathrm{d}x$$
1) A l'aide d'une intégration par parties, calculer $$I_{1}=\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}}\dfrac{(\ln x)}{x^{2}}\mathrm{d}x$$
2) Prouver que $$\forall\;p\in\mathbb{N}^{*}\;,\ I_{p+1}=-\dfrac{2^{p+1}}{\mathrm{e}^{2}}+(p+1)I_{p}$$
3) En utilisant les résultats précédents, calculer successivement $I_{2}\;,\ I_{3}\;,\ I_{4}.$
V. Fonction définie par une intégrale
Exercice 1
Soit la fonction $G$ définie par : $$G(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}\mathrm{d}t$$
Montrer que :
a) $G$ est définie sur $\mathbb{R}$
b) $G$ est impaire et est bornée
c) $G$ est croissante
Exercice 2
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;\ +\infty[$ par $f(x)=(x+1)\ln x.$
$F$ désigne la primitive de $f$ sur $]0;\ +\infty[$ qui s'annule en 1.
On a donc : $$\text{pour tout }x\in]0;\ +\infty[\;,\ F(x)=\int_{1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$$
1) Quel est le signe de $F(x)$ suivant les valeurs de $x$ ?
2) Calculer $F(x)$ à l'aide d'une intégration par parties.
3) Déterminer les limites de $F$ en 0 et en $+\infty.$
Commentaires
Zazia (non vérifié)
ven, 02/18/2022 - 11:17
Permalien
Bien
Ajouter un commentaire