Devoir n°7 - Ts2

 

Une entreprise en matériel informatique fabrique des disquettes de 3.5 pouces. $4\%$ des disquettes fabriquées sont défectueuses.

 

A l'issue de cette fabrication, les disquettes sont contrôlées et triées en trois lots :

 

$-\ $ disquettes marquées, celles-ci portent la marque de l'entreprise ;

 

$-\ $ disquettes démarquées ;

 

$-\ $ disquettes à détruire.

 

1) L'unité de contrôle rejette $3\%$ des bonnes disquettes et $95\%$ des disquettes défectueuses.

 

a) Quelle est la probabilité $p_{1}$ pour qu'une disquette soit défectueuse et acceptée ?

 

b) Quelle est la probabilité $p_{2}$ pour qu'une disquette soit bonne et refusée ?

 

c) Quelle est la probabilité $p_{3}$ pour qu'il y ait erreur de contrôle ?

 

d) Montrer que la probabilité $p_{4}$ pour qu'une disquette soit acceptée est égale à 0.9332

 

2) Le contrôle s'effectue par cinq tests successifs.

 

Une disquette reçoit la marque de l'entreprise si elle subit avec succès cinq contrôles successifs, détruite si elle est refusée au moins deux fois, démarquée sinon.

 

a) Quelle est la probabilité $p_{5}$ pour qu'une disquette soit démarquée ?

 

b) Quelle est la probabilité $p_{6}$ pour qu'une disquette reçoive la marque de l'entreprise ?

 

c) Quelle est la probabilité $p_{7}$ pour qu'une disquette soit détruite ?

 

(Dans la question 2), les résultats seront donnés à $10^{-4}$ près).

A. On considère la fonction $g$ définie par : 

$$g(x)=\ln\left|1+\dfrac{1}{x}\right|-\dfrac{1}{x+1}$$

 

1) Étudier la dérivabilité de $g$ et en déduire les variations de $g.$

 

2) Soit $g_{1}$ la restriction de $g$ à l'intervalle $I=]-1\;;\ 0[.$

 

Démontrer que $g_{1}$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.

 

En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $a.$ 

 

(On ne cherchera pas à calculer $a$).

 

Montrer que $a>-\dfrac{1}{2}.$

 

3) Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.

 

4) Des résultats précédents, déduire le signe de $g(x)$ sur son ensemble de définition.

 

B. On considère la fonction $f$ définie par : 

$$f(x)=x\ln\left|1+\dfrac{1}{x}\right|$$

 

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en énonçant les théorèmes utilisés, puis vérifier que $f'(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus{-1\;;\ 0}.$

 

2) Étudier soigneusement les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition, puis dresser le tableau de variation de $f.$ 

 

Montrer que $f(a)=\dfrac{a}{1+a}.$

 

3) Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en 0.

 

Soit $F$ ce prolongement. 

 

Étudier la dérivabilité de $F$ en 0.

 

4) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}\text{ de }F$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan. $\mathcal{C}.$

 

1) On considère la suite $(U_{n})\,n\in\mathbb{N}^{\ast}$ définie par $U_{n}=\mathrm{e}^{f(n)}$ ;

 

Démontrer qu'elle est convergente de limite $\mathrm{e}.$

 

2) Vérifier que, pour tout $x$ strictement positif, et pour tout entier $n$, on a :

$$\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\;xf\left(\tfrac{n}{x}\right)}$$

 

3) Démontrer que pour tout $x\geq 0\;,\ \lim_{\;n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{x}.$

$$\text{Durée : 4h}$$