Devoir n°1 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice 1 (3 points)
Calculer les limites suivantes :
a) $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x+\cos^{2}x-2}{x}$
b) $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{3x^{2}+2x}-1}{x+1}$
Exercice 2 (6 points)
On considère les nombres complexes suivants : $z_{1}=\left(\dfrac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2}$ et $z_{2}=\dfrac{10+\mathrm{i}}{1-3\mathrm{i}}.$
1) Donner l'écriture algébrique de $z_{1}$ et $z_{2}.$
2) Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vérifiant :
a) $|z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
b) $|z-z_{1}|=|z_{1}|$
c) $\dfrac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\in\mathbb{R}$
Exercice 3 (11 points)
On considère la function $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{x^{3}-4}{x^{2}-1}.$
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Partie A
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-x^{3}+3x-8.$
1) Dresser le tableau de variation de g.
2) Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ unique tel que $g(\alpha)=0.$
Prouver alors que $\alpha\in\;]-2.5\;;\ -2.4[.$
3) Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$
Partie B
1) Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition .
2) a) Montrer que pour tout $x\in D_{f}\;,\ f'(x)=\dfrac{-xg(x)}{(x^{2}-1)^{2}}.$
b) Étudier alors le sens de variation de $f.$
c) Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha.$
d) Préciser les branches infinies de la courbe $\mathcal{C}.$
3) Tracer la courbe $\mathcal{C}.$
4) Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]1\;;\ +\infty[.$
a) Montrer que $h$ est une bijection de $]1\;;\ +\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.
b) Calculer $h(2)$, noté $y_{0}.$ En déduire $h'^{-1}(y_{0}).$
c) Construire dans le même repère la courbe de $h^{-1}$, notée $\mathcal{C}_{h^{-1}}.$
$$\text{Durée : 2 h}$$
Auteur:
Mouhamadou Ka
Commentaires
Grovogui (non vérifié)
mar, 07/14/2020 - 21:11
Permalien
Je vous remercie pour votre
Elisee N’guessan (non vérifié)
ven, 10/14/2022 - 01:52
Permalien
Je vous remercie pour le
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