Devoir n° 4 - 1e S2

 

Parmi les 5 affirmations suivantes, dire celles qui sont vraies et celles qui sont fausses. Si elles sont vraies, les démontrer, si elles sont fausses, donner un contre-exemple.

 

1) Si une fonction polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9.

 

2) Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.

 

3) La fonction polynôme $P$ définie par : $P(x)=x^{5}+x^{4}+7x+1$ n'a pas de racines positives.

 

4) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.

 

5) Si $\alpha$ est une racine de deux fonctions polynômes $R$ et $S\;$, alors $R(x)-S(x)$ est factorisable par $(x-\alpha).$

On considère la fonction polynôme $P$ définie par : $P(x)=x^{3}-5x^{2}+3x+1.$

 

On note $\alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma$ ses racines (si elles existent !)

 

1) Écrire en fonction de $\alpha\;,\ \beta$ et $\gamma$ la forme totalement factorisée de $P(x).$

 

2) Déterminer la valeur des expressions suivantes : $$\alpha+\beta+\gamma\;,\quad\alpha\beta\;,\ \beta\gamma\;,\ \gamma\alpha\;,\quad\alpha\beta\gamma\;,\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\;,\quad\text{et}\quad\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}$$

3) Sachant que $\alpha= 2-\sqrt{5}$ et $\beta=1\;$, calculer $\gamma.$

Soit le polynôme P défini par : $P(x)=6x^{3}+25x^{2}+3x-4.$

 

1) Montrer que $(-4)$ est racine de $P$ puis factoriser $P(x)$ en polynômes du premier degré.

 

2) Résoudre l'équation $P(x)=0.$

 

En déduire les solutions de l'équation : $$6(x^{2}-20)^{3}+25(x^{2}-20)^{2}+3(x^{2}-20)-4$$

 

3) Donner le domaine de définition de la fonction $g\ :\ x \longmapsto\sqrt{P(x)}.$

Soit le polynôme P défini par : $P(x)=3x^{3}+ax^{2}+bx-1.$

 

1) Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $P(x)$ soit divisible par $(x+1)^{2}$ puis factoriser $P(x).$

 

2) On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\dfrac{P(x)}{|x^{3}+1|-|P(x)|}$$

a) Déterminer l'ensemble de définition de $f.$

 

b) Simplifier $f(x)$ sur cet ensemble de définition.