Soit $ABC$ un triangle quelconque .

 

1) Construire les points $M$ et $N$ tels que : $$\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\ \text{ et }\ \overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$

2) Démontrer que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles .

 

3) Soient $S$ et $T$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[MN].$ Démontrer que les points $A\;,\ S$ et $T$ sont alignés.

On considère un parallélogramme $ABCD$. Les points $M$ et $N$ sont tels que : $$\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\ \text{ et }\ \overrightarrow{CN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$

1) Faire une figure.

 

2) Montrer que $BMDN$ est un parallélogramme.

 

3) Soit $E$ le point commun aux droites $(DM)$ et $(AC)$.

 

Soit $F$ le point commun aux droites $(BN)$ et $(AC)$.

 

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $$\overrightarrow{AE}=a\overrightarrow{AC}\ \text{ et }\ \overrightarrow{AF}=b\overrightarrow{AC}$$

Soit $ABC$ un triangle et un nombre $x$. A chaque valeur de $x\;$, on associe les points $E$ et $F$ tels que : $$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}\ \text{ et }\ \overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$

1) Faire une figure lorsque $x=-\dfrac{1}{2}$.

 

2) Démontrer que, quel que soit le nombre $x\;$, les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

 

3) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on :

 

$\centerdot\ E$ et $F$ confondus ? $\centerdot\ BCFE$ est un parallélogramme ?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

 

a) $|7-5x |>3\quad$ b) $|2x-3|\leq\dfrac{5}{2}\quad$ c) $\left|3-\dfrac{x}{2}\right|=\dfrac{x}{3}+6\quad$ d) $|x-3|\leq -2x+1$

1) a) Vérifier que pour tous réels strictement positifs $a$ et $x$ tels que : $a>x\;$, on a l'égalité : $$\dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\dfrac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{2}$$ 

b) En déduire que pour tous réels strictement positifs $a\;,\ m$ et $p$ tels que : $a>m>p\;$, on a : $$\dfrac{m}{\sqrt{a+m}-\sqrt{a-m}}<\dfrac{p}{\sqrt{a+p}-\sqrt{a-p}}$$ 

2) Simplifier l'expression : $$\dfrac{1}{(a+b)^{2}}\left(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}\right)+\dfrac{2}{(a+b)^{3}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$

N.B. Traiter au choix les exercices 4 ou 5.

 

$$\text{Durée : 2 h}$$