Devoir n° 26 - 2nd s

1) Résoudre les équations suivantes :

 

a) $(2x^{2}-2x\sqrt{5}+1)(-2x^{2}-9x+5)=0$ 

 

b) $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{5}{x^{2}-x-6}=\dfrac{5-2x}{x-3}$

 

2) Résoudre les inéquations suivantes :

 

a) $\dfrac{(x+1)(2x^{2}+x-1)}{-x^{2}+3x+10}\leq 0$

 

b) $\dfrac{3x^{2}-6x+4}{2x^{2}-x-1}>2$

 

3) Résoudre les systèmes suivants :

 

a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&5 \\ x+y&=&13\end{array}\right.$

 

b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}+x-1&>&0 \\ x^{2}-3x-10&<&0\end{array}\right.$

On considère l'équation suivante : $(E)\ :\ (m-1)x^{2}+3x-5=0\ (m$ paramètre réel).

 

1) Déterminer $m$ pour que l'équation :

 

a) n'admette aucune solution.

 

b) admette une solution double (qu'on déterminera).

 

c) admette deux solutions distinctes (qu'on calculera en fonction de $m).$

 

2) Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ les deux solutions de l'équation $(E).$

 

Déterminer $m$ pour que l'on ait $(4X_{1}+1)(4X_{2}+1)=-46.$

Soit $ABC$ un triangle. Soient $I$ et $J$ les points définis par : 

 

$\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

 

Les droites $(BJ)$ et $(CI)$ se coupent en $G.$ la droite $(AG)$ coupe $(BC)$ en $K.$

 

1) Faire une figure.

 

2) Trouver les réels $a\;,\ b$ et $c$ tels que $I$ soit le barycentre de $\{(A\;,\ a)(B\;,\ b)\}$ et $J$ le barycentre de $\{(A\;,\ a)(C\;,\ c)\}.$

 

3) Montrer que le barycentre du système $\{(A\;,\ a)(B\;,\ b)(C\;,\ c)\}$ est le point $G.$

 

En déduire que $K$ est le barycentre de $\{(B\;,\ b)(C\;,\ C)\}$ et donner la position de $K$ sur la droite $(BC).$

Soit $(\vec{i}\;,\ \vec{j})$ une base du plan , $\vec{U}$ et $\vec{V}$ deux vecteurs définis par leurs coordonnées respectives $(1\;,\ 1)$ et $(1\;,\ -1)$ dans la base $(\vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

1) Montrer que $(\vec{U}\;,\ \vec{V})$ est une base.

 

2) Exprimer $\vec{i}$ et $\vec{j}$ en fonction de $\vec{U}$ et $\vec{V}$.

 

3) Soit $\vec{W}$ le vecteur de coordonnées $(3\;,\ 1)$ dans la base $(\vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

Déterminer les coordonnées de $\vec{W}$ dans la base $(\vec{U}\;,\ \vec{V}).$

 

4) Soit $\vec{T}$ le vecteur de coordonnées $(x\;,\ y)$ dans la base $(\vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

a) Exprimer le vecteur $\vec{T}$ en fonction des nombres $x$ et $y$ et des vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}.$

 

b) Soit $(X\;,\ Y)$ les coordonnées du vecteur $\vec{T}$ dans la base $(\vec{U}\;,\ \vec{V}).$

 

Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y.$

On considère un trapèze $ABCD$ de côtés parallèles $[AB]$ et $[CD]$ tel que $DC=3AB.\ (AB=2\;cm)$

 

Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des cotés $[AB]$ et $[CD]\;,\ E$ le point d'intersection des diagonales $(AC)$ et $(BD)\;,\ F$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(BC).$

 

1) Justifier que $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})$ est un repère.

 

2) Quelles sont les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ I\;,\ J\;$ ?

 

3) Calculer les coordonnées des points $E$ et $F.$

 

4) Démontrer que les points $I\;,\ J\;,\ E$ et $F$ sont alignés.

Le plan est muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

Dans chacun des cas suivants, déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathfrak{D}.$

 

1) $\mathfrak{D}$ passe par $A(-1\;,\ 2)$ et $B(1\;,\ -4)$ 

 

2) $\mathfrak{D}$ passe par $C(1\;,\ 2)$ et a pour coefficient directeur $-3.$

 

3) $\mathfrak{D}$ passe par $A(3\;,\ -1)$ et est parallèle à la droite d'équation $7x-4y+3=0.$

 

 

 

$$\text{Durée : 4 h}$$