Devoir n° 26 1e S1

 

Soit $ABC$ un triangle. 

 

On pose : $AB=c\;,\ BC=a\text{ et }AC=b.$

 

I. On désigne par $I$ le point d'intersection de $(BC)$ avec la bissectrice de l'angle $\hat{A}.$

 

La droite parallèle à $(AI)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $D.$

 

1) Démontrer que $ACD$ est isocèle et que : $$\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{c}{b}$$

 

2) En déduire que les barycentres respectifs de $\{(B\;,\ b)(C\;,\ c)\}\ $ de $\ \{(A\;,\ a)(B\;,\ b)\}$ et de $\{(A\;,\ a)(C\;,\ c)\}.$

 

3) Démontrer que le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$ est le barycentre de $\{(A\;,\ a)(B\;,\ b)(C\;,\ c)\}.$

 

II. La bissectrice extérieure de l'angle $\hat{A}$ coupe la droite $(BC)$ en $K.$ La parallèle à $(AK)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $C'.$

 

1) Démontrer que le triangle $ACC'$ est isocèle.

 

2) Démontrer que $K$ est le barycentre de $\{(B\;,\ b)(C\;,\ -c )\}.$

 

III. On suppose que le triangle $ABC$ est non isocèle en $A.$

 

Les bissectrices des angles $B\ $ et $\ C$ coupent respectivement les côtés $[AB]\ $ et $\ [AC]$ en $I'\ $ et $\ J.$

 

Les droites $(I'J)\ $ et $\ (BC)$ se coupent en $K.$

 

1) Écrire $K$ comme barycentre des points $I'\ $ et $\ J$ , puis comme barycentre des points $B\ $ et $\ C.$

 

2) En déduire que $(AK)$ est la bissectrice extérieure de l'angle $\hat{A}.$ du triangle $ABC.$

Étudier les limites suivantes en $a$ :

 

1) $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{|x+2|}}-\dfrac{x}{\sqrt{|x+1|}}\quad a=-\infty$

 

2) $f(x)=x\sin\dfrac{1}{x}-2\dfrac{\sin x}{x}\quad a=+\infty$

 

3) $f(x)=\dfrac{1-\sin x-\cos x}{1-\sin x+\cos x}\quad a=\dfrac{\pi}{2}$

 

4) $f(x)=\dfrac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\tan x}\quad a=0$

Soit l'équation $x^{3}+3px+q=0\quad (1)$ dans laquelle $p\text{ et }q$ sont des nombres réels non nuls vérifiant $4p^{3}+q^{2}\leq 0.$

 

1) a) Soit $\lambda$ un nombre réel non nul.

 

Démontrer que les systèmes suivants sont équivalents :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x &=& \lambda\cos y\\ x^{3}+px+q&=&0 \end{array}\right.$$ et $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&\lambda\cos y\\ \cos^{3}y+3\dfrac{p} {\lambda^{2}}\cos y+\dfrac{q}{\lambda^{3}}&=&0 \end{array}\right.$$

 

b) En calculant $\cos(2y+y)$, démontrer que, pour tout nombre réel $y$,

$$\cos^{3}y=4\cos^{3}y-3\cos y$$

 

Posons $\lambda=2\sqrt{-p}$ (on peut remarquer que $4p^{3}+q^{2}\leq 0\text{ et }p\neq 0\Longrightarrow p<0).$

 

Démontrer qu'alors $\cos^{3}y+3\dfrac{p}{\lambda^{2}}\cos y+\dfrac{q}{\lambda^{3}}=0$ peut s'écrire : $\cos 3y=\dfrac{q}{2p\sqrt{-p}}.$

 

c) Démontrer que si $4p^{3}+q^{2}\leq 0$ , on a : $-1\leq\dfrac{q}{2p\sqrt{-p}}\leq 1.$ 

 

Soit $a$ un nombre réel vérifiant $\cos a=\dfrac{q}{2p\sqrt{-p}}.$

 

Résoudre l'équation d'inconnue $y\ :\ \cos 3y=\cos a$ (exprimer les solutions en fonction de $a$).

 

En déduire trois solutions de l'équation $x^{3}+3px+q=0.$

 

2) Applications numériques

 

a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^{3}-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{\sqrt{2}}{8}=0.$

 

En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}.$

 

b) Nous souhaitons résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $X^{3}+3X^{2}-6X+1=0$

 

Démontrer, en posant $X=x+c$ que cette équation peut se mettre sous la forme

 

$x^{3}+3px+q=0$ (où $c\;,\ p\text{ et }q$ sont trois réels à déterminer).

 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation obtenue.

 

En déduire les solutions de l'équation : $X^{3}+3X^{2}-6X+1=0.$

                                                                                             
$$\text{Durée 4h}$$