Devoir n° 21 - 1e S2

 

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

 

a) $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{-x}}{1-\sqrt{-x}}\quad$ b) $f(x)=\dfrac{\sqrt{-6x^{2}+13x+5}}{\sqrt{2x-3}}$ 

 

c) $f(x)=\dfrac{2x-3}{6x^{2}-|13x-5|}\quad$ d) $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|-x|}}$

Dans chacun des cas suivants, on demande de représenter, dans un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, la fonction considérée :

 

1) On sait que : a) $f$ est impaire 

 

b) si $x\in\;[0\;;\ 4]\;$, alors $f(x)=x.$

 

si $x\in\;]4\;;\ +\infty[\;$, alors $f(x)=4.$

 

2) On sait que : a) $f$ est paire 

 

b) si $x\in\;[0\;;\ 3[\;$, alors $f(x)=2.$

 

si $x\in\;[3\;;\ +\infty[\;$, alors $f(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$

 

3) On sait que : a) $f$ est paire 

 

b) $f$ est périodique, de période 2

 

c) si $x\in\;[0\;;\ 1]\;$, alors $f(x)=x.$

 

Tracer $\mathcal{C}$ sur l'intervalle $[-5\;;\ 5]$

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par : $$f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}\text{ et }g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$$ 

Déterminer $f\circ g\;,\ g\circ f\;,\ f\circ f$ et $g\circ g$ (domaine de définition et expression pour chaque fonction).

Soit $P(x)=6x^{3}+25x^{2}+3x-4.$

 

1) Vérifier que $(-4)$ est une racine de $P$ puis factoriser $P(x)$ en polynômes du 1er degré.

 

2) a) Résoudre l'équation $P(x)=0.$

 

b) En déduire les solutions de l'équation : $$6(x^{2}-20)^{3}+25(x^{2}-20)^{2}+3(x^{2}-20)-4=0$$

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $P(x)>0.$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

 

a) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{5-2x}=\sqrt{4x+7}\qquad$ b) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4}=3$

 

c) $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}>5x-1\qquad$ d) $\sqrt{4x^{2}-1}+4x<0$

Soient les fonctions $$\begin{array}{rcl} f\ :\ \mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ x&\mapsto&-|x| \end{array}\quad\text{et}\quad \begin{array}{rcl} g\ :\ \mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ x&\mapsto&\dfrac{-x^{2}}{|x|}\end{array}$$

1) $f$ et $g$ sont-elles égales ?

 

2) Déterminer la plus grande partie $E$ de $\mathbb{R}$ sur laquelle $f$ et $g$ ont la même restriction.

Dans chacun des cas suivants, établir que $\mathcal{C}_{f}$ , courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan, admet l'élément de symétrie indiqué :

 

1) $f(x)=\dfrac{x^{2}+4x+3}{2x^{2}+8x+9}$ axe de symétrie : $D\ :\ x=-2.$

 

2) $f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x^{2}+4x+6}$ centre de symétrie : $I(-2\;;\ 1).$

Soi $f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan.

 

1) Étudier la parité de $f.$ Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{f}$ ?

 

2) a) Montrer que : $\forall\;x\geq 0\;,\ f(x)\leq\dfrac{1}{2}$

 

b) Calculer $f(1).$ Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{f}$ ?

 

3) a) Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ deux réels positifs et distincts (c'est-à-dire : $x_{1}\geq 0\;;\ x_{2}\geq 0$ et $x_{1}\neq x_{2}).$

 

Soit $T(x_{1}\;,\ x_{2})$ le taux de variation de $f$ entre les réels $x_{1}$ et $x_{2}.$ Montrer que :

$$T(x_{1}\;,\ x_{2})=\dfrac{1-x_{1}x_{2}}{(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})}$$

Étudier son signe si $x_{1}$ et $x_{2}$ appartiennent à $[0\;;\ 1]\;$, puis s'ils appartiennent à $[1\;;\ +\infty[.$

 

b) En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0\;;\ 1]$ et sur $[1\;;\ +\infty[.$

 

c) En utilisant la parité de $f$, donner sans calcul le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\;;\ -1]$ et sur $[-1\;;\ 0].$

 

d) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-2\;;\ 2].$

 

e) Établir sur $\mathbb{R}^{*}$ la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ où $\mathcal{C}_{g}$ est la courbe représentative de la fonction $g\ :\ x\longmapsto\dfrac{1}{x}.$

 

 

$$\text{Durée : 4 h}$$