Devoir n° 18 - 2nd s

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1 

1) Étant donné un triangle $ABC\;$, construire les points $I\;,\ J$ et $K$ définis par :
$\centerdot\ I$ est barycentre de $\{(A\;,\ 2)(C\;,\ 1)\}$ 
 
$\centerdot\ J$ est barycentre de $\{(A\;,\ 1)(B\;,\ 2)\}$
 
$\centerdot\ K$ est barycentre de $\{(C\;,\ 1)(B\;,\ -4)\}$ 
 
2) Démontrer que $B$ est barycentre de $\{(K\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}.$
 
3) Quel est le barycentre de $\{(A\;,\ 2)(K\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}\;$ ?
 
4) Déduire du 3) que $I\;,\ J\;,\ K$ sont alignés et que $J$ est le milieu de $[IK].$
 
5) $L$ étant le milieu de $[CI]$ et $M$ celui de $[KC]\;$, démontrer que $IJML$ est un parallélogramme dont le centre $G$ est l'isobarycentre de $ABC.$

Exercice 2 

1) Résoudre les équations et inéquations suivantes :
 
a) $(4x^{2}-11x+31)^{2}=(x^{2}+x+19)^{2}$
 
b) $(x^{2}+3x+1)^{2}=3(x^{2}+3x+1)-2$ 
 
(Indication : on pourra poser $X=x^{2}+3x+1.)$
 
c) $\dfrac{(x^{2}+x-2)(-x^{2}-5x+6)}{x^{2}-36}\geq 0$
 
2) Soit l'équation $(m-2)x^{2}-2(m-5)x+m-15=0.$
 
Déterminer $m$ pour que l'équation :
 
a) n'ait pas de solution. 
 
b) ait deux solutions strictement négatives.
 
c) ait deux solutions strictement positives. 
 
d) ait deux solutions de signes contraires.

Exercice 3 

Soit un triangle $ABC$ et le point $D$ barycentre de $\{(A\;,\ -2)(B\;,\ 1)(C\;,\ 4)\}.$
 
1) Faire un schéma et placer le point $D.$
 
2) Soit $M$ un point quelconque du plan.
 
Exprimer $-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$ en fonction de $\overrightarrow{MD}.$
 
3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||$$ 
Indication : on pourra utiliser le centre de gravité $G$ du triangle $ABC.$

Exercice 4

Soit un trapèze convexe $ABCD$ de bases $[AB]$ et $[CD].$
 
Les diagonales se coupent en $I.$ On projette $I$ sur $(AB)$ en $A'$ parallèlement à $(AD)\;$, en $B'$ parallèlement à $(BC).$
 
1) Démontrer que $I$ a la même abscisse dans les repères $(D\;,\ B)$ et $(C\;,\ A).$
 
2) Démontrer que $A'$ et $B'$ ont la même abscisse respectivement dans les repères $(A\;,\ B)$ et $(B\;,\ A)$.
 
3) En déduire que $(A\;,\ B)$ et $(A'\;,\ B')$ ont même milieu.
 
Indication : on utilisera le fait que si un point $M$ a pour abscisse $t$ dans un repère $(P\;,\ Q)\;,\  (M\;,\ P\;,\ Q$ alignés) alors $t=\dfrac{\overline{PM}}{\overline{PQ}}.$
 
 
$$\text{Durée : 2 h}$$
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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