Devoir n° 12 - TL

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1 : 06 points

On considère le polynôme $P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-1$ ; où $a\ $ et $\ b$ sont deux nombres réels. 
 
I) Déterminer les nombres réels $a\ $ et $\ b$ pour que $-1\ $ et $\ 1$ soient racines de $P(x)$
 
II) Dans cette question on suppose que $a=1\ $ et $\ b=-2$
 
1) Montrer que $\dfrac{-1}{2}$est une racine de $P(x)$ en produit de facteurs du $1er$ degré.
 
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$
 
a) $P(x)=0$
 
b) $\dfrac{p(x)}{-x^{2}+6x-9}\geq 0$

Problème : 14 points

On considère la fonction numérique $f$ à variable réelle qui à tout $x$ associe $$f(x)=\dfrac{x^{2}-5x+15}{x-2}$$
1) a) Préciser le domaine de définition de la fonction $f$, calculer les limites aux bornes de $D_{f}.$
 
b) En déduire l'équation de l'asymptote obtenue.
 
2) a) Déterminer les réelles $a\;,\ b \text { et } c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}.$
 
b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-3$ est une asymptote oblique de la courbe représentative de la fonction $f$
 
c) Étudier la position de $(D)$ par rapport à la courbe de $f.$
 
3) a) Trouver les coordonnées du point d'intersection des asymptotes .
 
b) Montrer que le point $I(2\;,\ -1)$est un centre de symétrie pour la courbe $C_{f}.$
 
4) Déterminer les points d'intersection de la courbe de $f$ avec les axes de coordonnées.
 
5) a) Calculer $f'(x)$ puis étudier son signe.
 
b) Étudier le sens de variation de $f.$
 
c) Dresser le tableau de variation de $f.$
 
d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $-1.$
 
$$\text{Durée 3 heures}$$
Auteur: 
Diny Faye

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