Devoir n° 10 - 1e S1

Soit $P(x)=\dfrac{x(x-b)(x-c)}{a(a-b)(a-c)}+\dfrac{x(x-c)(x-a)}{b(b-c)(b-a)}+\dfrac{x(x-a)(x-b)}{c(c-a)(c-b)}$

 

Calculer $P(a)\;,\ P(b)\;,\ P(c).$ Simplifier $P(x).$

Soit $P(x)=2x^{4}-x^{3}-10x^{2}+3$

 

1) Déterminer un polynôme $Q(x)\;$, et un polynôme $R(x)$ du premier degré, tels que : $$P(x)=(x^{2}-2x-1)Q(x)+R(x)$$

2) En déduire le quotient et le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1-\sqrt{2}).$

 

3) Déterminer $P(1-\sqrt{2}).$

1) Déterminer les polynômes $f(x)$ de degré 2 vérifiant la relation : $$P(x)-P(x-1)=x^{2}+x$$ quel que soit $x\in\mathbb{R}.$

 

2) En déduire l'expression en fonction de $n$ de la somme $$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\ldots+n(n+1)$$

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=AC=5$ et $BC=6$ et soit $I=A^{*}B$

 

1) Calculer $AI$

 

2) Montrer que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=7$

 

3) Déterminer l'ensemble $E=\{M\text{ appartient à }\mathcal{P}\;;\ MA^{2}-3MI^{2}=44\}$

 

4) Soit $G$ le centre de gravité de $ABC.$

 

On pose $f\ :\ \mathcal{P}\rightarrow\mathbb{R}\;;\ M\mapsto f(M)$ tel que $f(M)=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{MG}.$

 

a) Calculer $f(A)$ et $f(C).$

 

b) Montrer que pour tout point $M$ du plan on a $f(M)=MG^{2}+f(G).$

 

c) Déterminer suivant le réel $a$ l'ensemble 

 

$F_{a}=\{M\text{ appartient à }\mathcal{P}\;;\ f(M)=a\}.$

On considère un triangle $ABC$ tel que $BC=8\;,\ AB=7$ et $AC=10.$

 

1) Calculer la longueur des médianes de ce triangle.

 

2) Calculer la mesure des angles de ce triangle.

 

3) Calculer l'aire de $ABC.$

Quels que soient $a\;,\ b\;,\ c\;$, réels dont la somme est $\pi$ (par exemple $a\;,\ b$ et peuvent être les mesures des angles géométriques d'un triangle $ABC)$, démontrer que, sous réserve de définition :

 

1) $\tan a+\tan b+\tan c=\tan a\tan b\tan c.$

 

2) $1-\cos a+\cos b+\cos c=4\sin\dfrac{a}{2}\cos\dfrac{b}{2}\cos\dfrac{c}{2}.$

 

3) $\sin 2a+\sin 2b+\sin 2c=4\sin a\sin b\sin c.$

Résoudre dans $]-\pi\;;\ \pi]$ puis représenter sur le cercle trigonométrique les solutions des équations suivantes :

 

1) $\left|\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)\right|=1$

 

2) $\sin^{2}\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos^{2}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

 

3) $\tan x\cot 2x=-1$

On cherche à résoudre l'équation : $$x^{3}+6x^{2}+9x+3=0\quad(1)$$

1) Calculer $\cos 3\alpha$ en fonction de $\cos\alpha.$

 

2) Poser $x=y+h$ dans l'équation (1). Que devient alors l'équation (1) ?

 

Déterminer h pour que cette nouvelle équation d'inconnue $y$ ne contienne plus de terme en $y^{2}$

 

Prouver que, dans ce cas, l'équation (1) équivaut à l'équation $$y^{3}-3y+1=0\quad (2)$$

3) Poser $y=kz$ dans l'équation (2). Que devient alors l'équation (2) ?

 

Déterminer $k$ pour que l'équation (2) soit équivalente à l'équation : $$4z^{3}-3z=-\dfrac{1}{2}\quad (3)$$

4) Effectuer la résolution de l'équation (3) en cherchant $z$ sous la forme $z=\cos\alpha.$

 

5) Donner les solutions de l'équation (1) ; puis en donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près par défaut.