Corrigé devoir n° 4 maths - 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 1

Mettons les expressions suivantes sous la forme de Puissances simples.
 
Soit : $A=(2\times 4\times 5)^{-3}\times((2\times 3)^{3})^{-2}\times 5^{-2}\times 2^{-2}$
 
Alors,
 
$\begin{array}{rcl} A&=&(2\times 4\times 5)^{-3}\times((2\times 3)^{3})^{-2}\times 5^{-2}\times 2^{-2}\\\\&=&(2\times 2^{2}\times 5)^{-3}\times((2\times 3)^{3})^{-2}\times 5^{-2}\times 2^{-2}\\\\&=&2^{-3}\times 2^{2\times(-3)}\times 5^{-3}\times(2^{3}\times 3^{3})^{-2}\times 5^{-2}\times 2^{-2}\\\\&=&2^{-3}\times 2^{-6}\times 5^{-3}\times 2^{3\times(-2)}\times 3^{3\times(-2)})\times 5^{-2}\times 2^{-2}\\\\&=&2^{-3}\times 2^{-6}\times 2^{-6}\times 2^{-2}\times 5^{-3}\times 5^{-2}\times 3^{-6}\\\\&=&2^{-3-6-6-2}\times 5^{-3-2}\times 3^{-6}\\\\&=&2^{-17}\times 5^{-5}\times 3^{-6}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{A=2^{-17}\times 5^{-5}\times 3^{-6}}$
 
Soit : $B=(7^{-3}\times 2^{4})^{-2}\times(7^{3})^{-2}\times 21\times 3$
 
Alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} B&=&(7^{-3}\times 2^{4})^{-2}\times(7^{3})^{-2}\times 21\times 3\\\\&=&7^{(-3)\times(-2)}\times 2^{4\times(-2)}\times 7^{3\times(-2)}\times 7\times 3\times 3\\\\&=&7^{6}\times 2^{-8}\times 7^{-6}\times 7\times 3^{2}\\\\&=&7^{6}\times 7^{-6}\times 7^{1}\times 2^{-8}\times 3^{2}\\\\&=&7^{6-6+1}\times 2^{-8}\times 3^{2}\\\\&=&7^{1}\times 2^{-8}\times 3^{2}\\\\&=&7\times 2^{-8}\times 3^{2}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{B=7\times 2^{-8}\times 3^{2}}$
 
Soit : $C=\dfrac{3^{-3}\times 5^{-2}\times(4^{-1})^{5}\times 3^{3}}{(5^{2})^{2}\times(4^{2}\times 3)^{3}}$
 
Alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{3^{-3}\times 5^{-2}\times(4^{-1})^{5}\times 3^{3}}{(5^{2})^{2}\times(4^{2}\times 3)^{3}}\\\\&=&\dfrac{3^{-3}\times 5^{-2}\times(2^{-2})^{5}\times 3^{3}}{(5^{2})^{2}\times(2^{4}\times 3)^{3}}\\\\&=&\dfrac{3^{-3}\times 5^{-2}\times 2^{(-2)\times 5}\times 3^{3}}{5^{2\times 2}\times 2^{4\times 3}\times 3^{3}}\\\\&=&\dfrac{3^{-3}\times 5^{-2}\times 4^{-5}\times 3^{3}}{5^{4}\times 4^{6}\times 3^{3}}\\\\&=&3^{-3}\times 5^{-2}\times 2^{-10}\times 3^{3}\times 5^{-4}\times 2^{-12}\times 3^{-3}\\\\&=&3^{-3}\times 3^{3}\times 3^{-3}\times 5^{-2}\times 5^{-4}\times 2^{-10}\times 2^{-12}\\\\&=&3^{-3+3-3}\times 5^{-2-4}\times 2^{-10-12}\\\\&=&3^{3}\times 5^{-6}\times 2^{-22}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{C=3^{3}\times 5^{-6}\times 2^{-22}}$
 
Soit : $D=\dfrac{3^{2}\times 9^{-2}\times 0.25\times(5^{-1})^{-3}\times 7^{-3}}{(7^{2})^{-5}\times(9^{4}\times 3\times 5)^{-3}}$
 
Alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{3^{2}\times 9^{-2}\times 0.25\times(5^{-1})^{-3}\times 7^{-3}}{(7^{2})^{-5}\times(9^{4}\times 3\times 5)^{-3}}\\\\&=&\dfrac{3^{2}\times(3^{2})^{-2}\times\dfrac{1}{4}\times 5^{(-1)\times(-3)}\times 7^{-3}}{7^{2\times(-5)}\times((3^{2})^{4}\times 3\times 5)^{-3}}\\\\&=&\dfrac{3^{2}\times 3^{-4}\times 2^{-2}\times 5^{3}\times 7^{-3}}{7^{-10}\times 3^{2\times 4\times(-3)}\times 3^{-3}\times 5^{-3}}\\\\&=&\dfrac{3^{2}\times 3^{-4}\times 2^{-2}\times 5^{3}\times 7^{-3}}{7^{-10}\times 3^{-24}\times 3^{-3}\times 5^{-3}}\\\\&=&3^{2}\times 3^{-4}\times 2^{-2}\times 5^{3}\times 7^{-3}\times 7^{10}\times 3^{24}\times 3^{3}\times 5^{3}\\\\&=&3^{2}\times 3^{-4}\times 3^{3}\times 3^{24}\times 2^{-2}\times 7^{-3}\times 7^{10}\times 5^{3}\times 5^{3}\\\\&=&3^{2-4+3+24}\times 2^{-2}\times 7^{-3+10}\times 5^{3+3}\\\\&=&3^{25}\times 2^{-2}\times 7^{7}\times 5^{6}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{D=3^{25}\times 2^{-2}\times 7^{7}\times 5^{6}}$

Exercice 2

Soit les expressions suivantes :
 
$A=(x+2)(3x-3)-(x^{2}-4)\ $ et $\ B=(4x^{2}+16x+16)-25$
 
1) Factorisons $A\ $ et $\ B$
 
$\begin{array}{rcl} A&=&(x+2)(3x-3)-(x^{2}-4)\\\\&=&(x+2)(3x-3)-(x-2)(x+2)\\\\&=&(x+2)[(3x-3)-(x-2)]\\\\&=&(x+2)(3x-3-x+2)\\\\&=&(x+2)(2x-1)\end{array}$
 
Donc, $\boxed{A=(x+2)(2x-1)}$
 
$\begin{array}{rcl} B&=&(4x^{2}+16x+16)-25\\\\&=&(2x+4)^{2}-25\\\\&=&(2x+4)^{2}-5^{2}\\\\&=&[(2x+4)-5][(2x+4)+5]\\\\&=&(2x+4-5)(2x+4+5)\\\\&=&(2x-1)(2x+9)\end{array}$
 
Par suite, $\boxed{B=(2x-1)(2x+9)}$
 
2) Développons puis réduisons $A\ $ et $\ B$
 
$\begin{array}{rcl} A&=&(x+2)(3x-3)-(x^{2}-4)\\\\&=&3x^{2}-3x+6x-6-x^{2}+4\\\\&=&2x^{2}+3x-2\end{array}$
 
D'où, $\boxed{A=2x^{2}+3x-2}$
 
$\begin{array}{rcl} B&=&(4x^{2}+16x+16)-25\\\\&=&4x^{2}+16x+16-25\\\\&=&4x^{2}+16x-9\end{array}$
 
Donc, $\boxed{B=4x^{2}+16x-9}$
 
3) Soit $C=A+B$, factorisons $C$ puis calculons la valeur de $C$ pour $x=-\dfrac{2}{5}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&A+B\\\\&=&(x+2)(2x-1)+(2x-1)(2x+9)\\\\&=&(2x-1)[(x+2)+(2x+9)]\\\\&=&(2x-1)(x+2+2x+9)\\\\&=&(2x-1)(3x+11)\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{C=(2x-1)(3x+11)}$
 
Calculons $C\left(\dfrac{2}{5}\right)$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} C\left(\dfrac{2}{5}\right)&=&\left(2\times\dfrac{2}{5}-1\right)\left(3\times\dfrac{2}{5}+11\right)\\\\&=&\left(2\times\dfrac{2}{5}-1\right)\left(3\times\dfrac{2}{5}+11\right)\\\\&=&\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{5}\right)\left(\dfrac{6}{5}+\dfrac{55}{5}\right)\\\\&=&\left(-\dfrac{1}{5}\right)\left(\dfrac{61}{5}\right)\\\\&=&-\dfrac{61}{25}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{C\left(\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{61}{25}}$
 
4) Soit $D$ tel que $D-C=4x^{2}-1$
 
Donnons l'expression de $D$ puis calculons la valeur de $D$ pour $x=\dfrac{1}{2}.$
 
Soit : $D-C=4x^{2}-1$ alors, $D=4x^{2}-1+C$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} D&=&4x^{2}-1+C\\\\&=&4x^{2}-1+(2x-1)(3x+11)\\\\&=&(2x-1)(2x+1)+(2x-1)(3x+11)\\\\&=&(2x-1)[(2x+1)+(3x+11)]\\\\&=&(2x-1)(2x+1+3x+11)\\\\&=&(2x-1)(5x+12)\end{array}$
 
D'où, $\boxed{D=(2x-1)(5x+12)}$
 
Calculons $D\left(\dfrac{1}{2}\right)$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} D\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&\left(2\times\dfrac{1}{2}-1\right)\left(5\times\dfrac{1}{2}+12\right)\\\\&=&\left(1-1\right)\left(\dfrac{5}{2}+\dfrac{24}{2}\right)\\\\&=&0\end{array}$
 
Donc, $\boxed{D\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}$

Exercice 3

On considère le triangle $ABC$ ci-dessous tel que $\hat{A}=27\;^{\circ}$ et $\hat{B}=117\;^{\circ}.$
 
La bissectrice de l'angle $\hat{B}$ coupe la droite $(AC)$ en $J.$
 
1) Construisons le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $I$, inscrit dans le triangle $ABC$
 
Le centre $I$ de ce cercle est le point de rencontre des trois bissectrices du triangle $ABC.$
 
 
2) Calculons la mesure des angles $\widehat{BCJ}\ $ et $\ \widehat{IAB}$
 
On sait que dans un triangle, la somme des angles est égale à $180\,^{\circ}.$
 
Alors, $\widehat{ABC}+\widehat{CAB}+\widehat{BCA}=180\,^{\circ}$
 
Or, $\widehat{CAB}=\widehat{BCJ}$ car $C\;;\ J\;;\ A$ sont alignés dans cet ordre.
 
Donc, en remplaçant $\widehat{CAB}$ par $\widehat{BCJ}$, on obtient :
$$\widehat{ABC}+\widehat{CAB}+\widehat{BCJ}=180\,^{\circ}$$
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl}\widehat{BCJ}&=&180\,^{\circ}-(\widehat{ABC}+\widehat{CAB})\\\\&=&180\,^{\circ}-(117\,^{\circ}+27\,^{\circ})\\\\&=&180\,^{\circ}-144\,^{\circ}\\\\&=&36\,^{\circ}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\widehat{BCJ}=36\,^{\circ}}$
 
Par ailleurs, $(AI)$ est bissectrice de l'angle $\widehat{CAB}$ donc,
 
$\begin{array}{rcl}\widehat{IAB}&=&\dfrac{\widehat{CAB}}{2}\\\\&=&\dfrac{27\,^{\circ}}{2}\\\\&=&13.5\,^{\circ}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\widehat{IAB}=13.5\,^{\circ}}$

 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

En me basant sur les explications du prof mais aussi à m'exercer le soir à l'aide de vls exercices

En me basant sur les explications du prof mais aussi à m'exercer le soir à l'aide de vls exercices

Sunudara est un bon apk mais les corrections sont lentes

C'est différent de ce qu'on fait car si ça sort dans lors d'un devoir j'aurais pas le moyen

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