Corrigé BFEM Mathématiques 2020

Exercice 1

 1) Choix de la bonne réponse
La modalité qui a le grand effectif est appelée : b) le mode

La modalité avec le plus grand effectif correspond à la définition du mode en statistiques.

 2) Vrai ou faux
Le point $E(-2; 0)$ appartient au demi-plan solution de l'inéquation $-x + 3y - 5 < 0$

Substituons les coordonnées du point $E(-2; 0)$ dans l'inéquation :
$-(-2) + 3(0) - 5 = 2 + 0 - 5 = -3$

Puisque $-3 < 0$, l'inéquation est vérifiée.

Réponse : VRAI

 3) Application affine
$g(x) = (2 - \sqrt{3})x - 7$

a) Coefficient : $2 - \sqrt{3}$
   Ordonnée à l'origine : $-7$

b) Image de $(4\sqrt{3} - 5)$ par $g$ :
$g(4\sqrt{3} - 5) = (2 - \sqrt{3})(4\sqrt{3} - 5) - 7$
$= (2 - \sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3} - (2 - \sqrt{3}) \cdot 5 - 7$
$= 8\sqrt{3} - 12 - 10 + 5\sqrt{3} - 7$
$= 13\sqrt{3} - 29$

 4) Calculs avec radicaux
$A = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ et $B = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Calcul de $A^2$ :
$A^2 = \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

Simplification de $B$ :
$B = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}$

Remarquons que $A^2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$, donc :
$B = \sqrt{A^2 \cdot \frac{2}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

 Exercice 2

 1) Système d'équations
Total des effectifs : $m + 6 + n + 10 = 24$
Donc : $m + n = 8$

Pour l'âge moyen de 26 ans :
$\frac{19m + 23 \cdot 6 + 27n + 31 \cdot 10}{24} = 26$

$19m + 138 + 27n + 310 = 624$
$19m + 27n = 176$

Le système est donc :
$$\left\{\begin{array}{lcl} m + n &=& 8 \\ 19m + 27n &=& 176 \end{array}\right.$$

Résolution :
De la première équation : $n = 8 - m$
Substitution dans la deuxième :
$19m + 27(8 - m) = 176$
$19m + 216 - 27m = 176$
$-8m = -40$
$m = 5$

Donc $n = 8 - 5 = 3$

 2) Avec $m = 5$ et $n = 3$

a) Tableau complété :

b) Mères de moins de 29 ans : 14 mères

c) Fréquence des mères d'au moins 25 ans : $\frac{3 + 10}{24} = \frac{13}{24} \approx 54,2\%$

 3) Âge médian
L'effectif médian est $\frac{24}{2} = 12$
L'âge médian se trouve dans la classe [21;25[ car l'effectif cumulé passe de 11 à 14.

 Exercice 3

 1) Calculs dans la pyramide
Dans le triangle rectangle $SOA$ :
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$34 = 16 + OA^2$
$OA^2 = 18$
$OA = 3\sqrt{2}$ m

Pour une base carrée, la diagonale $AC = 2 \cdot OA = 6\sqrt{2}$ m
Si le côté de la base est $a$, alors : $a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
Donc $a = 6$ m

 2) Volume de la pyramide
$V = \frac{1}{3} \times \text{Aire base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48$ m³

 3) Prix des tôles
Il faut calculer l'aire des 4 faces triangulaires.
Chaque face a pour base 6 m et pour hauteur l'apothème de la pyramide.

Dans le triangle rectangle formé par SO, l'apothème et la moitié d'un côté :
Apothème² = $4^2 + 3^2 = 25$
Apothème = 5 m

Aire d'une face = $\frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$ m²
Aire totale = $4 \times 15 = 60$ m²

Prix total = $60 \times 3000 = 180\,000$ F

 Exercice 4

 1) Choix des bonnes réponses
a) Si $F$ est le symétrique de $E$ par rapport à $A$ alors : $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{EA}$

b) Si $E$ est le milieu de $[AB]$ alors : $\overrightarrow{AE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

 2) Vecteurs colinéaires
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires équivaut à $eb - fa = 0$

 3) Géométrie analytique
Points : $A(-1; 1)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$

a) Coordonnées des vecteurs :
- $\overrightarrow{AB} = (4; -2)$
- $\overrightarrow{AC} = (6; 2)$
- $\overrightarrow{BC} = (2; 4)$

b) Triangle rectangle :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 6 + (-2) \times 2 = 24 - 4 = 20 \neq 0$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \times 2 + (-2) \times 4 = 8 - 8 = 0$

Le triangle est rectangle en $B$.

c) Point $D$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$ :
$D = A + \overrightarrow{BC} = (-1; 1) + (2; 4) = (1; 5)$

d) Équation de la tangente :
Le centre $E$ du cercle circonscrit est à égale distance des trois sommets.
La tangente en $B$ est perpendiculaire au rayon $EB$.

Avec $\overrightarrow{EB}$ pour vecteur normal, l'équation de la tangente $(L)$ en $B(3; -1)$ est de la forme :
$(x - 3) \cdot x_E + (y + 1) \cdot y_E = 0$

En résolvant le système pour trouver $E$, puis en appliquant la condition de tangence.