Brevet d'Etudes du Premier Cycle - Session Normale - Benin 2025

Contexte : Un semi-marathon

Le conseil communal de la ville de Déko a organisé, pour la première fois, un semi-marathon en 2025. Il s'agissait d'une course de 20,975 km qui a connu la participation de 750 athlètes. Le tableau ci-dessous renseigne sur la répartition des participants suivant les classes d'âges.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Classes d'âges (ans) & [15;20[ & [20;25[ & [25;30[ & [30;35[ & [35;40[ & Total \\ \hline Effectifs & 195 & & 150 & & & \\ \hline Fréquences (\%) & & & & 10 & 4 & \\ \hline \end{array}$$

Sur le plan de la ville, le circuit de la course se situe dans un secteur délimité par un angle $\widehat{AOB}$. En un point C, une cuve ayant la forme d'un tronc de cône circulaire droit, est installée pour les besoins en eau. Le volume de la cuve est $V = 44 \pi$ m³ et sa hauteur, $h = 2$ m. Le tronc est issu de la section d'un cône par un plan parallèle à celui de sa base, le coefficient de réduction étant $k = \frac{1}{2}$. Le besoin en eau d'un athlète, sur une distance de $x$ kilomètres, est en moyenne $f(x)$ litres, où $f$ est une application affine. Des points de ravitaillement en eau sont installés le long du trajet.

Le premier de la course a reçu, en plus de sa médaille, un chèque dont le montant est la somme du montant de celui du deuxième et du double du montant de celui du troisième.

Dansou, un jeune élève en classe de troisième, informé des dispositions prises, est curieux de savoir la tranche d'âges la plus représentée et les rayons de bases de la cuve d'eau. Il voudrait enfin connaître la quantité d'eau utile sur tout le circuit, le montant du chèque du premier de la course, ainsi que la mesure du secteur abritant le circuit.

Tâche

Tu es invité(e) à apporter des réponses aux préoccupations de Dansou, en résolvant les trois problèmes suivants.

Problème 1

1. a) Reproduis et complète le tableau statistique des âges des athlètes. (Tu feras tous les calculs sur ta feuille de composition).

   b) Détermine la classe d'âge la plus représentée.

2. Calcule les rayons de bases de la cuve d'eau.
 

Problème 2

L'application affine $f$ est telle que : $f(5) = 2,75$ et $f(12) = 4,5$. Le deuxième et le troisième de la course ont reçu des chèques de montants respectifs $b$ et $c$, en millions de francs CFA, où $b$ et $c$ sont les solutions de l'équation $2x^2 - 5x + 3 = 0$ dans $\mathbb{R}$, avec $b > c$.

3. a) Démontre que pour tout nombre réel $x$, $f(x) = 0,25x + 1,5$.

b) Déduis-en la quantité d'eau utile pour un athlète, sur le circuit.

4. Justifie que : $2x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x - 3)$.

5. Calcule le montant du chèque du premier de la course.

Problème 3

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan, le circuit de la course est localisé dans la partie commune au secteur de l'angle $\widehat{AOB}$ et au demi-plan $(P)$ caractérisé par l'inéquation : $x + 3y - 2 \geq 0$, avec $A(2;0)$, $C(0;4)$ puis $\overrightarrow{AB} = -3\vec{i} + \vec{j}$.

6. a) Justifie que $B(-1;1)$.

    b) Place dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ les points $A$, $B$ et $C$.

7. a) Démontre que la droite $(AB)$ a pour équation $x + 3y - 2 = 0$.

    b) Justifie que le point $C$ se trouve dans le demi-plan $(P)$.

8. Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle de sommet principal le point $B$.

9. a) Justifie que $O$ est un point du cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle $ABC$.

     b) Trace le cercle $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

10. Détermine la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.