Bac Maths S2, S2A, S4, S5, 1er groupe 2009

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1 (03 Points)

1) $(X\;,\ Y)$ est une série statistique double.
 
Soit $(D_{1})$ la droite de régression de $Y$ en $X.$
 
Soit $(D_{2})$ la droite de régression de $X$ en $Y.$ On suppose que :
$$(D_{1})\ :\ y=ax+b\quad\text{et}\quad (D_{2})\ :\ x=a'y+b'$$
Soit $r$ le coefficient de corrélation linéaire entre $X\ $ et $\ Y.$
 
Établir que $r^{2}=aa'\qquad(01\text{ point})$
 
2) Dans une entreprise une étude simultanée portant sur deux caractères $X\ $ et $\ Y$ donnent les résultats suivants :
 
$-\ $ la droite de régression de $Y$ en $X$ a pour équation : $2.4x-y=0$
 
$-\ $ la droite de régression de $X$ en $Y$ a pour équation : $3.5y-9x+24=0.$
 
a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X\ $ et $\ Y$, sachant que leur covariance est positive.$\qquad(0.5\text{ point})$
 
b) Calculer la moyenne de chacun des caractères $X\ $ et $\ Y\qquad(0.75\text{ point}+0.75\text{ point})$
 

Exercice 2 (05 Points)

Une urne contient quatre jetons qui portent le nombre $1$, deux qui portent le nombre $\mathrm{e}$ et six qui portent le nombre $\dfrac{1}{\mathrm{e}}.$
 
On tire successivement avec remise deux jetons de l'urne et on note par $x\ $ et $\ y$ les nombres lus, respectivement sur le premier et le deuxième jeton tirés.
 
A cette expérience, on associe le point $M$ d'affixe
$$z=\ln x+\ln y$$
1) Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, déterminer la probabilité de chacun des événements suivant :
 
$A\ :\ "M$ appartient à l'axe des abscisses"$\qquad(0.5\text{ point})$
 
$B\ :\ "M$ appartient à l'axe des ordonnées"$\qquad(0.5\text{ point})$
 
$C\ :\ "M$ appartient aux des axes"$\qquad(0.5\text{ point})$
 
$D\ :\ "M$ n'appartient à aucun des axes"$\qquad(0.5\text{ point})$
 
$E\ :\ $ "l'angle $(\overrightarrow{OM}\;,\ \vec{i})$ est égal à $-\dfrac{\pi}{4}"\qquad(0.5\text{ point})$
 
$F\ :\ $ le point $M$ appartient au cercle trigonométrique"$\qquad(0.5\text{ point})$
 
2) Soit $X$ la variable aléatoire réelle qui, à chaque tirage associe la distance $OM.$
 
a) Déterminer la loi de probabilité de $X.\qquad(01\text{ point})$
 
b)  Déterminer la fonction de répartition de $X.\qquad(01\text{ point})$

Exercice 3 (05 Points)

1) Résoudre l'équation différentielle :
$$(E)\ :\ y''+2y'+y=0\qquad(0.5\text{ point})$$
2) Soit $(E')$ l'équation différentielle :
$$(E')\ :\ y''+2y'+y=x+3$$
Déterminer les réels $a\ $ et $\ b$ tels que la fonction $h$ définie par $h(x)=ax+b$ soit solution de $(E').\qquad(0.25\text{ point})$
 
3) a) Démontrer que $g$ est solution de $(E')$ si, et seulement si, $(g-h)$ est solution de $(E).\qquad(0.5\text{ point})$
 
3) b) Résoudre alors $(E').\qquad(0.25\text{ point})$
 
3) c) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que :
$$f(0)=2\quad\text{et}\quad f'(0)=-1\qquad(0.5\text{ point})$$
4) Soit la fonction $k$ définie par :
$$k(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}$$
4) a) Étudier les variations de $k\qquad(01.5\text{ points})$
 
4) b) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ de $k$ au point d'abscisse $0\qquad(0.25\text{ point})$
 
4) c) Démontrer que le point $I(0\;;\ 2)$ est un point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C}).\qquad(0.5\text{ point})$
 
4) d) Tracer $(\mathcal{C})\ $ et $\ (T)$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).\qquad(0.75\text{ point})$
 

Exercice 4  (07 Points)

1) a) Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]-1\;,\ +\infty[$ par :
$$f(x)=2\ln(x+1)\qquad(01.5\text{ points})$$
Tracer sa courbe représentative $(\mathcal{C})\ $ et $\ (T)$ dans le repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, unité : $2\;cm\qquad(01\text{ point})$
 
1) b) Démontrer que sur $[2\;,\ +\infty[$ la fonction $\ell$, définie par :
$$\ell(x)=f(x)-x$$
est bijective et l'équation $\ell(x)=0$ admet une solution unique $\lambda.\qquad(01\text{ point})$
 
2) On considère la suite $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}&=&5\\U_{n+1}&=&2\ln(1+U_{n})\end{array}\right.$$
2) a) Sans faire de calcul, représenter les quatre premiers termes de la suite sur le graphique.$\qquad(0.5\text{ point})$
 
2) b) Démontrer par récurrence que pour tout $n\;,\ U_{n}\geq 2\qquad(0.5\text{ point})$
 
2) c) Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[2\;,\ +\infty[$,
$$|f'(x)|\leq\dfrac{2}{3}\qquad(0.5\text{ point})$$
 
2) d) En déduire que pour tout $n$, on a :
$$|U_{n+1}-\lambda|\leq\dfrac{2}{3}|U_{n}-\lambda|\qquad(0.5\text{ point})$$
que
$$|U_{n+1}-\lambda|\leq2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\qquad(0.5\text{ point})$$
et que
$(U_{n})$ converge vers $\lambda\qquad(0.25\text{ point})$
2) e) Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que $|U_{p}-\lambda|\leq 10^{-2}.\qquad(0.25\text{ point})$
 
Que représente $U_{p}$ pour $\lambda\ ?\qquad(0.5\text{ point})$

 

Correction Bac Maths S2, S2A, S4, S5, 1er groupe 2009

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