Bac Math 1er groupe S1 S3 2006

1) On considère l'équation différentielle :

$$y'+y=\dfrac{\mathrm{e^{-x}}\cos\;x}{2+\sin\;x}\qquad(E)$$  

$f$ étant une fonction numérique dérivable sur $\nabla$, on pose : $g(x)=\mathrm{e^{x}}f(x)$

 

a) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g'(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}$

 

b) Déterminer la solution générale de $(E)$, en déduire la solution de $(E)$ qui s'annule en 0.

 

2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on considère la courbe $(\Gamma)$ d'équations paramétrique :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& \ln(2+\sin t) \\ y(t) &=& \ln(2+\cos t)\end{array}\right.\;;\quad t\in\nabla$$

 

a) Comparer $M(t)$ et $M(t+2\pi)$ ainsi que $M(t)$ et $M\left(-t+\dfrac{\pi}{2}\right)$

 

b) En déduire que la symétrie orthogonale d'axe la première bissectrice conserve $(\Gamma)$ et montrer que pour construire $(\Gamma)$, il suffit d'étudier $x$ et $y$ dans $\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}+\pi\right]$

 

c) Dresser le tableau de variations des fonctions $x$ et $y$ dans $\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{5\pi}{4} \right]$ et tracer la courbe $(\Gamma)$

 

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 4 boules vertes et 2 boules jaunes.

 

1) On tire au hasard simultanément 2 boules de l'urne et on note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de 2 boules, associe le nombre de boules vertes tirées.

 

Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.

 

2) On tire au hasard deux fois de suite 2 boules simultanément, les boules tirées n'étant pas remises dans l'urne.

 

On note $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ les événements suivants :

 

$A$ : Aucune boule verte n'est tirée au cours du premier tirage de 2 boules.

 

$B$ :  Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.

 

$C$ :  Deux boules vertes sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.

 

$D$ :  Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du deuxième tirage de 2 boules.

 

a) Calculer $p(D/A)\;,\ p(D/B)\;,\ p(D/C)$

 

b) En déduire la probabilité des événements $D\backepsilon A\;,\ D\backepsilon B$ et $D\backepsilon C.$

 

Calculer $p(D)$ [On remarquera que $D=D\backepsilon(A(B(C)$].

 

Dans le plan euclidien orienté, on considère un rectangle direct $ABCD$ de centre $O$ tel que $AB=3a$ et $BC=a\sqrt{3}$ ; où $a$ est un réel strictement positif donné.

 

1) Déterminer la nature du triangle $BCO$.

 

2) Soit $E$ le point du segment $[BD]$ tel que $BE=\dfrac{3}{4}BD$

 

Donner une construction géométrique

 

du centre $\Omega$ de la similitude directe $s$ telle que $s(B)=O$ et $s(E)=C$ 

 

3) On suppose dans la suite que $a=1$ et on pose :

 

$\vec{u}=\dfrac{1}{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \vec{v}=\dfrac{1}{AD}\cdot\overrightarrow{AD}$ ; on munit ensuite le plan du repère orthonormal direct $(A\;;\ \vec{u}\;;\ \vec{v})$,

 

a) déterminer les affixes de $B$ et de $O.$

 

b) En déduire l'écriture complexe de l'application $s.$

 

4) Déterminer l'affixe de $\Omega$ et celle du point $A'=s(A)$

 

5) On considère la suite de points $M_{n}$ d'affixes $z_{n}$ définie par $M_{0}=A$ et pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ M_{n+1}=s(M_{n})$

 

a) démontrer que la suite $(\alpha_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $\alpha_{n}=z_{n+1}-z_{n}$

 

est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $\alpha_{0}$ et la raison.

 

b) Exprimer en fonction de $n$ la longueur de la ligne polygonale $M_{0}M_{1}M_{2}\cdots M_{3n}$ et déterminer la limite de cette longueur quand $n$ tend vers $+\infty$

 

Dans ce problème on calcule dans la partie A la valeur d'une intégrale et on étudie dans la partie B une

suite numérique $(I_{n})$ et quelques unes de ses différentes propriétés.

 

Partie A : 

 

Calcul de $$I=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\sqrt{\mathrm{e}^{2t}-1}\mathrm{d}t$$

 

Soit $g$ et $G$ les fonctions définies sur $[0\;;\ +\infty[$ par :

 

$$g(x)=\sqrt{\mathrm{e^{2x}}-1}\quad\text{et}\quad G(x)=\int_{0}^{x}g(t)\mathrm{d}t$$

 

1) Pour tout $x\in\nabla$, on pose : $$H(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}\mathrm{d}t$$

 

a) Montrer que la fonction $H$ est dérivable sur $\nabla$ et déterminer sa dérivée.

 

b) Calculer $(H\circ\tan)'(x)$ pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

En déduire que $(H\circ\tan)(x)=x$ pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

Calculer alors $H(1)$ 

 

2) Pour tout $x\in\;[0\;,\ +\infty[$, on pose : $F(x)=g(x)-H\circ g(x)$,

 

a) Vérifier que $F$ et $G$ sont dérivables sur $]0\;,\ +\infty[$ et que pour tout $x\in\;]0\;,\ +\infty[$, $$F'(x)=G'(x)$$  

 

b) En déduire que $G(x)=F(x).$ Calculer alors $I.$ [On remarquera que $I=G(\ln\sqrt{2})$].

 

Partie B : 

 

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par : $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-1$

 

Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose :

$$I_{n}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}[f(x)]^{\frac{n}{2}}\mathrm{d}x\quad\text{puis}\quad I_{0}=\ln\sqrt{2}$$

 

1) a) Vérifier que la fonction $f$ est dérivable sur $\nabla_{+}$  et que pour tout $x\in\nabla_{+}$ : 

$$f'(x)=2[1+f(x)]\qquad (1)$$

 

b) Montrer en utilisant la relation (1) que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on a :

$$I_{n}+I_{n+2}=\dfrac{1}{n+2}\qquad  (2)$$

 

Vérifier que la relation (2) reste encore valable pour $n=0$

 

c) En remarquant que la suite $(I_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est positive, montrer que

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}=0$$

 

2) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose : $U_{n}=I_{n+4}-I_{n}$

 

a) En remplaçant $n$ par $n+2$, dans la relation (2), montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n}=\dfrac{1}{n+4}-\dfrac{1}{n+2}$

 

En déduire l'expression de $U_{4n+1}$ en fonction de $n$

 

b) Calculer $\sum_{n=0}^{p}U_{4n+1}$ en fonction de $I_{4p+5}$ et de $I_{1}$

 

c) Calculer la limite lorsque $p$ tend vers $+\infty$ de la somme

$$1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{-1}{4p+3}+\dfrac{1}{4p+5}=\sum_{n=0}^{2p+2}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}$$