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Série d'exercices : Les polynômes - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Les fonctions suivantes sont-elles des polynômes ? (justifier votre réponse)

f (x) = | - 3 x^{2} + 5 x - 7 |

$f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$

f (x) = | 2 x^{2} - 3 x + 1 |

$f(x)=|2x^{2}-3x+1|$

f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}

$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

f (x) = \sqrt{(x^{2} - 2 x + 1)^{2}}

$f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifier que

α

$\alpha$ est racine de

f

$f$ puis déterminer

Q (x)

$Q(x)$ tel que

f (x) = (x - α) Q (x)

$f(x)=(x-\alpha)Q(x)$

f (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10, α = - 2

$f(x)=2x^{3}-7x^{2}-17x+10\;,\quad\alpha=-2$

f (x) = 2 x^{2} - (1 + 2 \sqrt{3}) x - 1 - \sqrt{3}, α = - \frac{1}{2}

$f(x)=2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}\;,\quad\alpha=-\dfrac{1}{2}$

f (x) = 4 x^{3} + x^{2} - 11 x + 6, α = 1; α = - 2

$f(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;,\quad\alpha=1\;;\ \alpha=-2$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants dire si

f (x)

$f(x)$ est factorisable par

g (x) .

$g(x).$

Si oui ; déterminer une factorisation de

f (x)

$f(x)$

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6; g (x) = 2 x - 1

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\;;\quad g(x)=2x-1$

f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 9 x + 5; g (x) = 2 x + 5

$f(x)=2x^{3}+x^{2}-9x+5\;;\quad g(x)=2x+5$

f (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 7 x + 6; g (x) = 3 x + 2

$f(x)=3x^{3}-x^{2}+7x+6\;;\quad g(x)=3x+2$

Exercice 4

On donne

P (x) = 5 (x^{2} - 9) - (x - 5) (6 - 2 x)

$P(x)=5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)$

1) Développer et réduire

P (x)

$P(x)$

2) Factoriser

P (x)

$P(x)$

3) Utiliser la forme convenable pour résoudre les équations :

P (x) = 0; P (x) = - 15; P (x) = 7 x + 5

$P(x)=0\;;\quad P(x)=-15\;;\quad P(x)=7x+5$

4) Calculer

P (- 3)

$P(-3)$ et

P (\frac{2}{5})

$P\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Exercice 5

On donne

f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 15 x

$f(x)=x^{5}-8x^{3}+15x$

1) Calculer

f (\sqrt{3})

$f(\sqrt{3})$ et

f (- \sqrt{3})

$f(-\sqrt{3})$

2) Factoriser mieux

f (x)

$f(x)$

3) Résoudre

f (x) < 0

$f(x)<0$

Exercice 6

Soit

f (x) = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} - 13 x + 6

$f(x)=x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-13x+6$

1) Montrer que

- 3

$-3$ est une racine de

f

$f$

2) En déduire une factorisation complète de

f (x)

$f(x)$

3) Résoudre dans

R, \frac{f (x)}{x^{2} - 2} < 0

$\mathbb{R}\;,\ \dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$

Exercice 7

1) a) Trouver un polynôme

P

$P$ de degré

2

$2$ tel que

P (x) - P (x - 1) = x et P (0) = 0

$P(x)-P(x-1)=x\ \text{ et }\ P(0)=0$

b) En déduire une expression de

S = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots \dots + 12

$S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12$

2) a) Même question pour un polynôme de degré

3

$3$ tel que

P (x) - P (x - 1) = x^{2} et P (0) = 0

$P(x)-P(x-1)=x^{2}\ \text{ et }\ P(0)=0$

b) En déduire, en fonction de

n

$n$ , une expression de

S_{n} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots \dots + n^{2}

$S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}$

Exercice 8

1) Déterminer le polynôme

P

$P$ de degré

3

$3$ vérifiant :

P (x + 1) - P (x) = 3 x^{2} + 3 x et P (0) = 0

$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x\ \text{ et }\ P(0)=0$

2) En déduire une expression de

S_{n} = 3 \times 2 + 6 \times 3 + \dots \dots + 3 n (n + 1)

$S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)$ en fonction de

n

$n$

3) En déduire la valeur de

3 \times 2 + 6 \times 3 + \dots \dots + 300 \times 101

$3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101$ ?

Exercice 9

Soit

P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$

On suppose que

P (x) = 0

$P(x)=0$ admet

3

$3$ racines

α, β

$\alpha\;,\ \beta$ et

δ .

$\delta.$

Sans calculer ces racines ; donner les valeurs de :

α + β + δ; α β δ

$\alpha+\beta+\delta\;;\quad\alpha\beta\delta$

α β + α δ + β δ; \frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{δ}; α^{2} + β^{2} + δ^{2}

$\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta\;;\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\delta}\;;\quad\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}$

Exercice 10

Soit le polynôme

Q

$Q$ défini par

Q (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 18

$Q(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+18$

1) Déterminer

a

$a$ et

b

$b$ pour que

Q (x)

$Q(x)$ soit divisible par

x^{2} - 9

$x^{2}-9$

2) a) Factoriser

Q (x)

$Q(x)$

b) Résoudre

Q (x) = 0

$Q(x)=0$ et

Q (x) > 0

$Q(x)>0$

c) Résoudre

Q (x^{2} + 3) = 0

$Q(x^{2}+3)=0$

Exercice 11

Soit le polynôme

f (x)

$f(x)$ défini par :

f (x) = a x^{3} + b x - 19 x - 30

$f(x)=ax^{3}+bx-19x-30$

1) Déterminer

a

$a\$ et

b

$\ b$ pour que

f (x)

$f(x)$ soit factorisable par

(x^{2} - 3 x - 10)

$(x^{2}-3x-10)$

2) Résoudre dans

R f (x) \geq 0

$\mathbb{R}\ f(x)\geq 0$

Exercice 12

Un polynôme

x^{2} + p x^{2} + q

$x^{2}+px^{2}+q$ divisé par

(x - 2)

$(x-2)$ a pour reste

3

$3$ , divisé par

x

$x$ a pour reste

5.

$5.$

Déterminer

p

$p\$ et

q .

$\ q.$

Exercice 13

Soit le polynôme

P

$P$ défini par

P (x) = x^{3} - x + 2 m

$P(x)=x^{3}-x+2m$

1) Pour quelle valeur de

m, P

$m\;,\ P$ est-il factorisable par

(x + 1) ?

$(x+1)\ ?$

2) Trouver donc le polynôme

Q

$Q$ tel que

P (x) = (x + 1) \times Q (x)

$P(x)=(x+1)\times Q(x)$

3) Pour cette valeur de

m

$m$ trouvée, résoudre dans

R

$\mathbb{R}$

P (x) = 0

$P(x)=0$

P (x) \geq 0

$P(x)\geq 0$

Exercice 14

Soit

P (x) = - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2

$P(x)=-2x^{3}+x^{2}+5x+2$

1) Montrer que

(- 1)

$(-1)$ est une racine de

P

$P$

2) Factoriser

P (x)

$P(x)$ puis résoudre

P (x) = 0

$P(x)=0$

3) Résoudre

- 2 (x^{2} - 1)^{3} + (x^{2} - 1)^{2} + 5 (x^{2} - 1) + 2 = 0

$-2(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)^{2}+5(x^{2}-1)+2=0$

Exercice 15

Déterminer

a

$a\$ et

b

$\ b$ pour que

x^{5} + a x^{4} + b

$x^{5}+ax^{4}+b$ soit divisible par

(x - 1)^{2}

$(x-1)^{2}$

Exercice 16

1) Déterminer les réels

p

$p\$ et

q

$\ q$ pour que

x^{4} + p x^{2} + q

$x^{4}+px^{2}+q$ soit divisible par

x^{2} - 6 x + 5

$x^{2}-6x+5$

2) Pour les valeurs de

p

$p\$ et

q

$\ q$ ainsi trouvées, en déduire les solutions de

x^{4} + p x^{2} + q = 0

$x^{4}+px^{2}+q=0$

Exercice 17

Déterminer les ensembles de définition de :

f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} - 4 x},

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-4x}\;,$

g (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} + 1},

$g(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}+1}\;,$

h (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4 x + 3}

$h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}$

Exercice 18

Soient les polynômes

P, R

$P\;,\ R\$ et

Q

$\ Q$ définis par :

P (x) : 2 x^{3} + a x^{2} + x + 2

$P(x)\ :\ 2x^{3}+ax^{2}+x+2$

R (x) : c x^{3} + b x^{2} + d x - 3

$R(x)\ :\ cx^{3}+bx^{2}+dx-3$

Q (x) : (2 x + 1) (x + 3) - (4 x + 1) (b - x)

$Q(x)\ :\ (2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)$

1) a) Trouver le réel

a

$a$ pour que

2

$2$ soit racine de

P

$P$

b) En déduire la factorisation complète de

P (x)

$P(x)$

2) Trouver les réels

b, c

$b\;,\ c\$ et

d

$\ d$ pour que

R (x)

$R(x)\$ et

Q (x)

$\ Q(x)$ soient égaux

3) Soit la fraction rationnelle

T

$T$ définie par :

T (x) = \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2}{- 2 x^{2} + 8 x - 8}

$T(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+x+2}{-2x^{2}+8x-8}$

a) Déterminer l'ensemble de définition de

T (x)

$T(x)$

b) Simplifier

T (x)

$T(x)$

c) Résoudre alors l'équation

T (x) = 0

$T(x)=0$ et l'inéquation

T (x) < 0

$T(x)<0$

Exercice 19

Soit

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2}

$f(x)=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+5x+3}{x^{2}+3x+2}$

1) Déterminer

D_{f}

$D_{f}$

2) Montrer qu'il existe quatre réels

a, b, c

$a\;,\ b\;,\ c\$ et

d

$\ d$ tels que :

f (x) = a x + b + \frac{c}{x + 1} + \frac{d}{x + 2}

$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}$

Exercice 20

1) Déterminer

a

$a\$ et

b

$\ b$ pour que

\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1}

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$ et en déduire la valeur de

\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \dots \dots + \frac{1}{99 \times 100}

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}$

2) Déterminer

a, b

$a\;,\ b\$ et

c

$\ c$ pour que

\frac{1}{x (x + 1) (x + 2)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{x + 2}

$\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}$

3) Soit

f

$f$ définie par

f (x) = \frac{x^{2} - 4 x - 3}{x + 5}

$f(x)=\dfrac{x^{2}-4x-3}{x+5}$

a) Donner le domaine de définition de

f

$f$

b) Déterminer

a, b

$a\;,\ b\$ et

c

$\ c$ pour que

f (x) = a x + b + \frac{c}{x + 5}

$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+5}$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 01/23/2020 - 16:48

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Halidi Houmadi (non vérifié)

jeu, 02/03/2022 - 05:06

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Demande d'exercice de polynôme

Je veux avoir d'exercice de différentes chapitre de la classe de 2nd

répondre

Halidi Houmadi (non vérifié)

jeu, 02/03/2022 - 05:06

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Demande d'exercice de polynôme

Je veux avoir d'exercice de différentes chapitre de la classe de 2nd

répondre

Halidi Houmadi (non vérifié)

jeu, 02/03/2022 - 05:06

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Demande d'exercice de polynôme

Je veux avoir d'exercice de différentes chapitre de la classe de 2nd

répondre

DIALLO Mamadou (non vérifié)

jeu, 04/16/2020 - 22:54

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Demande de séries d'exercices de la série S

Félicitation vous participez énormément à la formation des élèves du Sénégal.

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Anonyme (non vérifié)

mer, 09/23/2020 - 13:46

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je ne voie pas la correction

je ne voie pas la correction des exercices

répondre

Diallo (non vérifié)

mar, 05/04/2021 - 12:35

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Correction

répondre

Diallo (non vérifié)

mar, 05/04/2021 - 12:42

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Correction

Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction

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Anonyme (non vérifié)

mer, 06/02/2021 - 15:35

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Correction exercice 13

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Anonyme (non vérifié)

dim, 07/04/2021 - 23:13

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Correction exercice 13

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Anonyme (non vérifié)

ven, 05/06/2022 - 10:07

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Merci beaucoup ces exercices

Merci beaucoup ces exercices m'ont permis de bien preparer mon devoir

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 05/20/2024 - 11:53

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Excellent parfait pour les

Excellent parfait pour les élèves

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Anonyme (non vérifié)

lun, 05/20/2024 - 11:56

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Excellent pour les élèves

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 05/20/2024 - 14:06

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Jdiddidbdiwdodndndodndd

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