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Série d'exercices : Angles - Trigonométrie - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

1) Déterminer la mesure principale de :

\frac{25 π}{3}, \frac{77 π}{4}, - \frac{81 π}{5}

$\dfrac{25\pi}{3}\;,\ \dfrac{77\pi}{4}\;,\ -\dfrac{81\pi}{5}$

2) Donner les valeurs exactes de :

a) \cos \frac{2 π}{3}, \sin \frac{2 π}{3}, \cos \frac{25 π}{4}, \sin \frac{25 π}{4}, \sin \frac{7 π}{4}, \sin \frac{213 π}{6}, \cos \frac{- 77 π}{3}

$\text{a)}\ \cos\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \cos\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{7\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{213\pi}{6}\;,\ \cos\dfrac{-77\pi}{3}$

\tan (\frac{7 π}{6}), \tan (\frac{3 π}{4}), \tan (\frac{- 5 π}{6})

$\tan\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\;,\ \tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\;,\ \tan\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)$

Exercice 2

Transformer les expression suivantes :

A = 3 \cos (- x) + 2 \sin (\frac{π}{2} - x) + 4 \sin x + \cos x

$A=3\cos(-x)+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+4\sin x+\cos x$

B = 2 \sin (\frac{π}{2} + x) + 5 \cos (π - x) - 3 \sin (- x) - \cos x

$B=2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+5\cos(\pi-x)-3\sin(-x)-\cos x$

C = - \sin (π - x) + \cos (\frac{π}{2} + x) - \sin (π - x)

$C=-\sin(\pi-x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-\sin(\pi-x)$

D = \sin (\frac{π}{2} + x) + \cos (x - π) + \sin (x + \frac{3 π}{2}) + \cos (x + π)

$D=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\cos(x-\pi)+\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\cos(x+\pi)$

E = 2 \cos (\frac{3 π}{2} - π + x) - 2 \sin (x - 2 π) + 5 \sin (\frac{5 π}{2} + x)

$E=2\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\pi+x\right)-2\sin(x-2\pi)+5\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)$

Exercice 3

Établissez les égalités suivantes :

1) \cos^{2} x - \sin^{2} x = 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x

$1)\ \cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x$

2) \cos^{4} x + \sin^{4} x = 1 - 2 \cos^{2} x \sin^{2} x

$2)\ \cos^{4}x+\sin^{4}x=1-2\cos^{2}x\sin^{2}x$

3) (\cos x + \sin x)^{2} + (\cos x - \sin x)^{2} = 2

$3)\ (\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}=2$

Exercice 4

Donner la longueur d'un demi-cercle de rayon

2 c m

$2\;cm$ , et d'un quart de cercle de rayon

4 c m .

$4\;cm.$

Exercice 5

1) Compléter le tableau suivant, où

l

$l$ désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon

R

$R$ , intercepté par l'angle

α

$\alpha$ mesuré en degrés :

\begin{array}{cccccc} l & π R / 4 & 2 π R / 5 \\ α & 60 & 120 & 30 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline l& & &\pi R/4& &2\pi R/5 \\ \hline\alpha&60&120& &30& \\ \hline\end{array}$

2) Compléter le tableau suivant, où

l

$l$ désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon

R

$R$ , intercepté par l'angle

α

$\alpha$ mesuré en radians :

\begin{array}{cccccc} l & π R / 6 & 5 π R / 8 \\ α & 2 π & 1 & 2 π / 3 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline l& & &\pi R/6& &5\pi R/8 \\ \hline\alpha&2\pi&1& &2\pi/3& \\ \hline\end{array}$

Exercice 6

On considère la figure suivante :

1) Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui sont une abscisse curviligne du point

E

$E$ ?

\frac{4 π}{12}; \frac{4 π}{3}; - \frac{4 π}{3}; \frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{3}

$\dfrac{4\pi}{12}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\;;\ -\dfrac{4\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}$

2) Quels sont les points du cercle trigonométrique qui ont pour abscisse curviligne les réels suivants :

\frac{3 π}{2}; π; \frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}; \frac{7 π}{6}; \frac{11 π}{6}

$\dfrac{3\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\;;\ \dfrac{7\pi}{6}\;;\ \dfrac{11\pi}{6}$

Exercice 7

Donner un moyen géométrique de placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :

\frac{π}{3}; - \frac{π}{3}; \frac{2 π}{3}; \frac{π}{6}; - \frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}

$\dfrac{\pi}{3}\;;\ -\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{\pi}{6}\;;\ -\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}$

Exercice 8

Placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :

\frac{π}{3} + \frac{k π}{2};

$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}\ ;$

$\quad$
b)

\frac{π}{6} + k π;

$\dfrac{\pi}{6}+k\pi\ ;$

$\quad$
c)

- \frac{π}{3} + \frac{k π}{2};

$-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}\ ;$

$\quad$
d)

\frac{π}{4} + k π, k

$\dfrac{\pi}{4}+k\pi\;,\ k$ entier relatif

Exercice 9

Placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :

100 π;

$100\pi\ ;$

$\quad$
b)

71 π;

$71\pi\ ;$

$\quad$
c)

- \frac{37 π}{2};

$-\dfrac{37\pi}{2}\ ;$

$\quad$
d)

\frac{18 π}{4}

$\dfrac{18\pi}{4}$

Exercice 10

Compléter le tableau suivant :

\begin{array}{cccccccccccc} ^{\circ} & 45 & 30 & 60 & 15 & 18 & 75 & 135 \\ rad & π / 2 & π / 3 & π / 5 & π / 8 \\ ^{\circ} & 120 & 150 & 180 & 90 & 225 \\ rad & π / 6 & π / 4 & 2 π / 3 & π / 10 & 5 π / 6 & π \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline ^{\circ}&45&30&60&15&18&75&135& & & & \\ \hline\text{rad}& & & & & & & &\pi/2&\pi/3&\pi/5&\pi/8 \\ \hline ^{\circ}&120&150&180&90& & & & & & &225 \\ \hline\text{rad}& & & & &\pi/6&\pi/4&2\pi/3&\pi/10&5\pi/6&\pi& \\ \hline\end{array}$

Exercice 11

Pour chacune des mesures suivantes, on demande :

-

$-\$ la mesure principale (en degré ou en radian, selon le cas) ;

-

$-\$ la mesure dans

[0; 2 π [

$[0\;;\ 2\pi[$ (ou dans

[0^{\circ}; 360^{\circ} [

$[0^{\circ}\;;\ 360^{\circ}[$ );

-

$-\$ la mesure dans

] - 2 π; 0 [

$]-2\pi\;;\ 0[$ (ou dans

[- 360^{\circ}; 0^{\circ} [

$[-360^{\circ}\;;\ 0^{\circ}[$ ).

\frac{2008 π}{3};

$\dfrac{2008\pi}{3}\ ;$

$\quad$
2)

\frac{28 π}{5};

$\dfrac{28\pi}{5}\ ;$

$\quad$
3)

\frac{27 π}{4};

$\dfrac{27\pi}{4}\ ;$

$\quad$
4)

- \frac{19 π}{3};

$-\dfrac{19\pi}{3}\ ;$

$\quad$
5)

- 270^{\circ}

$-270^{\circ}$

$\quad$

- 18 π;

$-18\pi\ ;$

$\quad$
7)

1440^{\circ};

$1440^{\circ}\ ;$

$\quad$
8)

- 2530^{\circ};

$-2530^{\circ}\ ;$

$\quad$
9)

- \frac{π}{4};

$-\dfrac{\pi}{4}\ ;$

$\quad$
10)

\frac{5 π}{6}

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\quad$

11)

\frac{12 π}{5};

$\dfrac{12\pi}{5}\ ;$

$\quad$
12)

- \frac{23 π}{6};

$-\dfrac{23\pi}{6}\ ;$

$\quad$
13)

210^{\circ};

$210^{\circ}\ ;$

$\quad$
14)

- 375^{\circ};

$-375^{\circ}\ ;$

$\quad$
15)

- 4512^{\circ};

$-4512^{\circ}\ ;$

$\quad$
16)

17 π

$17\pi$

Exercice 12

On considère un triangle

A B C

$ABC$ rectangle en

C

$C$ et tel que

(\vec{A B}, \vec{A C}) = 35^{\circ} .

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=35^{\circ}.$

Soit

O

$O$ et

A^{'}

$A'$ les milieux respectifs des côtés

[A B]

$[AB]$ et

[B C] .

$[BC].$ Trouver la mesure principale des angles orientés :

(\vec{O B}, {\vec{O A}}^{'}); (\vec{O C}, {\vec{O A}}^{'}); ({\vec{O A}}^{'}, \vec{O C}); (\vec{O B}, \vec{O C})

$(\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OA}')\;;\ (\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OA}')\;;\ (\overrightarrow{OA}'\;,\ \overrightarrow{OC})\;;\ (\overrightarrow{OB}\;,\ \overrightarrow{OC})$

Exercice 13

A B C

$ABC$ est un triangle équilatéral direct. On construit à l'extérieur le carré

A B E D .

$ABED.$ Quelles sont les mesures principales en radians des angles orientés suivants :

(\vec{A B}, \vec{A C}); (\vec{A B}, \vec{A D}); (\vec{B C}, \vec{B E})

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})\;;\ (\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})\;;\ (\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BE})$

(\vec{C B}, \vec{C E}); (\vec{E C}, \vec{E B}); (\vec{B C}, \vec{B D})

$(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE})\;;\ (\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EB})\;;\ (\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD})$

(\vec{C B}, \vec{C D}); (\vec{E C}, \vec{E A}) ?

$(\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CD})\;;\ (\overrightarrow{EC}\;,\ \overrightarrow{EA})\ ?$

Exercice 14

On considère un losange

A B C D

$ABCD$ dont les diagonales se coupent en

O

$O$ et tel que :

(\vec{B A}, \vec{B D}) = - 54^{\circ} .

$(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD})=-54^{\circ}.$

Quelles sont les mesures principales en radians des angles orientés suivants :

(\vec{B A}, \vec{B D}); (\vec{B C}, \vec{B D}); (\vec{B D}, \vec{B C})

$(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BD})\;;\ (\overrightarrow{BC}\;,\ \overrightarrow{BD})\;;\ (\overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BC})$

(\vec{B A}, \vec{B C}); (\vec{D A}, \vec{D C}); (\vec{O C}, \vec{O B})

$(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC})\;;\ (\overrightarrow{DA}\;,\ \overrightarrow{DC})\;;\ (\overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OB})$

(\vec{O A}, \vec{O C}) ?

$(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC})\ ?$

Exercice 15

A B C

$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en

A

$A$ de sens indirect. On construit le triangle équilatéral

B C E

$BCE$ de manière que

E

$E$ appartienne au demi-plan de frontière

(B C)

$(BC)$ contenant

A .

$A.$

Quelles sont les mesures principales en radians des angles orientés suivants :

(\vec{A B}, \vec{A C}); (\vec{C B}, \vec{C E}); (\vec{C A}, \vec{C B})

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})\;;\ (\overrightarrow{CB}\;,\ \overrightarrow{CE})\;;\ (\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB})$

(\vec{B A}, \vec{B C}); (\vec{E A}, \vec{E C}); (\vec{C A}, \vec{C E})

$(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC})\;;\ (\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EC})\;;\ (\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CE})$

(\vec{E A}, \vec{E B}); (\vec{A E}, \vec{A B}) ?

$(\overrightarrow{EA}\;,\ \overrightarrow{EB})\;;\ (\overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AB})\ ?$

Exercice 16

On donne dans le plan orienté

P

$P$ , une demi-droite

O x .

$Ox.$

1) Construire les demi-droites

O y, O z, O t

$Oy\;,\ Oz\;,\ Ot$ telles que :

(O x, O y) = \frac{2 π}{3},

$(Ox\;,\ Oy)=\dfrac{2\pi}{3}\;,$

$\quad$

(O x, O z) = - \frac{5 π}{6},

$(Ox\;,\ Oz)=-\dfrac{5\pi}{6}\;,$

$\quad$

O x, O t) = \frac{π}{4}

$Ox\;,\ Ot)=\dfrac{\pi}{4}$

2) Calculer la mesure principale en radians des angles orientés

(O y, O z), (O z, O t), (O t, O y) .

$(Oy\;,\ Oz)\;,\ (Oz\;,\ Ot)\;,\ (Ot\;,\ Oy).$

Exercice 17

On considère un carré

A B C D

$ABCD$ tel que

(\vec{A B}, \vec{A D}) = \frac{π}{2} .

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}.$

1) Construire les demi-droites

A x, C y

$Ax\;,\ Cy$ et

C z

$Cz$ telles que :

(\vec{A B}, A x) = \frac{π}{6},

$(\overrightarrow{AB}\;,\ Ax)=\dfrac{\pi}{6}\;,$

$\quad$

(\vec{C B}, C y) = \frac{π}{6},

$(\overrightarrow{CB}\;,\ Cy)=\dfrac{\pi}{6}\;,$

$\quad$

(\vec{C B}, C z) = - \frac{π}{6}

$(\overrightarrow{CB}\;,\ Cz)=-\dfrac{\pi}{6}$

A x

$Ax$ et

C y

$Cy$ se coupent en

E .

$E.$ Démontrer que

(A x)

$(Ax)$ et

(C y)

$(Cy)$ sont orthogonales.

En déduire que le quadrilatère

A B E C

$ABEC$ est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

A x

$Ax$ et

C z

$Cz$ se coupent en

R .

$R.$ Démontrer que

R

$R$ est équidistant des points

A

$A$ et

C .

$C.$ En déduire que les points

B, R, D

$B\;,\ R\;,\ D$ sont alignés.

Exercice 18

On considère un rectangle

A B C D

$ABCD$ tel que

(\vec{A B}, \vec{A D}) = \frac{π}{2} .

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}.$ On note

α

$\alpha$ la mesure principale de l'angle orienté

(\vec{A B}, \vec{A C}) .

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}).$

1) Construire les demi-droites

D x et D y

$Dx\text{ et }Dy$ telles que :

(\vec{D A}, D x) = α et (\vec{D A}, D y) = - α

$(\overrightarrow{DA}\;,\ Dx)=\alpha\text{ et }(\overrightarrow{DA}\;,\ Dy)=-\alpha$

2) Démontrer que les droites

(D x)

$(Dx)$ et

(A C)

$(AC)$ sont orthogonales, et qu'il en est de même des droites

(D y)

$(Dy)$ et

(D B) .

$(DB).$

3) Les demi-droites

D x

$Dx$ et

D y

$Dy$ coupent respectivement

(A C)

$(AC)$ en

E

$E$ et

F .

$F.$

Démontrer que la droite

(B D)

$(BD)$ est tangente au cercle passant par les points

D, E, F .

$D\;,\ E\;,\ F.$ Démontrer de même que la droite

(D F)

$(DF)$ est tangente au cercle circonscrit au rectangle

A B C D .

$ABCD.$

4) Exprimer en fonction de

α

$\alpha$ la mesure des angles non orientés

E D F, D F E

$EDF\;,\ DFE$ et

D A E .

$DAE.$

Exercice 19

1) Soit

\cos t = \frac{\sqrt{2}}{4}

$\cos t=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ et

\sin t < 0.

$\sin t < 0.$ Calculer

\sin t

$\sin t$ et

\tan t .

$\tan t.$

2) Soit

t \in [\frac{π}{2}; π]

$t\in\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]$ et

\sin t = \frac{4}{5} .

$\sin t=\dfrac{4}{5}.$ Calculer

\cos t

$\cos t$ et

\tan t

$\tan t$

3) Sachant que

t \in [\frac{π}{2}; π]

$t\in\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]$ et que

\tan t = - \sqrt{3}

$\tan t=-\sqrt{3}$ , calculer

\cos t

$\cos t$ et

\sin t .

$\sin t.$

4) Sachant que

\sin \frac{π}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

$\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ , calculer

\sin (- \frac{π}{12})

$\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)$ et

\sin (\frac{23 π}{12})

$\sin\left(\dfrac{23\pi}{12}\right)$

5) Sachant que

\cos \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ , calculer

\cos (- \frac{π}{8})

$\cos\left(-\dfrac{\pi}{8}\right)$ et

\cos (\frac{15 π}{8})

$\cos\left(\dfrac{15\pi}{8}\right)$

Exercice 20 Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}$ et $\cos\dfrac{2\pi}{5}$

On considère un triangle

A B C

$ABC$ , isocèle en

A

$A$ , tel que

B C = a

$BC=a$ , et

\hat{B} = \frac{2 π}{5} rad .

$\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{5}\;\text{rad}.$ La bissectrice de l'angle

\hat{B}

$\widehat{B}$ coupe

[A C]

$[AC]$ en

D .

$D.$

1) Démontrer que les triangles

A B D

$ABD$ et

B C D

$BCD$ sont isocèles.

En déduire que :

D A = D B = a .

$DA=DB=a.$

2) Démontrer que :

A B = 2 a \cos \frac{π}{5}

$AB=2a\cos\dfrac{\pi}{5}$ et

C D = 2 a \cos \frac{2 π}{5} .

$CD=2a\cos\dfrac{2\pi}{5}.$

En déduire que :

\cos \frac{π}{5} - \cos \frac{2 π}{5} = \frac{1}{2} .

$\cos\dfrac{\pi}{5}-\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{1}{2}.$

3) Démontrer que :

B C = B D \cos \frac{π}{5} + C D \cos \frac{2 π}{5} .

$BC=BD\cos\dfrac{\pi}{5}+CD\cos\dfrac{2\pi}{5}.$

En déduire que :

\cos \frac{π}{5} \cos \frac{2 π}{5} = \frac{1}{4} .

$\cos\dfrac{\pi}{5}\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{1}{4}.$

4) On pose :

x = \cos \frac{π}{5}

$x=\cos\dfrac{\pi}{5}$ et

y = \cos \frac{2 π}{5} .

$y=\cos\dfrac{2\pi}{5}.$ On sait que

x - y = \frac{1}{2}

$x-y=\dfrac{1}{2}$ et

x y = \frac{1}{4} .

$xy=\dfrac{1}{4}.$

En utilisant

(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4 x y

$(x+y)^{2}=(x-y)^{2}+4xy$ , calculer

x + y

$x+y$ , et en déduire

x

$x$ et

y .

$y.$

(On trouvera que :

\cos \frac{π}{5} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}

$\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$ et

\cos \frac{2 π}{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}) .

$\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}).$

Exercice 21

Démontrer que, pour tout réel

t

$t$ :

(\cos t + \sin t)^{2} = 1 + 2 \cos t \sin t

$(\cos t+\sin t)^{2}=1+2\cos t\sin t$

(\cos t - \sin t)^{2} = 1 - 2 \cos t \sin t

$(\cos t-\sin t)^{2}=1-2\cos t\sin t$

3) (\cos t + \sin t)^{2} + (\cos t - \sin t)^{2} = 2

$3)\ (\cos t+\sin t)^{2}+(\cos t-\sin t)^{2}=2$

4) (\cos t + \sin t)^{2} - (\cos t - \sin t)^{2} = 4 \sin t \cos t

$4)\ (\cos t+\sin t)^{2}-(\cos t-\sin t)^{2}=4\sin t\cos t$

\sin^{4} t - \cos^{4} t = \sin^{2} t - \cos^{2} t

$\sin^{4}t-\cos^{4}t=\sin^{2}t-\cos^{2}t$

\sin^{4} t - \cos^{4} t + 2 \cos^{2} t = 1

$\sin^{4}t-\cos^{4}t+2\cos^{2}t=1$

Exercice 22

Exprimer en fonction de

\sin t

$\sin t$ et

\cos t

$\cos t$ les expressions suivantes :

A = \cos (t + π) + \cos (t + 2 π) + \cos (t - π) + \cos (t - 3 π)

$A=\cos(t+\pi)+\cos(t+2\pi)+\cos(t-\pi)+\cos(t-3\pi)$

B = \sin (t + π) + \sin (t + 2 π) + \sin (t - π) + \sin (t - 3 π)

$B=\sin(t+\pi)+\sin(t+2\pi)+\sin(t-\pi)+\sin(t-3\pi)$

C = \sin (t + \frac{π}{2}) + \cos (t - π) + \sin (t + \frac{3 π}{2}) + \cos (t + π)

$C=\sin\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos(t-\pi)+\sin\left(t+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\cos(t+\pi)$

D = \sin (\frac{3 π}{2} + t) + \cos (\frac{27 π}{2} - t) + \sin (3 π + t) - \cos (7 π - t)

$D=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)+\cos\left(\dfrac{27\pi}{2}-t\right)+\sin(3\pi+t)-\cos(7\pi-t)$

Exercice 23

Soit

A B C

$ABC$ un triangle isocèle à angles aigus

(A B = A C = a; \hat{A} = 2 α) .

$(AB=AC=a\;;\ \widehat{A}=2\alpha).$

1) Calculer

B C .

$BC.$

2) Calculer la hauteur

B H

$BH$ de deux façons différentes et en déduire la relation :

\sin 2 α = 2 \sin α \cos α

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

3) Calculer

A H

$AH$ et

C H

$CH$ et en déduire la relation :

c o s 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α

$cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha$

Exercice 24

Exprimer à l'aide de

\tan t

$\tan t$ les expressions :

X = \frac{\sin^{3} t - \cos^{3} t}{\sin t - \cos t};

$X=\dfrac{\sin^{3}t-\cos^{3}t}{\sin t-\cos t}\ ;$

$\quad$

Y = \cos^{2} t - \sin t \cos t;

$Y=\cos^{2}t-\sin t\cos t\ ;$

$\quad$

Z = \frac{\sin^{2} t + \sin t \cos t}{\sin^{2} t - \cos^{2} t}

$Z=\dfrac{\sin^{2}t+\sin t\cos t}{\sin^{2}t-\cos^{2}t}$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Assane (non vérifié)

lun, 04/29/2019 - 14:50

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Exclamation

Facile

répondre

Talla Diagne (non vérifié)

sam, 01/30/2021 - 19:36

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Je veux la correction

répondre

Diallo (non vérifié)

sam, 05/08/2021 - 01:45

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Correction correction

répondre

Ngagne Thiam (non vérifié)

ven, 02/19/2021 - 11:11

Permalien

Je trouve votre cité très

Je trouve votre cité très important . Je magnifie la clarté des exos

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Diallo (non vérifié)

sam, 05/08/2021 - 23:43

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Intéressant

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Anonyme (non vérifié)

ven, 04/22/2022 - 04:04

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Corrigés de l'exercice 20

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Anonyme (non vérifié)

sam, 03/30/2024 - 18:29

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C'est intéressant

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Joys (non vérifié)

sam, 03/22/2025 - 00:27

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Bien

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Joys (non vérifié)

sam, 03/22/2025 - 00:30

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Comprendre

Excellent

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Série d'exercices : Angles - Trigonométrie - 2nd

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Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20 Calcul de cosπ5cos⁡π5\cos\dfrac{\pi}{5} et cos2π5cos⁡2π5\cos\dfrac{2\pi}{5}

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23

Exercice 24

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Exercice 20 Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}$ et $\cos\dfrac{2\pi}{5}$