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Solution série d'exercices : Les fractions - 5e

Classe:

Cinquième

Exercice 1

1) Définition d'une fraction décimale.

On sait qu'en divisant une ou plusieurs parties de l'unité par

10

$10$ ,

100

$100$ ou

1000

$1000$ on obtient une fraction décimale.

Donc, une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est

10; 100; 1000 etc.

$10\;;\ 100\;;\ 1000\; \text{etc.}$

Exemple

\frac{4}{10}; \frac{35}{100} et \frac{25}{1000}

$\dfrac{4}{10}\;;\ \dfrac{35}{100}\;\text{ et }\dfrac{25}{1000}$ sont des fractions décimales.

2) Donnons une écriture fractionnaire de chacun des nombres décimaux suivant :

2.8; 0.75 et 1.534

$2.8\ ;\ 0.75\ \text{ et }\ 1.534$

On sait que si on a trois nombres

a; b

$a\;;\ b\$ et

c

$\ c$ tels que

\frac{a}{b} = c

$\dfrac{a}{b}=c$ alors, l'écriture

\frac{a}{b}

$\dfrac{a}{b}$ qui représente le résultat exact de la division de

a

$a$ par

b

$b$ est appelée écriture fractionnaire de

c .

$c.$

On a :

\frac{14}{5} = 2.8

$\dfrac{14}{5}=2.8$

Donc, une écriture fractionnaire de

2.8

$2.8$ est

\frac{14}{5}

$\dfrac{14}{5}$

De même,

\frac{3}{4} = 0.75

$\dfrac{3}{4}=0.75$

Ainsi, une écriture fractionnaire de

0.75

$0.75$ est

\frac{3}{4}

$\dfrac{3}{4}$

1.534

$1.534$ est le résultat exact de la division de

7.67

$7.67$ par

5

$5$

Par suite, une écriture fractionnaire de

1.534

$1.534$ est

\frac{7.67}{5}

$\dfrac{7.67}{5}$

Remarque : Toute fraction est une écriture fractionnaire d'un nombre mais, toute écriture fractionnaire n'est pas forcément une fraction.

Exemple

\frac{1}{10}

$\dfrac{1}{10}$ est une fraction mais également une écriture fractionnaire de

0.1

$0.1$

Par contre,

\frac{9}{1.2}

$\dfrac{9}{1.2}$ est une écriture fractionnaire de

7.5

$7.5$ mais n'est pas une fraction car le dénominateur n'est pas un nombre entier.

Exercice 2

1) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant les caractères de divisibilités

Soit la fraction suivante :

\frac{450}{375}

$\dfrac{450}{375}$

On voit que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 3 donc,

\begin{array}{lcl} \frac{450}{375} & = & \frac{450 \div 3}{375 \div 3} \\ = & \frac{150}{125} \end{array}

$\begin{array}{lcl}\dfrac{450}{375}&=&\dfrac{450\div 3}{375\div 3}\\ \\&=&\dfrac{150}{125}\end{array}$

Aussi, le numérateur et le dénominateur de la fraction

\frac{150}{125}

$\dfrac{150}{125}$ sont divisibles par 5.

Par suite,

\begin{array}{lcl} \frac{150}{125} & = & \frac{150 \div 5}{125 \div 5} \\ = & \frac{30}{25} \end{array}

$\begin{array}{lcl}\dfrac{150}{125}&=&\dfrac{150\div 5}{125\div 5}\\ \\&=&\dfrac{30}{25}\end{array}$

De plus, le numérateur et le dénominateur de la fraction

\frac{150}{125}

$\dfrac{150}{125}$ étant divisibles par 5 alors,

\begin{array}{lcl} \frac{30}{25} & = & \frac{30 \div 5}{25 \div 5} \\ = & \frac{6}{5} \end{array}

$\begin{array}{lcl}\dfrac{30}{25}&=&\dfrac{30\div 5}{25\div 5}\\ \\&=&\dfrac{6}{5}\end{array}$

Par conséquent,

\frac{450}{375} = \frac{6}{5}

$\boxed{\dfrac{450}{375}=\dfrac{6}{5}}$

On donne la fraction suivante :

\frac{256}{224}

$\dfrac{256}{224}$

On constate que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 32 donc,

\begin{array}{lcl} \frac{256}{224} & = & \frac{256 \div 32}{224 \div 32} \\ = & \frac{8}{7} \end{array}

$\begin{array}{lcl}\dfrac{256}{224}&=&\dfrac{256\div 32}{224\div 32}\\ \\&=&\dfrac{8}{7}\end{array}$

Ainsi,

\frac{256}{224} = \frac{8}{7}

$\boxed{\dfrac{256}{224}=\dfrac{8}{7}}$

Soit la fraction suivante :

\frac{700}{250}

$\dfrac{700}{250}$

Comme le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 50 alors,

\begin{array}{lcl} \frac{700}{250} & = & \frac{700 \div 50}{250 \div 50} \\ = & \frac{14}{5} \end{array}

$\begin{array}{lcl}\dfrac{700}{250}&=&\dfrac{700\div 50}{250\div 50}\\ \\&=&\dfrac{14}{5}\end{array}$

D'où,

\frac{700}{250} = \frac{14}{5}

$\boxed{\dfrac{700}{250}=\dfrac{14}{5}}$

2) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant la décomposition en produit de facteurs

Soit la fraction suivante :

\frac{450}{375}

$\dfrac{450}{375}$

Décomposons en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction.

On a :

\begin{array}{cc} 450 & 3 \\ 150 & 3 \\ 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \begin{array}{cc} 375 & 3 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array}

$\begin{array}{c|c} 450&3\\ 150&3\\ 50&2\\ 25&5\\ 5&5\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 375&3\\ 125&5\\ 25&5\\ 5&5\\ 1&\\ \end{array}$

Donc,

450 = 3^{2} \times 2 \times 5^{2} \times 1

$450=3^{2}\times 2\times 5^{2}\times 1\$ et

375 = 3 \times 5^{3} \times 1

$\ 375=3\times 5^{3}\times 1$

Ainsi, la fraction

\frac{450}{375}

$\dfrac{450}{375}$ peut s'écrire :

\begin{array}{rcl} \frac{450}{375} & = & \frac{3^{2} \times 2 \times 5^{2} \times 1}{3 \times 5^{3} \times 1} \\ = & \frac{3^{2 - 1} \times 2}{5^{3 - 2}} \\ = & \frac{3 \times 2}{5} \\ = & \frac{6}{5} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{450}{375}&=&\dfrac{3^{2}\times 2\times 5^{2}\times 1}{3\times 5^{3}\times 1}\\ \\&=&\dfrac{3^{2-1}\times 2}{5^{3-2}}\\ \\&=&\dfrac{3\times 2}{5}\\ \\&=&\dfrac{6}{5}\end{array}$

Par suite,

\frac{450}{375} = \frac{6}{5}

$\boxed{\dfrac{450}{375}=\dfrac{6}{5}}$

Considérons la fraction suivante :

\frac{256}{224}

$\dfrac{256}{224}$

En décomposant en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction, on obtient :

\begin{array}{cc} 256 & 2 \\ 128 & 2 \\ 64 & 2 \\ 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 \end{array} \begin{array}{cc} 224 & 2 \\ 112 & 2 \\ 56 & 2 \\ 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 \end{array}

$\begin{array}{c|c} 256&2\\ 128&2\\ 64&2\\ 32&2\\ 16&2\\ 8&2\\ 4&2\\ 2&2\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 224&2\\ 112&2\\ 56&2\\ 28&2\\ 14&2\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}$

Ainsi,

256 = 2^{8} \times 1

$256=2^{8}\times 1\$ et

224 = 2^{5} \times 7 \times 1

$\ 224=2^{5}\times 7\times 1$

Par suite,

\begin{array}{rcl} \frac{256}{224} & = & \frac{2^{8} \times 1}{2^{5} \times 7 \times 1} \\ = & \frac{2^{8 - 5}}{7} \\ = & \frac{2^{3}}{7} \\ = & \frac{8}{7} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{256}{224}&=&\dfrac{2^{8}\times 1}{2^{5}\times 7\times 1}\\ \\&=&\dfrac{2^{8-5}}{7}\\ \\&=&\dfrac{2^{3}}{7}\\ \\&=&\dfrac{8}{7}\end{array}$

D'où,

\frac{256}{224} = \frac{8}{7}

$\boxed{\dfrac{256}{224}=\dfrac{8}{7}}$

3) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant le

P G C D .

$PGCD.$

En effet, pour rendre irréductible une fraction, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par leur

P G C D .

$PGCD.$

Donc, pour la fraction

\frac{360}{200}

$\dfrac{360}{200}$ , on a :

\begin{array}{rcl} 360 & = & 2^{3} \times 3^{2} \times 5 \\ 200 & = & 2^{3} \times 5^{2} \end{array}} alors, P G C D (360; 200) = 2^{3} \times 5 = 40

$\left.\begin{array}{rcl} 360&=&2^{3}\times 3^{2}\times 5\\200&=&2^{3}\times 5^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ alors, }\ PGCD(360\;;\ 200)=2^{3}\times 5=40$

Ainsi,

\frac{360}{200} = \frac{360 \div 40}{200 \div 40} = \frac{9}{5}

$\dfrac{360}{200}=\dfrac{360\div 40}{200\div 40}=\dfrac{9}{5}$

D'où,

\frac{360}{200} = \frac{9}{5}

$\boxed{\dfrac{360}{200}=\dfrac{9}{5}}$

Pour la fraction

\frac{450}{72}

$\dfrac{450}{72}$ , on obtient :

\begin{array}{rcl} 450 & = & 2 \times 3^{2} \times 5^{2} \\ 72 & = & 2^{3} \times 3^{2} \end{array}} donc, P G C D (450; 72) = 2 \times 3^{2} = 18

$\left.\begin{array}{rcl} 450&=&2\times 3^{2}\times 5^{2}\\72&=&2^{3}\times 3^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ donc, }\ PGCD(450\;;\ 72)=2\times 3^{2}=18$

Par suite,

\frac{450}{72} = \frac{450 \div 18}{72 \div 18} = \frac{25}{4}

$\dfrac{450}{72}=\dfrac{450\div 18}{72\div 18}=\dfrac{25}{4}$

D'où,

\frac{450}{72} = \frac{25}{4}

$\boxed{\dfrac{450}{72}=\dfrac{25}{4}}$

De même pour la fraction

\frac{735}{225}

$\dfrac{735}{225}$ , on trouve :

\begin{array}{rcl} 735 & = & 3 \times 5 \times 7^{2} \\ 225 & = & 3^{2} \times 5^{2} \end{array}} donc, P G C D (735; 225) = 3 \times 5 = 15

$\left.\begin{array}{rcl} 735&=&3\times 5\times 7^{2}\\225&=&3^{2}\times 5^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ donc, }\ PGCD(735\;;\ 225)=3\times 5=15$

Par suite,

\frac{735}{225} = \frac{735 \div 15}{225 \div 15} = \frac{49}{15}

$\dfrac{735}{225}=\dfrac{735\div 15}{225\div 15}=\dfrac{49}{15}$

D'où,

\frac{735}{225} = \frac{49}{15}

$\boxed{\dfrac{735}{225}=\dfrac{49}{15}}$

Exercice 3

Comparons en remplaçant les pointillés par :

<

$<\$ ou

> .

$\ >.$

On sait que : pour une fraction si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors, la fraction est plus petite que 1 et si le numérateur est égal au dénominateur alors, la fraction est égale à 1. Donc,

\frac{35}{7} > 1

$\dfrac{35}{7}>1\$ et

\frac{7}{35} < 1

$\ \dfrac{7}{35}<1\$ car

35 > 7

$\ 35>7$

\frac{13}{23} < 1

$\dfrac{13}{23}<1\$ car

13 < 23

$\ 13<23$

\frac{3.5}{6} < 1

$\dfrac{3.5}{6}<1\$ du fait que

3.5 < 6

$\ 3.5<6$

\frac{19}{29} < 1

$\dfrac{19}{29}<1\$ parce que

19 < 29

$\ 19<29$

\frac{34}{19} > 1

$\dfrac{34}{19}>1\$ car

34 > 19

$\ 34>19$

Exercice 4

Comparons en remplaçant les pointillés par :

<

$<\$ ou

> .

$\ >.$

a) On sait que : pour deux fractions ayant le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur. Donc,

\frac{6}{7} > \frac{6}{13}

$\dfrac{6}{7}>\dfrac{6}{13}\$ car

7 < 13

$\ 7<13$

\frac{14}{19} < \frac{14}{9}

$\dfrac{14}{19}<\dfrac{14}{9}\$ car

19 > 9

$\ 19>9$

\frac{11}{3.5} > \frac{11}{3.11}

$\dfrac{11}{3.5}>\dfrac{11}{3.11}\$ car

3.5 < 3.11

$\ 3.5<3.11$

b) De même, on sait que : pour deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur. Donc,

\frac{7}{6} < \frac{13}{6}

$\dfrac{7}{6}<\dfrac{13}{6}\$ parce que

7 < 13

$7<13$

\frac{11}{16} > \frac{3}{16}

$\dfrac{11}{16}>\dfrac{3}{16}\$ car

11 > 3

$\ 11>3$

\frac{17}{70} < \frac{47}{70}

$\dfrac{17}{70}<\dfrac{47}{70}\$ du fait que

17 < 47

$\ 17<47$

Exercice 5

L'âge de Anna représente

\frac{7}{9}

$\dfrac{7}{9}$ de celui de Thierno et l'âge de Jacques représente

\frac{5}{9}

$\dfrac{5}{9}$ de celui de Thierno. Comparons l'âge de Anna et de Jacques.

Soit

x

$x$ l'âge de Thierno.

Comme l'âge de Anna représente

\frac{7}{9}

$\dfrac{7}{9}$ de celui de Thierno alors, on peut écrire :

âge de Anna = \frac{7}{9} x = \frac{7 x}{9}

$\text{âge de Anna}=\dfrac{7}{9}x=\dfrac{7x}{9}$

De même, Comme l'âge de Jacques représente

\frac{5}{9}

$\dfrac{5}{9}$ de celui de Thierno alors, on peut écrire :

âge de Jacques = \frac{5}{9} x = \frac{5 x}{9}

$\text{âge de Jacques}=\dfrac{5}{9}x=\dfrac{5x}{9}$

Donc, pour comparer l'âge de Anna et l'âge de Jacques, on compare les fractions

\frac{7 x}{9}

$\dfrac{7x}{9}\$ et

\frac{5 x}{9}

$\ \dfrac{5x}{9}$

Or, on sait que :

7 x > 5 x

$7x>5x$ , donc :

\frac{7 x}{9} > \frac{5 x}{9}

$\dfrac{7x}{9}>\dfrac{5x}{9}\$ car les deux fractions ont même dénominateur.

Par conséquent, on conclut que Anna est plus âgée que Jacques ou tout simplement, l'âge de Anna est supérieur à celui de Jacques.

Exercice 6

Comparons chacune des fractions suivantes en utilisant l'unité

\frac{7}{11}

$\dfrac{7}{11}\$ et

\frac{13}{4}

$\ \dfrac{13}{4}$

On a :

\frac{7}{11} < 1

$\dfrac{7}{11}<1\$ et

\frac{13}{4} > 1

$\ \dfrac{13}{4}>1$

Ainsi,

\frac{7}{11} < 1 < \frac{13}{4}

$\dfrac{7}{11}<1<\dfrac{13}{4}$

D'où,

\frac{7}{11} < \frac{13}{4}

$\boxed{\dfrac{7}{11}<\dfrac{13}{4}}$

\frac{11}{8}

$\dfrac{11}{8}\$ et

\frac{8}{11}

$\ \dfrac{8}{11}$

On sait que :

\frac{11}{8} > 1

$\dfrac{11}{8}>1\$ et

\frac{8}{11} < 1

$\ \dfrac{8}{11}<1$

Donc,

\frac{8}{11} < 1 < \frac{11}{8}

$\dfrac{8}{11}<1<\dfrac{11}{8}$

Par suite,

\frac{11}{8} > \frac{8}{11}

$\boxed{\dfrac{11}{8}>\dfrac{8}{11}}$

\frac{134}{25}

$\dfrac{134}{25}\$ et

\frac{1}{3}

$\ \dfrac{1}{3}$

On a :

\frac{134}{25} > 1

$\dfrac{134}{25}>1\$ et

\frac{1}{3} < 1

$\ \dfrac{1}{3}<1$

alors,

\frac{1}{3} < 1 < \frac{134}{25}

$\dfrac{1}{3}<1<\dfrac{134}{25}$

D'où,

\frac{134}{25} > \frac{1}{3}

$\boxed{\dfrac{134}{25}>\dfrac{1}{3}}$

Exercice 7

1) Montrons que

1029

$1029$ est un multiple de

147

$147$

On a :

1029 \div 147 = 7 reste 0

$1029\div 147=7\text{ reste }0$

Alors,

1029 = 147 \times 7 + 0 = 147 \times 7

$1029=147\times 7+0=147\times 7$

Donc,

1029

$1029$ est un multiple de

147

$147$

2) Calculons

P G D C (1029, 147)

$PGDC(1029\;,\ 147)\$ et

P P C M (1029; 147)

$\ PPCM(1029\;;\ 147)$

-

$-\$ Calcul de

P G D C (1029, 147)

$PGDC(1029\;,\ 147)$

En décomposant

1029

$1029\$ et

147

$\ 147$ en produit de facteurs premiers, on obtient :

\begin{array}{cc} 1029 & 3 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 \end{array} \begin{array}{cc} 147 & 3 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 \end{array}

$\begin{array}{c|c} 1029&3\\ 343&7\\ 49&7\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 147&3\\ 49&7\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}$

Donc,

1029 = 7^{3} \times 3

$1029=7^{3}\times 3\$ et

147 = 7^{2} \times 3

$\ 147=7^{2}\times 3$

Par suite,

P G D C (1029, 147) = 7^{2} \times 3 = 147

$PGDC(1029\;,\ 147)=7^{2}\times 3=147$

D'où,

P G D C (1029, 147) = 147

$\boxed{PGDC(1029\;,\ 147)=147}$

-

$-\$ Calcul de

P P M C (1029, 147)

$PPMC(1029\;,\ 147)$

En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de

1029

$1029\$ et

147

$\ 147$ , on obtient :

P P C M (1029, 147) = 7^{3} \times 3 = 1029

$PPCM(1029\;,\ 147)=7^{3}\times 3=1029$

Donc,

P P C M (1029, 147) = 1029

$\boxed{PPCM(1029\;,\ 147)=1029}$

On remarque que le plus grand diviseur commun de

1029

$1029$ et

147

$147$ est

147

$147$ et le plus petit commun multiple de ces deux nombre cités ci-haut est

1029

$1029$

Exercice 8

1) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre croisant

\frac{3}{7}; \frac{1}{7}; \frac{8}{7}; \frac{13.5}{7}; \frac{24}{7}

$\dfrac{3}{7}\;;\ \dfrac{1}{7}\;;\ \dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{13.5}{7}\;;\ \dfrac{24}{7}$ et

\frac{1.1}{7}

$\dfrac{1.1}{7}$

En appliquant la règle de comparaison de fractions de même dénominateur, on obtient :

\frac{1}{7} < \frac{1.1}{7} < \frac{3}{7} < \frac{8}{7} < \frac{13.5}{7} < \frac{24}{7}

$\dfrac{1}{7}<\dfrac{1.1}{7}<\dfrac{3}{7}<\dfrac{8}{7}<\dfrac{13.5}{7}<\dfrac{24}{7}$

D'où, le rangement suivant :

\frac{1}{7}; \frac{1.1}{7}; \frac{3}{7}; \frac{8}{7}; \frac{13.5}{7}; \frac{24}{7}

$\dfrac{1}{7}\;;\ \dfrac{1.1}{7}\;;\ \dfrac{3}{7}\;;\ \dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{13.5}{7}\;;\ \dfrac{24}{7}$

2) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre décroissant

\frac{15}{1}; \frac{15}{7.4}; \frac{15}{3}; \frac{15}{2}; \frac{15}{20}

$\dfrac{15}{1}\;;\ \dfrac{15}{7.4}\;;\ \dfrac{15}{3}\;;\ \dfrac{15}{2}\;;\ \dfrac{15}{20}$ et

\frac{15}{7.14}

$\dfrac{15}{7.14}$

En appliquant la règle de comparaison de fractions de même numérateur, on obtient :

\frac{15}{20} < \frac{15}{7.4} < \frac{15}{7.14} < \frac{15}{3} < \frac{15}{2} < \frac{15}{1}

$\dfrac{15}{20}<\dfrac{15}{7.4}<\dfrac{15}{7.14}<\dfrac{15}{3}<\dfrac{15}{2}<\dfrac{15}{1}$

D'où, le rangement suivant, dans l'ordre décroissant

\frac{15}{1}; \frac{15}{2}; \frac{15}{3}; \frac{15}{7.14}; \frac{15}{7.4}; \frac{15}{20}

$\dfrac{15}{1}\;;\ \dfrac{15}{2}\;;\ \dfrac{15}{3}\;;\ \dfrac{15}{7.14}\;;\ \dfrac{15}{7.4}\;;\ \dfrac{15}{20}$

Exercice 9

1) Mettons chacune des fractions suivantes sous la forme de

q + \frac{r}{b}

$q+\dfrac{r}{b}$

* \frac{85}{7}

$\ast\ \dfrac{85}{7}$

On a :

85 \div 7 = 12 reste 1

$85\div 7=12\text{ reste }1$ alors,

85 = 12 \times 7 + 1

$85=12\times 7+1$

Donc,

\begin{array}{rcl} \frac{85}{7} & = & \frac{12 \times 7 + 1}{7} \\ = & \frac{12 \times 7}{7} + \frac{1}{7} \\ = & 12 + \frac{1}{7} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{85}{7}&=&\dfrac{12\times 7+1}{7}\\ \\&=&\dfrac{12\times 7}{7}+\dfrac{1}{7}\\ \\&=&12+\dfrac{1}{7}\end{array}$

D'où,

\frac{85}{7} = 12 + \frac{1}{7}

$\boxed{\dfrac{85}{7}=12+\dfrac{1}{7}}$

* \frac{13}{17}

$\ast\ \dfrac{13}{17}$

Soit :

13 \div 17 = 0 reste 13

$13\div 17=0\text{ reste }13$ alors,

\frac{13}{17} = 0 + \frac{13}{17}

$\dfrac{13}{17}=0+\dfrac{13}{17}$

Donc,

\frac{13}{17} = 0 + \frac{13}{17}

$\boxed{\dfrac{13}{17}=0+\dfrac{13}{17}}$

* \frac{65}{25}

$\ast\ \dfrac{65}{25}$

On a :

65 \div 25 = 2 reste 15

$65\div 25=2\text{ reste }15$ donc,

65 = 2 \times 25 + 15

$65=2\times 25+15$

Par suite,

\begin{array}{rcl} \frac{65}{25} & = & \frac{2 \times 25 + 15}{25} \\ = & \frac{2 \times 25}{25} + \frac{15}{25} \\ = & 2 + \frac{3 \times 5}{5 \times 5} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{65}{25}&=&\dfrac{2\times 25+15}{25}\\ \\&=&\dfrac{2\times 25}{25}+\dfrac{15}{25}\\ \\&=&2+\dfrac{3\times 5}{5\times 5}\end{array}$

D'où,

\frac{65}{25} = 2 + \frac{3}{5}

$\boxed{\dfrac{65}{25}=2+\dfrac{3}{5}}$

* \frac{20}{3}

$\ast\ \dfrac{20}{3}$

On sait que :

20 \div 3 = 6 reste 2

$20\div 3=6\text{ reste }2$ alors,

20 = 6 \times 3 + 2

$20=6\times 3+2$

Donc,

\begin{array}{rcl} \frac{20}{3} & = & \frac{6 \times 3 + 2}{3} \\ = & \frac{6 \times 3}{3} + \frac{2}{3} \\ = & 6 + \frac{2}{3} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{20}{3}&=&\dfrac{6\times 3+2}{3}\\ \\&=&\dfrac{6\times 3}{3}+\dfrac{2}{3}\\ \\&=&6+\dfrac{2}{3}\end{array}$

Par suite,

\frac{20}{3} = 6 + \frac{2}{3}

$\boxed{\dfrac{20}{3}=6+\dfrac{2}{3}}$

* \frac{38}{3}

$\ast\ \dfrac{38}{3}$

On a :

38 \div 3 = 12 reste 2

$38\div 3=12\text{ reste }2$ donc,

38 = 12 \times 3 + 2

$38=12\times 3+2$

Ainsi,

\begin{array}{rcl} \frac{38}{3} & = & \frac{12 \times 3 + 2}{3} \\ = & \frac{12 \times 3}{3} + \frac{2}{3} \\ = & 12 + \frac{2}{3} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{38}{3}&=&\dfrac{12\times 3+2}{3}\\ \\&=&\dfrac{12\times 3}{3}+\dfrac{2}{3}\\ \\&=&12+\dfrac{2}{3}\end{array}$

D'où,

\frac{38}{3} = 12 + \frac{2}{3}

$\boxed{\dfrac{38}{3}=12+\dfrac{2}{3}}$

2) Rangeons ces fractions dans l'ordre décroissant

En utilisant les résultats précédents tout en appliquant les règles de comparaison de fractions, on obtient :

\frac{38}{3} > \frac{85}{7} > \frac{20}{3} > \frac{65}{25} > \frac{13}{17}

$\dfrac{38}{3}>\dfrac{85}{7}>\dfrac{20}{3}>\dfrac{65}{25}>\dfrac{13}{17}$

D'où, le rangement suivant :

\frac{38}{3}; \frac{85}{7}; \frac{20}{3}; \frac{65}{25}; \frac{13}{17}

$\dfrac{38}{3}\;;\ \dfrac{85}{7}\;;\ \dfrac{20}{3}\;;\ \dfrac{65}{25}\;;\ \dfrac{13}{17}$

Exercice 10

1) Donnons un encadrement de

\frac{22}{7}

$\dfrac{22}{7}$ par deux entiers consécutifs

On a :

\frac{22}{7} ≃ 3.142857

$\dfrac{22}{7}\simeq 3.142857$ or,

3 < 3.142857 < 4

$3<3.142857<4$

Donc,

3 < \frac{22}{7} < 4

$\boxed{3<\dfrac{22}{7}<4}$

2) Donnons un encadrement de

\frac{20}{3}

$\dfrac{20}{3}$ à

0.1

$0.1$ prés

Rappel :

\frac{20}{3} ≃ 6.6666666...6

$\dfrac{20}{3}\simeq 6.6666666...6$

Comme

6.6 < 6.66666666 < 6.7

$6.6<6.66666666<6.7$ alors,

6.6 < \frac{20}{3} < 6.7

$6.6<\dfrac{20}{3}<6.7$

D'où, l'encadrement suivant :

6.6 < \frac{20}{3} < 6.7

$\boxed{6.6<\dfrac{20}{3}<6.7}$

3) Donnons un encadrement de

\frac{99}{13}

$\dfrac{99}{13}$ par deux décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule

Soit :

\frac{99}{13} ≃ 7.615384 \dots

$\dfrac{99}{13}\simeq 7.615384\ldots$ or,

7.61 < 7.615384 < 7.62

$7.61<7.615384<7.62$

Donc,

7.61 < \frac{99}{13} < 7.62

$\boxed{7.61<\dfrac{99}{13}<7.62}$

Exercice 11

1) Trouvons une fraction égale à

\frac{5}{7}

$\dfrac{5}{7}$ ayant pour dénominateur :

49

$49\$ ;

77

$77$

On a :

49 \div 7 = 7

$49\div 7=7$ donc, pour trouver une fraction égale à

\frac{5}{7}

$\dfrac{5}{7}$ et ayant pour dénominateur

49

$49$ il suffit de multiplier par

7

$7$ le numérateur et le dénominateur de la fraction

\frac{5}{7}

$\dfrac{5}{7}$

On obtient alors :

\frac{5}{7} \times \frac{7}{7} = \frac{35}{49}

$\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{7}=\dfrac{35}{49}$

D'où,

\frac{35}{49} = \frac{5}{7}

$\boxed{\dfrac{35}{49}=\dfrac{5}{7}}$

De la même manière, on voit que :

77 \div 7 = 11

$77\div 7=11$ donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction

\frac{5}{7}

$\dfrac{5}{7}$ par

11

$11$ on obtient une fraction égale à

\frac{5}{7}

$\dfrac{5}{7}$ et ayant pour dénominateur

77

$77$

Ainsi,

\frac{5}{7} \times \frac{11}{11} = \frac{55}{77}

$\dfrac{5}{7}\times\dfrac{11}{11}=\dfrac{55}{77}$

D'où,

\frac{55}{77} = \frac{5}{7}

$\boxed{\dfrac{55}{77}=\dfrac{5}{7}}$

2) On constate que

88

$88$ n'est pas divisible par

7

$7$ donc, on ne peut pas trouver une fraction égale à

\frac{5}{7}

$\dfrac{5}{7}$ ayant pour dénominateur

88.

$88.$

Exercice 12

Calculons puis rendons irréductible

A = \frac{14}{15} + \frac{4}{15}

$A=\dfrac{14}{15}+\dfrac{4}{15}$

On voit que

A

$A$ est l'addition de deux fractions de même dénominateur donc, le résultat sera une fraction de même dénominateur et de numérateur la somme des numérateurs des fractions considérées.

Ainsi,

A = \frac{14}{15} + \frac{4}{15} = \frac{18}{15}

$A=\dfrac{14}{15}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{18}{15}$

Or,

P G C D (18; 15) = 3

$PGCD(18\;;\ 15)=3$ donc, on peut rendre irréductible

A

$A$ en divisant le numérateur et le dénominateur par

3.

$3.$

Par suite,

A = \frac{18 \div 3}{15 \div 3} = \frac{6}{5}

$A=\dfrac{18\div 3}{15\div 3}=\dfrac{6}{5}$

D'où,

A = \frac{6}{5}

$\boxed{A=\dfrac{6}{5}}$

De la même manière, on obtient :

B = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{2 + 4 + 8}{3} = \frac{14}{3}

$B=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{2+4+8}{3}=\dfrac{14}{3}$

Comme

P G C D (14; 3) = 1

$PGCD(14\;;\ 3)=1$ alors, la fraction

\frac{14}{3}

$\dfrac{14}{3}$ est irréductible.

D'où,

B = \frac{14}{3}

$\boxed{B=\dfrac{14}{3}}$

Soit :

C = \frac{4}{5} + \frac{4}{7}

$C=\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{7}$

On remarque

C

$C$ est l'addition de deux fractions de même numérateur mais de dénominateur différent.

Donc, pour calculer

C

$C$ on réduit au même dénominateur. Le dénominateur commun sera le

P P C M (5; 7) = 35

$PPCM(5\;;\ 7)=35$

Ainsi, on obtient :

\begin{array}{rcl} C & = & \frac{4 \times 7}{5 \times 7} + \frac{4 \times 5}{7 \times 5} \\ = & \frac{28}{35} + \frac{20}{35} \\ = & \frac{48}{35} \end{array}

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4\times 7}{5\times 7}+\dfrac{4\times 5}{7\times 5}\\ \\&=&\dfrac{28}{35}+\dfrac{20}{35}\\ \\&=&\dfrac{48}{35}\end{array}$

Or,

P G C D (48; 35) = 1

$PGCD(48\;;\ 35)=1$ donc, la fraction

\frac{48}{35}

$\dfrac{48}{35}$ est irréductible.

D'où,

C = \frac{48}{35}

$\boxed{C=\dfrac{48}{35}}$

A = \frac{14}{15} - \frac{4}{15}

$A=\dfrac{14}{15}-\dfrac{4}{15}$

A

$A$ est la différence de deux fractions de même dénominateur donc, pour calculer

A

$A$ on fait la différence des numérateurs et on conserve le dénominateur.

Ainsi,

A = \frac{14 - 4}{15} = \frac{10}{15}

$A=\dfrac{14-4}{15}=\dfrac{10}{15}$

Or,

P G C D (10; 15) = 5

$PGCD(10\;;\ 15)=5$ donc, on peut rendre irréductible la fraction

\frac{10}{15}

$\dfrac{10}{15}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par

5.

$5.$

Par suite,

A = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}

$A=\dfrac{10\div 5}{15\div 5}=\dfrac{2}{3}$

D'où,

A = \frac{2}{3}

$\boxed{A=\dfrac{2}{3}}$

Soit :

B = \frac{7}{5} + \frac{3}{5} - \frac{2}{5}

$B=\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}$

Dans l'expression de

B

$B$ , on remarque que les fractions ont tous le même dénominateur donc, on effectue les opérations sur les numérateurs et on conserve le dénominateur.

Ainsi,

\begin{array}{rcl} B & = & \frac{7}{5} + \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \\ = & \frac{7 + 3 - 2}{5} \\ = & \frac{8}{5} \end{array}

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\\ \\&=&\dfrac{7+3-2}{5}\\ \\&=&\dfrac{8}{5}\end{array}$

Comme,

P G C D (8; 5) = 1

$PGCD(8\;;\ 5)=1$ alors, la fraction

\frac{8}{5}

$\dfrac{8}{5}$ est irréductible.

D'où,

B = \frac{8}{5}

$\boxed{B=\dfrac{8}{5}}$

On donne :

C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}

$C=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}$

Comme les fractions de

C

$C$ ont même dénominateur alors,

C = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1

$C=\dfrac{3-1}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

Par suite,

C = 1

$\boxed{C=1}$

3) Soit :

A = \frac{7}{4} \times \frac{2}{21}

$A=\dfrac{7}{4}\times\dfrac{2}{21}$

On a :

\begin{array}{rcl} A & = & \frac{7}{4} \times \frac{2}{21} \\ = & \frac{7 \times 2}{4 \times 21} \\ = & \frac{14}{84} \end{array}

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{7}{4}\times\dfrac{2}{21}\\ \\&=&\dfrac{7\times 2}{4\times 21}\\ \\&=&\dfrac{14}{84}\end{array}$

Or,

P G C D (14; 84) = 14

$PGCD(14\;;\ 84)=14$ donc, on peut rendre irréductible la fraction

\frac{14}{84}

$\dfrac{14}{84}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par

14.

$14.$

Ainsi,

A = \frac{14 \div 14}{84 \div 14} = \frac{1}{6}

$A=\dfrac{14\div 14}{84\div 14}=\dfrac{1}{6}$

Par suite,

A = \frac{1}{6}

$\boxed{A=\dfrac{1}{6}}$

Soit :

B = 20 \times \frac{7}{5} \times \frac{3}{4}

$B=20\times\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{4}$

Alors :

\begin{array}{rcl} B & = & 20 \times \frac{7}{5} \times \frac{3}{4} \\ = & \frac{20 \times 7 \times 3}{5 \times 4} \\ = & \frac{420}{20} \end{array}

$\begin{array}{rcl} B&=&20\times\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{4}\\ \\&=&\dfrac{20\times 7\times 3}{5\times 4}\\ \\&=&\dfrac{420}{20}\end{array}$

Comme

P G C D (420; 20) = 20

$PGCD(420\;;\ 20)=20$ alors, on peut rendre irréductible la fraction

\frac{420}{20}

$\dfrac{420}{20}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par

20.

$20.$

Donc,

B = \frac{420 \div 20}{20 \div 20} = \frac{21}{1}

$B=\dfrac{420\div 20}{20\div 20}=\dfrac{21}{1}$

D'où,

B = \frac{21}{1} = 21

$\boxed{B=\dfrac{21}{1}=21}$

Soit :

C = \frac{7}{5} \times \frac{3}{14} \times \frac{25}{9}

$C=\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{14}\times\dfrac{25}{9}$

Alors,

\begin{array}{rcl} C & = & \frac{7}{5} \times \frac{3}{14} \times \frac{25}{9} \\ = & \frac{7 \times 3 \times 25}{5 \times 14 \times 9} \\ = & \frac{525}{630} \end{array}

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{14}\times\dfrac{25}{9}\\ \\&=&\dfrac{7\times 3\times 25}{5\times 14\times 9}\\ \\&=&\dfrac{525}{630}\end{array}$

Or,

P G C D (525; 630) = 105

$PGCD(525\;;\ 630)=105$ donc, on peut rendre irréductible la fraction

\frac{525}{630}

$\dfrac{525}{630}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre

105.

$105.$

Ce qui donne alors,

C = \frac{525 \div 105}{630 \div 105} = \frac{5}{6}

$C=\dfrac{525\div 105}{630\div 105}=\dfrac{5}{6}$

Ainsi,

C = \frac{5}{6}

$\boxed{C=\dfrac{5}{6}}$

Exercice 13

Calculons puis rendons irréductible

A = 4 + \frac{3}{5}

$A=4+\dfrac{3}{5}$

A

$A$ peut s'écrire sous la forme :

A = \frac{4}{1} + \frac{3}{5}

$A=\dfrac{4}{1}+\dfrac{3}{5}$

On obtient alors,

\begin{array}{rcl} A & = & \frac{4}{1} + \frac{3}{5} \\ = & \frac{4 \times 5}{1 \times 5} + \frac{3 \times 1}{5 \times 1} \\ = & \frac{20}{5} + \frac{3}{5} \\ = & \frac{20 + 3}{5} \\ = & \frac{23}{5} \end{array}

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{1}+\dfrac{3}{5}\\ \\&=&\dfrac{4\times 5}{1\times 5}+\dfrac{3\times 1}{5\times 1}\\ \\&=&\dfrac{20}{5}+\dfrac{3}{5}\\ \\&=&\dfrac{20+3}{5}\\ \\&=&\dfrac{23}{5}\end{array}$

Comme

P G C D (23; 5) = 1

$PGCD(23\;;\ 5)=1$ alors, la fraction

\frac{23}{5}

$\dfrac{23}{5}$ est irréductible.

D'où,

A = \frac{23}{5}

$\boxed{A=\dfrac{23}{5}}$

Soit

B = 1 + \frac{7}{2}

$B=1+\dfrac{7}{2}$ alors,

B

$B$ peut s'écrire :

B = \frac{2}{2} + \frac{7}{2}

$B=\dfrac{2}{2}+\dfrac{7}{2}$

Par suite,

B = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2}

$B=\dfrac{2+7}{2}=\dfrac{9}{2}$

Or,

P G C D (9; 2) = 1

$PGCD(9\;;\ 2)=1$ donc, la fraction

\frac{9}{2}

$\dfrac{9}{2}$ est irréductible.

Ainsi,

B = \frac{9}{2}

$\boxed{B=\dfrac{9}{2}}$

On donne :

C = 3 - \frac{4}{3}

$C=3-\dfrac{4}{3}$

Alors, on a :

\begin{array}{rcl} C & = & \frac{3}{1} - \frac{4}{3} \\ = & \frac{3 \times 3}{1 \times 3} - \frac{4 \times 1}{3 \times 1} \\ = & \frac{9}{3} - \frac{4}{3} \\ = & \frac{9 - 4}{3} \\ = & \frac{5}{3} \end{array}

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{1\times 3}-\dfrac{4\times 1}{3\times 1}\\ \\&=&\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3}\\ \\&=&\dfrac{9-4}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{3}\end{array}$

Comme

P G C D (5; 3) = 1

$PGCD(5\;;\ 3)=1$ alors, la fraction

\frac{5}{3}

$\dfrac{5}{3}$ est irréductible.

D'où,

C = \frac{5}{3}

$\boxed{C=\dfrac{5}{3}}$

A = 3 \times \frac{7}{4}

$A=3\times\dfrac{7}{4}$

A

$A$ peut s'écrire aussi :

A = \frac{3}{1} \times \frac{7}{4}

$A=\dfrac{3}{1}\times\dfrac{7}{4}$ ainsi,

\begin{array}{rcl} A & = & \frac{3}{1} \times \frac{7}{4} \\ = & \frac{3 \times 7}{1 \times 4} \\ = & \frac{21}{4} \end{array}

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{1}\times\dfrac{7}{4}\\ \\&=&\dfrac{3\times 7}{1\times 4}\\ \\&=&\dfrac{21}{4}\end{array}$

Or,

P G C D (21; 4) = 1

$PGCD(21\;;\ 4)=1$ donc, la fraction

\frac{21}{4}

$\dfrac{21}{4}$ est irréductible.

Par suite,

A = \frac{21}{4}

$\boxed{A=\dfrac{21}{4}}$

Soit

B = 12 \times \frac{7}{18}

$B=12\times\dfrac{7}{18}$ alors, on a :

B = \frac{12}{1} \times \frac{7}{18}

$B=\dfrac{12}{1}\times\dfrac{7}{18}$

Donc,

\begin{array}{rcl} B & = & \frac{12}{1} \times \frac{7}{18} \\ = & \frac{12 \times 7}{18 \times 1} \\ = & \frac{84}{18} \end{array}

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{12}{1}\times\dfrac{7}{18}\\ \\&=&\dfrac{12\times 7}{18\times 1}\\ \\&=&\dfrac{84}{18}\end{array}$

Or,

P G C D (84; 18) = 6

$PGCD(84\;;\ 18)=6$ donc, on peut rendre irréductible la fraction

\frac{84}{18}

$\dfrac{84}{18}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre

6.

$6.$

Ainsi,

B = \frac{84 \div 6}{18 \div 6} = \frac{14}{3}

$B=\dfrac{84\div 6}{18\div 6}=\dfrac{14}{3}$

D'où,

B = \frac{14}{3}

$\boxed{B=\dfrac{14}{3}}$

Soit

C = 4 \times \frac{12}{44}

$C=4\times\dfrac{12}{44}$ alors,

C

$C$ peut s'écrire :

C = \frac{4}{1} \times \frac{12}{44}

$C=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{12}{44}$

Donc,

\begin{array}{rcl} C & = & \frac{4}{1} \times \frac{12}{44} \\ = & \frac{4 \times 12}{1 \times 44} \\ = & \frac{48}{44} \end{array}

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4}{1}\times\dfrac{12}{44}\\ \\&=&\dfrac{4\times 12}{1\times 44}\\ \\&=&\dfrac{48}{44}\end{array}$

Comme

P G C D (48; 44) = 4

$PGCD(48\;;\ 44)=4$ alors, on peut rendre irréductible la fraction

\frac{48}{44}

$\dfrac{48}{44}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre

4.

$4.$

Donc,

C = \frac{48 \div 4}{44 \div 4} = \frac{12}{11}

$C=\dfrac{48\div 4}{44\div 4}=\dfrac{12}{11}$

Par suite,

C = \frac{12}{11}

$\boxed{C=\dfrac{12}{11}}$

A = \frac{7}{3} \div 6

$A=\dfrac{7}{3}\div 6$

A

$A$ peut encore s'écrire :

A = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{6}{1}}

$A=\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{6}{1}}$

Donc, on aura :

\begin{array}{rcl} A & = & \frac{\frac{7}{3}}{\frac{6}{1}} \\ = & \frac{7}{3} \times \frac{1}{6} \\ = & \frac{7 \times 1}{3 \times 6} = \frac{7}{18} \end{array}

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{6}{1}}\\ \\&=&\dfrac{7}{3}\times\dfrac{1}{6}\\ \\&=&\dfrac{7\times 1}{3\times 6}=\dfrac{7}{18}\end{array}$

Comme,

P G C D (7; 18) = 1

$PGCD(7\;;\ 18)=1$ alors, la fraction

\frac{7}{18}

$\dfrac{7}{18}$ est irréductible.

D'où,

A = \frac{7}{18}

$\boxed{A=\dfrac{7}{18}}$

Soit :

B = \frac{4}{15} \div 8

$B=\dfrac{4}{15}\div 8$

Alors,

B

$B$ peut encore s'écrire :

B = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{8}{1}}

$B=\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{8}{1}}$

Ainsi,

\begin{array}{rcl} B & = & \frac{\frac{4}{15}}{\frac{8}{1}} \\ = & \frac{4}{15} \times \frac{1}{8} \\ = & \frac{4 \times 1}{15 \times 8} = \frac{4}{120} \end{array}

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{8}{1}}\\ \\&=&\dfrac{4}{15}\times\dfrac{1}{8}\\ \\&=&\dfrac{4\times 1}{15\times 8}=\dfrac{4}{120}\end{array}$

Or,

P G C D (4; 120) = 4

$PGCD(4\;;\ 120)=4$ donc, on peut rendre irréductible la fraction

\frac{4}{120}

$\dfrac{4}{120}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre

4.

$4.$

Donc,

B = \frac{4 \div 4}{120 \div 4} = \frac{1}{30}

$B=\dfrac{4\div 4}{120\div 4}=\dfrac{1}{30}$

Par suite,

B = \frac{1}{30}

$\boxed{B=\dfrac{1}{30}}$

Soit

C = \frac{27}{13} \div 9

$C=\dfrac{27}{13}\div 9$ alors, on a :

\begin{array}{rcl} C & = & \frac{\frac{27}{13}}{\frac{9}{1}} \\ = & \frac{27}{13} \times \frac{1}{9} \\ = & \frac{27 \times 1}{13 \times 9} \\ = & \frac{27}{117} \end{array}

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{\dfrac{27}{13}}{\dfrac{9}{1}}\\ \\&=&\dfrac{27}{13}\times\dfrac{1}{9}\\ \\&=&\dfrac{27\times 1}{13\times 9}\\ \\&=&\dfrac{27}{117}\end{array}$

Comme

P G C D (27; 117) = 9

$PGCD(27\;;\ 117)=9$ alors, pour rendre irréductible la fraction

\frac{27}{117}

$\dfrac{27}{117}$ on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre

9.

$9.$

Donc,

C = \frac{27 \div 9}{117 \div 9} = \frac{3}{13}

$C=\dfrac{27\div 9}{117\div 9}=\dfrac{3}{13}$

D'où,

C = \frac{3}{13}

$\boxed{C=\dfrac{3}{13}}$

4) Pour cette question, on utilise la propriété suivante : si

a; b

$a\;;\ b$ sont deux nombres tels que

b \neq 0

$b\neq 0\$ et

n

$n$ un entier naturel alors,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$

Soit

A = {(\frac{4}{3})}^{2}

$A=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}$ , on a :

\begin{array}{rcl} A & = & {(\frac{4}{3})}^{2} \\ = & \frac{(4)^{2}}{(3)^{2}} \\ = & \frac{4 \times 4}{3 \times 3} \\ = & \frac{16}{9} \end{array}

$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}\\ \\&=&\dfrac{(4)^{2}}{(3)^{2}} \\ \\&=&\dfrac{4\times 4}{3\times 3}\\ \\&=&\dfrac{16}{9}\end{array}$

Comme

P G C D (16; 9) = 1

$PGCD(16\;;\ 9)=1$ alors, la fraction

\frac{16}{9}

$\dfrac{16}{9}$ est irréductible.

Par suite,

A = \frac{16}{9}

$\boxed{A=\dfrac{16}{9}}$

Soit

B = {(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2})}^{3}

$B=\left(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}\right)^{3}$

On calcule d'abord le produit des fractions

\frac{1}{4}

$\dfrac{1}{4}\$ et

\frac{1}{2}

$\ \dfrac{1}{2}$

On obtient :

\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{4 \times 2} = \frac{1}{8}

$\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 1}{4\times 2}=\dfrac{1}{8}$

Ensuite on calcule

{(\frac{1}{8})}^{3}

$\left(\dfrac{1}{8}\right)^{3}$ en appliquant la propriété.

On obtient alors :

\begin{array}{rcl} B & = & {(\frac{1}{8})}^{3} \\ = & \frac{(1)^{3}}{(8)^{3}} \\ = & \frac{1 \times 1 \times 1}{8 \times 8 \times 8} \\ = & \frac{1}{512} \end{array}

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{1}{8}\right)^{3}\\ \\&=&\dfrac{(1)^{3}}{(8)^{3}} \\ \\&=&\dfrac{1\times 1\times 1}{8\times 8\times 8}\\ \\&=&\dfrac{1}{512}\end{array}$

Enfin on trouve

B = \frac{1}{512}

$\boxed{B=\dfrac{1}{512}}$

On donne :

C = {[{(\frac{5}{3})}^{2}]}^{3}

$C=\left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}\right]^{3}$

Calculons d'abord

{(\frac{5}{3})}^{2}

$\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}$ en appliquant la propriété.

On obtient :

{(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{5^{2}}{3^{2}} = \frac{25}{9}

$\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{5^{2}}{3^{2}}=\dfrac{25}{9}$

Calculons ensuite

{(\frac{25}{9})}^{3}

$\left(\dfrac{25}{9}\right)^{3}$

On obtient alors :

\begin{array}{rcl} C & = & {(\frac{25}{9})}^{3} \\ = & \frac{(25)^{3}}{(9)^{3}} \\ = & \frac{25 \times 25 \times 25}{9 \times 9 \times 9} \\ = & \frac{15625}{729} \end{array}

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{25}{9}\right)^{3}\\ \\&=&\dfrac{(25)^{3}}{(9)^{3}} \\ \\&=&\dfrac{25\times 25\times 25}{9\times 9\times 9}\\ \\&=&\dfrac{15625}{729}\end{array}$

Comme

P G C D (15625; 729) = 1

$PGCD(15625\;;\ 729)=1$ alors, la fraction

\frac{15625}{729}

$\dfrac{15625}{729}$ est irréductible.

D'où,

C = \frac{15625}{729}

$\boxed{C=\dfrac{15625}{729}}$

On pouvait aussi utiliser la propriété suivante : si

a; b

$a\;;\ b$ sont deux nombres tels que

b \neq 0

$b\neq 0\$ et

n; m

$n\;;\ m$ deux entiers naturels alors,

{[{(\frac{a}{b})}^{n}]}^{m} = {(\frac{a}{b})}^{n \times m}

$\left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\right]^{m}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n\times m}$

Ainsi,

\begin{array}{rcl} C & = & {[{(\frac{5}{3})}^{2}]}^{3} \\ = & {(\frac{5}{3})}^{2 \times 3} \\ = & {(\frac{5}{3})}^{6} \\ = & \frac{(5)^{6}}{(3)^{6}} \\ = & \frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ = & \frac{15625}{729} \end{array}

$\begin{array}{rcl} C&=&\left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}\right]^{3}\\ \\&=&\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2\times 3}\\ \\&=&\left(\dfrac{5}{3}\right)^{6}\\ \\&=& \dfrac{(5)^{6}}{(3)^{6}} \\ \\&=&\dfrac{5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3}\\ \\&=&\dfrac{15625}{729}\end{array}$

D'où,

C \frac{15625}{729}

$\boxed{C\dfrac{15625}{729}}$

Exercice 14

Dans le village de Mbane,

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ des terres est cultivé ;

\frac{3}{5}

$\dfrac{3}{5}$ des terres cultivées le sont en tomates et

\frac{1}{3}

$\dfrac{1}{3}$ des terres cultivées l'est en arachides.

1) Calculons la fraction des terres non cultivées.

On sait que la fraction des terres cultivées est de

\frac{1}{2} .

$\dfrac{1}{2}.$

Or, la somme des parts est toujours égale à

1

$1$ donc, la fraction des terres non cultivées sera donnée par :

Fraction des terres non cultivées = 1 - \frac{1}{2}

$\text{Fraction des terres non cultivées}=1-\dfrac{1}{2}$

Par suite,

1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}

$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$

D'où,

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ des terres du village est non cultivée.

2) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en tomates.

On sait que :

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ des terres du village est cultivée et dans cette part, les

\frac{3}{5}

$\dfrac{3}{5}$ sont cultivées en tomates.

Donc, on peut dire :

\frac{3}{5}

$\dfrac{3}{5}$ de

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ des terres du village sont cultivées en tomates. Ce qui se traduit par :

Fraction des terres cultivées en tomates = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2}

$\text{Fraction des terres cultivées en tomates}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}$

On a :

\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{5 \times 2} = \frac{3}{10}

$\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\times 1}{5\times 2}=\dfrac{3}{10}$

Donc,

\frac{3}{10}

$\dfrac{3}{10}$ des terres du village sont cultivées en tomates.

3) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en arachides.

La part des terres cultivées en arachides représente

\frac{1}{3}

$\dfrac{1}{3}$ des terres cultivées.

Or, les terres cultivées constituent

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ des terres du village.

Donc, on peut dire :

\frac{1}{3}

$\dfrac{1}{3}$ de

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ des terres du village sont cultivées en arachides. Ce qui signifie :

Fraction des terres cultivées en arachides = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}

$\text{Fraction des terres cultivées en arachides}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}$

En calculant, on obtient :

\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}

$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 1}{3\times 2}=\dfrac{1}{6}$

Ainsi,

\frac{1}{6}

$\dfrac{1}{6}$ des terres du village sont cultivées en arachides.

Auteur:

Diny Faye

Commentaires

Amy Dia (non vérifié)

dim, 04/04/2021 - 13:34

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Je vous soutient

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Anonyme (non vérifié)

mar, 02/21/2023 - 21:22

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y'a pas de correction

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Mohamed Ndiaye (non vérifié)

jeu, 12/21/2023 - 18:10

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Quelque contributions

Je voulais juste dire on a pas le droit d'utiliser la formule a^n/a^=a^n-m c'est 5 ème et c'est pas dans le programme

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Anonyme (non vérifié)

dim, 01/21/2024 - 22:15

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l'application ma surprri sunu

l'application ma surprri sunu daara est la meilleure oh je suis très content merci à vous est du corage

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 01/21/2024 - 22:15

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l'application ma surprri sunu

l'application ma surprri sunu daara est la meilleure oh je suis très content merci à vous est du corage

répondre

Thioro diop (non vérifié)

ven, 01/26/2024 - 20:49

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Je n'ai jamais vu un

Je n'ai jamais vu un application si merveilleux cette application est la solution de mes exercices

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 02/26/2024 - 20:01

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Non vérifié

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Anonyme (non vérifié)

mer, 03/06/2024 - 18:52

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Devoirs de maths

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Issadiallo (non vérifié)

mer, 03/13/2024 - 00:07

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Correction

Parce que je ne comprends pas pourquoi je ne comprends pas pourquoi je vous remercie de votre réponse rapide et efficace si vous avez reçu ce message p ar erreur merci de me confirmer que vous allez bien merci beaucoup