Repérage dans le plan 3e

Classe: 
Troisième

I. repérage orthonormal

Soient →i  et  →j deux vecteurs du plan de direction respective (x′x)  et  (y′y) non parallèles et O leur point d'intersection. 
 
On appelle repère cartésien, le triplet (O; →i, →j).
 
 
Si (x′x)⊥(y′y) alors, le repère cartésien sera le repère orthogonal.
 
 
Si, pour le repère orthogonal, on a ℓ→i=ℓ→j alors, le repère sera dit repère orthonormal.
 
 
Le point O est appelé origine du repère et les axes (x′x)  et  (y′y)sont respectivement appelés axe des abscisses et axe des ordonnées.

Remarque :

En posant →i=→OI  et  →j=→OJ, le repère orthonormal sera noté (O; I, J)

II. Coordonnées d'un point dans un repère orthonormal

Soient (O; I, J) un repère orthonormal et M un point du plan.
 
 
 
On a : OM1MM2 un parallélogramme alors, →OM=→OM1+→OM2.

Or, les vecteurs →OM1  et  →OM2 sont respectivement colinéaires aux vecteurs →i  et  →j.

Donc, il existe deux réels x  et  y tels que →OM1=x.→i  et  →OM2=y.→j.

Ainsi, →OM=x.→i+y.→j. D'où le couple (x; y) est appelé les coordonnées du point M dans le repère orthonormal (O; →i, →j).

On notera $M(xy)ouM(x\;;\ y)$
 
Si M a pour coordonnées $(xy)danslerepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})alors,\overrightarrow{OM}=x.\vec{i}+y.\vec{j}.$

Exemple :

On considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne :
 
→OA=3→i+2→j; →OB=−2→i+3→j; →OC=4→i  et  →OD=−3→j.
 
Trouvons les coordonnées des points A, B, C  et  D et plaçons les dans le repère orthonormal.
 
On a : →OA=3→i+2→j alors, $A(32)$

→OB=−2→i+3→j alors, B(−2; 3)

→OC=4→i alors, $C(40)$

→OD=−3→j alors, D(0; −3)
 
 
Les réels x  et  y sont appelés respectivement abscisse et ordonnée du point M dans le repère orthonormal (O; →i, →j).
 
⋅   Le point O a pour coordonnées $(00),onnoteraO(00)$
 
⋅   Si un point a pour abscisse nul, il se trouvera alors dans l'axe des ordonnées.
 
⋅   Si un point a pour ordonnée nulle, il se trouvera alors dans l'axe des abscisses.

III. Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal

III.1 Coordonnées d'un vecteur représenté par un bipoint.

Soient (O; →i, →j) un repère orthonormal, A  et  B deux points de ce repère.

 

 
On a : →OA=xA→i+yA→j  et  →OB=xB→i+yB→j
 
et comme →AB=(xB→i+yB→j)−(xA→i+yA→j)
 
alors, →AB=xB→i+yB→j−xA→i−yA→j.
 
Ainsi, →AB=(xB−xA)→i+(yB−yA)→j.
 
Si $A(xAyA)\ et\ B(xByB)dansunrepèreorthonormalalors,\overrightarrow{AB}(xB−xAyB−yA)$
 
Exemple : on considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne :
 
→OA=2→i+3→j; →OB=−3→i+2→j  et  →OC=−→i−4→j.
 
Calculons les coordonnées des vecteurs →AB, →AC  et  →BC
 
On a : $A(23)\;,\ B(−32)\ et\ C(−1−4)$

alors, $\overrightarrow{AB}(−3−22−3)=(−5−1)\;,\ \overrightarrow{AC}(−1−2−4−3)=(−3−7)$

et $\overrightarrow{BC}(−1−(−3)−4−2)=(2−6)$

III.2 Coordonnées d'un vecteur somme

Soient $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)deuxvecteursdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
On aura : →u=x.→i+y.→j  et  →v=x′.→i+y′.→j 
 
Alors, →u+→v=(x.→i+y.→j)+(x′.→i+y′.→j).
 
Donc, →u+→v=x.→i+y.→j+x′.→i+y′.→j.
 
Ainsi, →u+→v=(x+x′).→i+(y+y′).→j.
 
Si $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)dansunrepèreorthonormalalors,\vec{u}+\vec{v}(x+x′y+y′)$

III.3 Coordonnées d'un vecteur égal à un autre

Soient $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)deuxvecteursdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
On se propose de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs →u  et  →v soient égaux.
 
On a : →u=x.→i+y.→j  et  →v=x′.→i+y′.→j
 
or,  →u=→v
 
alors, x.→i+y.→j=x′.→i+y′.→j.
 
Donc, x=x′  et  y=y′
 
Si $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)dansunrepèreorthonormalet\vec{u}=\vec{v}alors,x=x'\ et\ y=y'$ et réciproquement.

III.4 Coordonnées d'un vecteur opposé à un autre

Soient $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)deuxvecteursdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
On se propose de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs →u et →v soient des vecteurs opposés.
 
On a : →u=x.→i+y.→j et →v=x′.→i+y′.→j
 
or,  →u+→v=→0
 
alors, x.→i+y.→j+x′.→i+y′.→j=→0.
 
Donc, (x+x′).→i+(y+y′).→j=0.→i+0.→j
 
Ainsi, x+x′=0 et y+y′0

d'où, x=−x′ et y=−y′
 
Si $\vec{u}(xy)et\vec{v}(x′y′)dansunrepèreorthonormalet\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}alors,x=-x'ety=-y'$ et réciproquement.

III.5 Coordonnées d'un vecteur multiplié par un réel

Soient $\vec{u}(xy)et\vec{v}(x′y′)deuxvecteursdansunrepèreorthonormal(O;\ \vec{i},\ \vec{j})etk\in\mathbb{R}telque\vec{v}=k.\vec{u}.$
 
On a : →u=x.→i+y.→j  et  →v=x′.→i+y′.→j
 
or, →v=k.→u.
 
alors, x′.→i+y′.→j=k(x.→i+y.→j).
 
Donc, x′.→i+y′.→j=(kx).→i+(ky).→j.
 
D'où, x′=kx et y′=ky
 
Si $\vec{u}(xy)dansunrepèreorthonormaletk\in\mathbb{R}alors,k\vec{u}(kxky)$

III.6 Condition de colinéarité de deux vecteurs

Soient $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)deuxvecteurscolinéairesdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ 
 
Alors on a : →v=k.→u avec k∈R.
 
Donc, x′=kx  et  y′=ky, par suite x′y′=kxky.
 
Par conséquent, x′y′=xy.
 
Ainsi, xy′=x′y ; d'où, xy′−x′y=0
 
Si $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)dansunrepèreorthonormalet\vec{u}\;,\ \vec{v}colinéairesalors,xy'-x'y=0.$
 
Réciproque : Si $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)deuxvecteursdansunrepèreorthonormaletxy'-x'y=0alors,\vec{u}\ et\ \vec{u}$ colinéaires. 

III.7 Applications

⋅   Coordonnées du milieu d'un segment

Soient $A(xAyA)\ et\ B(xByB)dansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\ et\ I(xIyI)milieude[AB].$
 
 
On se propose de déterminer les coordonnées du point I en fonction des coordonnées des points A  et  B.
 
On a : I milieu de [AB] alors, →AI=→IB.
 
Or, $\overrightarrow{AI}(xI−xAyI−yA)\ et\ \overrightarrow{IB}(xB−xIyB−yI)$
 
Donc, xI−xA=xB−xI et yI−yA=yB−yI.
 
Ainsi, 2xI=xA+xB  et  2yI=yA+yB
 
D'où, xI=xA+xB2  et  yI=yA+yB2.
 
Si  $A(xAyA)\ et\ B(xByB)dansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\ et\ I(xIyI)milieude[AB]alors,I(xA+xB2yA+yB2)$
 
Exemple : on considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne $A(−12)\ et\ B(54).$
 
On a : I milieu de [AB] alors, $I((−1)+522+42);donc,I(23).$
 
 
On considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne $A(−12)\;,\ B(34)\ et\ C(5y).$
 
Déterminons la valeur de y pour que les points A, B  et  C soient alignés.
 
 
 

1er méthode :

On a : A, B  et  C alignés alors, →AC=k.→AB.
 
Or, $\overrightarrow{AC}(6y−2)\;;\ \overrightarrow{AB}(42)\ et\ k.\overrightarrow{AB}(4k2k)$
 
Donc, 6=2k  et  y−2=2k
 
Ainsi, k=32  et  y−2=2(32) ; d'où, y=5.

2em méthode :

On a : A, B  et  C alignés alors, →AB  et  →AB colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AB}(42)\ et\ \overrightarrow{AC}(6y−2)$
 
Donc, 4(y−2)−2(6)=0

Ainsi, 4y−8−12=0

D'où, y=5

⋅   Détermination du quatrième point d'un parallélogramme

On considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne $A(35)\;,\ B(−22)\ et\ C(−43).$
 
Déterminons les coordonnées du point D telles que ABCD soit un parallélogramme.
 
 
On a : ABCD parallélogramme alors, →CD=→BA.
 
Or, $\overrightarrow{CD}(xD+4yD−3)\ et\ \overrightarrow{BA}(53)$
 
Donc, xD+4=5  et  yD=6
 
D'où, $D(16).$

⋅   Détermination des coordonnées du centre de gravité d'un triangle

On considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne $A(−33)\;,\ B(63)\ et\ C(36).$
 
Déterminons les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC.
 
 

1er méthode :

On a : G centre de gravité de ABC alors, →GA+→GB+→GC=→0.
 
Or, $\overrightarrow{GA}(−3−xG3−yG)\;;\ \overrightarrow{GB}(6−xG3−yG)\ et\ \overrightarrow{GC}(3−xG6−yG)$
 
Donc, $(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})(6−3xG12−3yG)\ et\ \vec{0}(00)$
 
Par suite, 6−3xG=0  et  12−3yG=0

Ainsi, xG=2  et  yG=4
 
D'où, $G(24)$

2em méthode :

On a : G centre de gravité de ABC et I milieu de [AB].
 
Alors, →IC=3→IG
 
Or, $I(323)\;,\ \overrightarrow{IC}(323)\;,\ \overrightarrow{IG}(xG−32yG−3)\ et\ 3\overrightarrow{IG}(3xG−923yG−9)$
 
Donc, 32=3xG−92  et  3=3yG−9

Ainsi, xG=2  et  yG=4
 
D'où, $G(24)$

IV. Distance de deux points dans un repère orthonormal

Soient $A(xAyA)\ et\ B(xByB)deuxpointsdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

 

 
On a : ABC un triangle rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore, on aura : AB=√AC2+CB2

Or, AC2=(xB−xA)2  et  CB2=(yB−yA)2
 
Donc, AB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
 
Si  $A(xAyA)\ et\ B(xByB)sontdeuxpointsdansunrepèreorthonormalalors,AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.$
 
En posant $\overrightarrow{AB}=\vec{u}(xy)alors,x_{B}-x_{A}=x\ et\ y_{B}-y_{A}=y$
 
Donc, L→u=AB=√x2+y2
 
Si $\overrightarrow{AB}(xy)dansunrepèreorthonormalalors,AB=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$

Applications :

⋅   Nature d'un triangle

On considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne $A(1−2)\;,\ B(21)\ et\ C(50).$
 
Déterminons la nature exacte du triangle ABC
 
 
On a : $\overrightarrow{AB}(13)alors,AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$

$\overrightarrow{AC}(42)alors,AC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$

et $\overrightarrow{BC}(3−1)alors,BC=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}$
 
Donc, AB=BC. Ainsi, ABC est un triangle isocèle en B.
 
De plus on a AC2=(2√5)2=20, AB2=(√10)2=10  et  BC2=(√10)2=10.
 
Par suite, AC2=AB2+BC2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle en B.
 
D'où, ABC est rectangle et isocèle en B.

⋅   Condition d'orthogonalité de deux vecteurs dans un repère orthonormal

Soient $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)deuxvecteursdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})telsque\vec{u}\perp\vec{v}$
 
 
On a : ABC triangle rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore on aura : AC2=AB2+BC2.

Or, $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}(x+x′y+y′)alors,AC^{2}=(x+x')^{2}+(y+y')^{2}$

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}(xy)alors,AB^{2}=x^{2}+y^{2}$

et $\overrightarrow{BC}=\vec{v}(x′y′)alors,BC^{2}=x'^{2}+y'^{2}$

Donc, x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2=x2+y2+x′2+y′2

Ainsi, 2xx′+2yy′=0

D'où, xx′+yy′=0
 
Si $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)sontdeuxvecteursdansunrepèreorthonormalet\vec{u}\perp\vec{v}alors,x.x'+y.y'=0$

Réciproque :

Si $\vec{u}(xy)\ et\ \vec{v}(x′y′)sontdeuxvecteursdansunrepèreorthonormaltelsquex.x'+y.y'=0alors,\vec{u}\perp\vec{v}$
 
Exemple : on considère un repère orthonormal (O; →i, →j) et on donne $A(12)\;,\ B(21)\ et\ C(50).$
 
Démontrons que (AB)⊥(BC).

On a  : (AB)⊥(BC) si, et seulement si, →AB⊥→BC.
 
Or, $\overrightarrow{AB}(13)\ et\ \overrightarrow{BC}(3−1)alors,(1)(3)+(3)(-1)=3-3=0.$
 
Donc, →AB⊥→BC.
 
D'où, (AB)⊥(BC).

V. Équation générale d'une droite

V.1 Droite passant par deux points dans un repère orthonormal

Soient $A(−12)\ et\ B(21)deuxpointsdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminer l'équation de la droite (AB).
 
 
Soit $M(xy)\in\;(AB)alors,\overrightarrow{AM}\ et\ \overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}(x+1y−2)\ et\ \overrightarrow{AB}(3−1)$

Donc, −1(x+1)−3(y−2)=0

Ainsi, −x−1−3y+5=0

D'où, (AB): −x−3y+5=0 ou encore (AB): x+3y−5=0

V.2 Droite définie par un vecteur et un point : vecteur directeur

Soient $\vec{u}(23)unvecteuretA(3−2)unpointdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite (Δ) passant par A et de direction →u.
 
 
Soit $N(xy)\in\;(\Delta)alors,\overrightarrow{AN}\ et\ \vec{u}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AN}(x−3y+2)\ et\ \vec{u}(23)$

Donc, 3(x−3)−2(y+2)=0

Ainsi, 3x−9−2y−4=0

D'où, (Δ): 3x−2y−13=0
 
Le vecteur →u de coordonnées $(23)estappeléunvecteurdirecteurdeladroite(\Delta)d′équation3x-2y-13=0.$

Et l'équation 3x−2y−13=0 est une équation générale de (Δ).

Théorème :

Si (Δ): ax+by+c=0 alors, $\vec{u}(−ba)estunvecteurdirecteurde(\Delta)$
 
Exemple : trouvons un vecteur directeur de chacune des deux droites suivantes : (D): 4x−3y+5=0  et  (Δ): 7x+5y−13=0.
 
On a : $\vec{u}(34)estunvecteurdirecteurde(D)\ et\ \vec{v}(−57)celuide(\Delta)$

Applications :

⋅   Droite passant par un point et parallèle à une droite donnée

Soient (D): 4x−3y+1=0  et $\ A(12)unpointdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite (Δ) passant par le point A et parallèle à la droite (D).
 
Soit $M(xy)\in\;(\Delta)$

On a :(D): 4x−3y+1=0 et alors, $\vec{u}(34)$ un vecteur directeur.
 
Donc,  →AM  et  →u sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}(x−1y−2)\ et\ \vec{u}(34)$

Par suite, 4(x−1)−3(y−2)=0

Ainsi, 4x−4−3y+6=0

D'où, (Δ): 4x−3y+2=0

⋅   Droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée

Soit (D): 3x+2y−5=0 une droite données et $A(−2−3)unpointdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite (Δ) passant par le point A et perpendiculaire à la droite (D).
 
Soit $M(xy)\in\;(\Delta)$
 
On a : (D): 3x+2y−5=0 et alors, $\vec{u}(−23)$ un vecteur directeur.
 
Et comme (Δ)⊥D donc,  →AM⊥→u.
 
Or, $\overrightarrow{AM}(x+2y+3)\ et\ \vec{u}(−23)$

Par suite, −2(x+2)+3(y+3)=0

Ainsi, −2x−4+3y+9=0

D'où, (Δ): −2x+3y+5=0

⋅   Équation d'une droite passant par un point et parallèle à l'axe des abscisses (xx′): y=0

Soit $A(ab)unpointdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite (Δ) passant par le point A et parallèle à l'axe des abscisses.
 
 
Soit $M(xy)\in\;(\Delta)$
 
On a : $\vec{i}(10)unvecteurdirecteurde(xx')etcomme(\Delta)\parallel(xx')alors,\overrightarrow{AM}et\vec{i}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}(x−ay−b)\ et\ \vec{i}(10)donc,0(x-a)-1(y-b)=0.$

Par suite, −y+b=0.

D'où, (Δ): y=b.

Si $A(ab)\in\;(\Delta)unpointdansunrepèreorthonormalet(\Delta)\parallel(xx')alors,(\Delta)\;:\ y=b$

⋅   Équation d'une droite passant par un point et parallèle à l'axe des ordonnées (yy′): x=0

Soit $A(ab)unpointdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite (Δ) passant par le point A et parallèle à l'axe des ordonnés.
 
 
Soit $M(xy)\in\;(\Delta)$
 
On a : $\vec{j}(01)unvecteurdirecteurde(yy')etcomme(\Delta)\parallel(yy')alors,\overrightarrow{AM}\ et\ \vec{j}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}(x−ay−b)\ et\ \vec{j}(01)donc,1(x-a)-0(y-b)=0.$

Ainsi, x−a=0.

D'où, (Δ): x=a.

Si $A(ab)\in\;(\Delta)unpointdansunrepèreorthonormalet(\Delta)\parallel(yy')alors,(\Delta)\;:\ x=a.$

VI. Équation réduite d'une droite

VI.1 Exemples et Définitions

Soit (Δ): 3x−2y+6=0

On peut écrire alors (Δ): y=32x+3.
 
L'équation écrite sous la forme y=32x+3 est appelée équation réduite de la droite (Δ) de coefficient directeur 32 et d'ordonnée à l'origine +3.
 
Ce qui signifie que la droite (Δ) passe par le point de coordonnées (0; 3).
 
De manière générale, l'équation réduite d'une droite (Δ) s'écrit sous la forme y=ax+b où a∈R  et  b∈R.
 
Le réel a est appelé le coefficient directeur (pente) de la droite (Δ) et le réel b son ordonnée à l'origine ; c'est à dire la droite passe par un point de coordonnées (0; b).

VI.2 Relation entre coefficient directeur et les coordonnées du vecteur directeur d'une droite

Soit (Δ): 3x−2y+6=0
 
On a : $\vec{u}(23)unvecteurdirecteurde(\Delta)\ et\ (\Delta)\;:\ y=\dfrac{3}{2}x+3.$
 
Ainsi, le coefficient directeur d'une droite est égal au rapport de l'ordonnée du vecteur directeur par son abscisse.
 
Si $\vec{u}(mn)unvecteurdirecteurde(\Delta)\;:\ y=ax+bavecm\neq 0alors,a=\dfrac{n}{m}$
 
Exemple 1 : trouvons le coefficient directeur d'une droite (Δ) de vecteur directeur $\vec{u}(−36)$
 
Soit (Δ): y=ax+b  et $\ \vec{u}(−36)unvecteurdirecteurde(\Delta)alors,a=\dfrac{6}{-3}=-2$
 
Exemple 2 : trouvons un vecteur directeur de la droite (Δ) d'équation y=45x−6
 
On a : $\vec{u}(54)unvecteurdirecteurde(\Delta)$.

VI.3 Propriétés

⋅   Condition de parallélisme de deux droites

Soient (D): y=ax+b  et  (Δ): y=a′x+b′ deux droites dans un repère orthonormal telles que (D)∥(Δ).
 
On a  : $\vec{u}(1a)unvecteurdirecteurde(D)\;,\ \vec{v}(1a′)unvecteurdirecteurde(\Delta)\ et\ (D)\parallel(\Delta)$

alors, →u   et  →v sont colinéaires.


Donc, 1(a′)−1(a)=0

Ainsi, a′−a=0. D'où a′=a

Si (D): y=ax+b  et  (Δ): y=a′x+b′ deux droites dans un repère orthonormal et (D)∥(Δ) alors, a=a′

Réciproque :

Si (D): y=ax+b  et  (Δ): y=a′x+b′ deux droites dans un repère orthonormal et a=a′ alors, (D)∥(Δ)

⋅   Condition d'orthogonalité de deux vecteurs

Soient (D): y=ax+b et (Δ): y=a′x+b′ deux droites dans un repère orthonormal telles que (D)⊥(Δ).
 
On a  : $\vec{u}(1a)unvecteurdirecteurde(D)\ et\ \vec{v}(1a′)unvecteurdirecteurde(\Delta).$
 
Et comme (D)⊥(Δ) alors, →u⊥→v.

Donc, (1)(1)+(a)(a′)=0

Ainsi, 1+a.a′=0. D'où, aa′=−1

Si (D): y=ax+b et (Δ): y=a′x+b′ deux droites dans un repère orthonormal et (D)⊥(Δ) alors, aa′=−1

Réciproque :

Si (D): y=ax+b  et  (Δ): y=a′x+b′ deux droites dans un repère orthonormal et aa′=−1 alors, (D)⊥(Δ)

Applications :

⋅   Droite passant par deux points dans un repère orthonormal

Soit $A(−12)\ et\ B(21)deuxpointsdansunrepèreorthonormal(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite (AB)

Soit (AB): y=ax+b. On a $\overrightarrow{AB}(3−1)unvecteurdirecteurde(AB)alors,a=-\dfrac{1}{3}$

Donc, (AB): y=−13x+b et $A(−12)\in\;(AB)$

Par suite, 2=−13(−1)+b

Ainsi, b=2−13=53

D'où, (AB): y=−13x+53
 
Auteur: 
Abdoulaye Ba

Commentaires

Mory (non vérifié)

mer, 11/27/2019 - 19:26

Vos cours sont très interressants mais le cours de repérage est très compliqué il y'a trop de x de i de y ce serait plus facile avec des valeur A et B x et y pour faciliter l'apprentissage mais ça donne pas envie d'apprendre

Anonyme (non vérifié)

dim, 08/16/2020 - 18:33

J'aurais voulu savoir comment peut on tracer les droites sur le repère

Niang (non vérifié)

dim, 08/16/2020 - 18:34

J'aurais voulu savoir comment peut on tracer les droites sur le repère

yahya (non vérifié)

mer, 04/22/2020 - 23:24

le repérage

Anonyme (non vérifié)

sam, 08/07/2021 - 18:23

Vrmt ça m'a beaucoup aide trop important

Ibrahima Diouf (non vérifié)

mar, 11/02/2021 - 23:24

Bien

Anonyme (non vérifié)

mar, 05/07/2024 - 20:29

c'est cool

Anonyme (non vérifié)

mer, 09/11/2024 - 13:54

merci

Anonyme (non vérifié)

ven, 04/11/2025 - 00:09

Excellent cours trés bien structuré et détaillé merci.

Ajouter un commentaire