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Série d'exercices : Repérage - 2nd

Classe:

Seconde

Mesures algébriques

Exercice 1

Les points

A, B, C

$A\;,\ B\;,\ C$ et

D

$D$ sont situés sur un axe de telle sorte que :

\bar{A B} = - 8; \bar{B C} = 12 et \bar{C D} = - 6

$\overline{AB}=-8\;;\quad \overline{BC}=12\ \text{ et }\ \overline{CD}=-6$

Calculer

\bar{A C}, \bar{A D}, \bar{B A}, \bar{B D}, \bar{D A}

$\overline{AC}\;,\ \overline{AD}\;,\ \overline{BA}\;,\ \overline{BD}\;,\ \overline{DA}$ et

\bar{D B} .

$\overline{DB}.$

Exercice 2

Sur un axe

(D)

$(D)$ , on donne trois points

A, B

$A\;,\ B$ et

C

$C$ tels que

\bar{A B} = - 9

$\overline{AB}=-9$ et

\bar{B C} = 16.

$\overline{BC}=16.$

Où faut-il placer l'origine

O

$O$ pour que

\bar{O A} + 3 \bar{O B} + 5 \bar{O C} = 0 ?

$\overline{OA}+3\overline{OB}+5\overline{OC}=0\ ?$

Exercice 3

Soient

A

$A$ et

B

$B$ deux points d'un axe,

I

$I$ milieu de

[A B] .

$[AB].$ Montrer que pour tout point

M

$M$ de l'axe, on a :

{\bar{M A}}^{2} + {\bar{M B}}^{2} = 2 {\bar{M I}}^{2} + \frac{{\bar{A B}}^{2}}{2}

$\overline{MA}^{2}+\overline{MB}^{2}=2\overline{MI}^{2}+\dfrac{\overline{AB}^{2}}{2}$

\bar{M A} . \bar{M B} = {\bar{M I}}^{2} - \frac{{\bar{A B}}^{2}}{4}

$\overline{MA}.\overline{MB}=\overline{MI}^{2}-\dfrac{\overline{AB}^{2}}{4}$

Exercice 4

Une droite est munie d'un repère

(O, \vec{i})

$(O\;,\ \vec{i})$ . On place les points

A, B, C, D

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ de cette droite d'abscisses respectives

4, \frac{15}{2}, - 1

$4\;,\ \dfrac{15}{2}\;,\ -1$ et

- \frac{11}{3} .

$-\dfrac{11}{3}.$

1) Calculer

\bar{A B}, \bar{B C}, \bar{A D}, \bar{C A} .

$\overline{AB}\;,\ \overline{BC}\;,\ \overline{AD}\;,\ \overline{CA}.$

2) Déterminer l'abscisse

x

$x$ des points

M

$M$ dans chacun des cas suivants :

\bar{A M} = 3

$\overline{AM}=3$

2 \bar{C M} + \bar{M A} = 1

$2\overline{CM}+\overline{MA}=1$

2 \bar{O B} = 3 \bar{A M}

$2\overline{OB}=3\overline{AM}$

0 \leq \bar{C M} \leq 2

$0\leq\overline{CM}\leq 2$

3 \bar{A M} = \bar{A C}

$3\overline{AM}=\overline{AC}$

A M^{2} = 4

$AM^{2}=4$

Exercice 5

Sur un axe

(D)

$(D)$ , on considère deux points

A

$A$ et

B

$B$ d'abscisses respectives -1 et 2.

1) Placer le point

C

$C$ tel que

\bar{C A} = 2 \bar{C B} .

$\overline{CA}=2\overline{CB}.$

2) Montrer qu'il existe un point

M

$M$ tel que :

\bar{M A} + 2 \bar{M B} = 0.

$\overline{MA}+2\overline{MB}=0.$

3) Quels sont les points

M

$M$ de

(D)

$(D)$ tels que

M A^{2} - 4 M B^{2} = 0 ?

$MA^{2}-4MB^{2}=0\ ?$

Exercice 6

Soient

A, B, C

$A\;,\ B\;,\ C$ et

D

$D$ quatre points d'une même droite

(Δ)

$(\Delta)$ muni d'un repère

(O, I) .

$(O\;,\ I ).$

1) a) Établir, à l'aide des abscisses des points la relation suivante :

\bar{D A} . \bar{B C} + \bar{D B} . \bar{C A} + \bar{D C} . \bar{A B} = 0 (relation dite d'Euler)

$\overline{DA}.\overline{BC}+\overline{DB}.\overline{CA}+\overline{DC}.\overline{AB}=0\quad\text{(relation dite d'Euler)}$

2) Établir, en utilisant la relation de Chasles, la relation d'Euler.

3) Former l'expression

{\bar{D A}}^{2} . \bar{B C} + {\bar{D B}}^{2} . \bar{C A}

$\overline{DA}^{2}.\overline{BC}+\overline{DB}^{2}.\overline{CA}$ et en déduire la relation suivante :

{\bar{D A}}^{2} . \bar{B C} + {\bar{D B}}^{2} . \bar{C A} + {\bar{D C}}^{2} . \bar{A B} + \bar{B C} . \bar{C A} . \bar{A B} = 0 (relation dite de Stewart)

$\overline{DA}^{2}.\overline{BC}+\overline{DB}^{2}.\overline{CA}+\overline{DC}^{2}.\overline{AB}+\overline{BC}.\overline{CA}.\overline{AB}=0\quad\text{(relation dite de Stewart)}$

Exercice 7 Applications du théorème de Thalès et de sa réciproque

Les différentes questions sont complètement indépendantes.

A C G

$ACG$ est un triangle.

B

$B$ est un point du segment

[A C], E

$[AC]\;,\ E$ un point du segment

[C G] .

$[CG].$ La parallèle à

(C G)

$(CG)$ passant par

B

$B$ coupe

(A E)

$(AE)$ en

D

$D$ et

(A G)

$(AG)$ en

F .

$F.$

Montrer que :

\frac{\bar{E G}}{\bar{D F}} = \frac{\bar{C E}}{\bar{B D}}

$\dfrac{\overline{EG}}{\overline{DF}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{BD}}$

A B C D

$ABCD$ est un parallélogramme.

E

$E$ est un point du segment

[A D] .

$[AD].$ La parallèle à

(A B)

$(AB)$ passant par

E

$E$ coupe

(A C)

$(AC)$ en

G

$G$ et

(B C)

$(BC)$ en

F .

$F.$

Montrer que :

\frac{\bar{E G}}{\bar{A B}} = \frac{\bar{B F}}{\bar{B C}}

$\dfrac{\overline{EG}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{BF}}{\overline{BC}}$

R S T

$RST$ est un triangle.

L

$L$ appartient à

[R S]

$[RS]$ et

M

$M$ appartient à

[R T] .

$[RT].$

Indiquer si

(L M)

$(LM)$ est parallèle à

(S T)

$(ST)$ dans chacun des cas suivants :

R S = 7; R T = 14; R L = 1.5; R M = 3

$RS=7\;;\quad RT=14\;;\quad RL=1.5\;;\quad RM=3$

R S = 8; R T = 9; R L = 5; R M = 5.5

$RS=8\;;\quad RT=9\;;\quad RL=5\;;\quad RM=5.5$

R S = 7; R T = 9; S L = 3; R M = 5

$RS=7\;;\quad RT=9\;;\quad SL=3\;;\quad RM=5$

R S = 12; R T = 18; S L = 18; M T = 4.5

$RS=12\;;\quad RT=18\;;\quad SL=18\;;\quad MT=4.5$

4) Soit

A B C D

$ABCD$ un rectangle donné de cotés

a

$a$ et

b .

$b.$ Construire exactement un rectangle de même aire et dont un côté a pour longueur

d (d

$d\ (d$ longueur donnée).

5) Soit

R S T

$RST$ un triangle donné de cotés

a = S T

$a=ST$ donné et de hauteur

h .

$h.$ Construire un rectangle de même aire et dont un côté a pour longueur

d (d

$d\ (d$ longueur donnée).

6) Placer exactement les points

L, M, N

$L\;,\ M\;,\ N$ d'abscisses respectives

\frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{4}{11}

$\dfrac{2}{3}\;,\ \dfrac{5}{7}\;,\ \dfrac{4}{11}$ sur la droite

(D)

$(D)$ de repère

(A, B) .

$(A\;,\ B).$

7) Placer exactement les points

S, T, U

$S\;,\ T\;,\ U$ d'abscisses respectives

- \frac{1}{3}, - \frac{3}{7}, - \frac{7}{11}

$-\dfrac{1}{3}\;,\ -\dfrac{3}{7}\;,\ -\dfrac{7}{11}$ sur la droite

(D)

$(D)$ de repère

(A, B) .

$(A\;,\ B).$

A B C D

$ABCD$ est un trapèze. Les diagonales

(A C)

$(AC)$ et

(B D)

$(BD)$ se coupent en

O .

$O.$ Par

O

$O$ , on trace une parallèle à

(A B)

$(AB)$ qui coupe

(A D)

$(AD)$ en

I

$I$ et

(B C)

$(BC)$ en

J .

$J.$

Démontrer que

\frac{\bar{I O}}{\bar{A B}} = \frac{\bar{O J}}{\bar{A B}}

$\dfrac{\overline{IO}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OJ}}{\overline{AB}}$ . Que peut-on en déduire pour

I, O

$I\;,\ O$ et

J ?

$J\ ?$

A B C D

$ABCD$ est un quadrilatère. La parallèle à

(A D)

$(AD)$ passant par

C

$C$ coupe

(B D)

$(BD)$ en

M .

$M.$ La parallèle à

(B C)

$(BC)$ passant par

D

$D$ coupe

(A C)

$(AC)$ en

N .

$N.$

On appelle I le point de rencontre de

(A C)

$(AC)$ et

(B D) .

$(BD).$

Calculer

\frac{\bar{I N}}{\bar{I C}}

$\dfrac{\overline{IN}}{\overline{IC}}$ et

\frac{\bar{I M}}{\bar{I D}}

$\dfrac{\overline{IM}}{\overline{ID}}$ .

Démontrer que

(M N)

$(MN)$ est une droite parallèle à

(A B) .

$(AB).$

Repères et droites du plan

Exercice 8

Soit

A B C D

$ABCD$ un parallélogramme non aplati.

On pose

\vec{u} = \vec{A B}

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et

\vec{v} = \vec{A C}

$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$

1) Les vecteurs

\vec{u} + \vec{u}

$\vec{u}+\vec{u}$ et

\vec{u} - \vec{v}

$\vec{u}-\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?

2) On pose

\vec{i} = \vec{u} + \vec{u}

$\vec{i}=\vec{u}+\vec{u}$ et

\vec{j} = \vec{u} - \vec{v}

$\vec{j}=\vec{u}-\vec{v}$

Donner les coordonnées de

\vec{u}

$\vec{u}$ et

\vec{v}

$\vec{v}$ dans la base

(\vec{i}, \vec{j}) .

$(\vec{i}\;,\ \vec{j}).$

3) Donner les coordonnées de

A, B, C

$A\;,\ B\;,\ C$ et

D

$D$ dans le repère

(B, \vec{i}, \vec{j}) .

$(B\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

4) Existe-t-il des points qui ont les mêmes coordonnées relativement aux repères

(A, \vec{u}, \vec{v})

$(A\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ et

(B, \vec{i}, \vec{j}) . ?

$(B\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).\ ?$

Exercice 9

Soient

\vec{u}

$\vec{u}$ et

\vec{v}

$\vec{v}$ deux vecteurs dont les coordonnées relativement à la base

(\vec{i}, \vec{j})

$(\vec{i}\;,\ \vec{j})$ sont respectivement

(1, 2)

$(1\;,\ 2)$ et

(- 1, - 3) .

$(-1\;,\ -3).$

1) Montrer que

(\vec{u}, \vec{v})

$(\vec{u}\;,\ \vec{v})$ est une base de l'ensemble des vecteurs du plan.

2) Exprimer

\vec{i}

$\vec{i}$ et

\vec{j}

$\vec{j}$ à l'aide de

\vec{u}

$\vec{u}$ et

\vec{v} .

$\vec{v}.$

3) Soit

{\vec{w}}_{1}, {\vec{w}}_{2}

$\vec{w}_{1}\;,\ \vec{w}_{2}$ et

{\vec{w}}_{3}

$\vec{w}_{3}$ , trois vecteurs dont les coordonnées dans

(\vec{i}, \vec{j})

$(\vec{i}\;,\ \vec{j})$ sont respectivement

(1, 2), (6, - 4)

$(1\;,\ 2)\;,\ (6\;,\ -4)$ et

(- 3, 2) .

$(-3\;,\ 2).$

Quelles sont les coordonnées de

{\vec{w}}_{1}, {\vec{w}}_{2}

$\vec{w}_{1}\;,\ \vec{w}_{2}$ et

{\vec{w}}_{3}

$\vec{w}_{3}$ dans

(\vec{u}, \vec{v}) ?

$(\vec{u}\;,\ \vec{v})\ ?$

4) Calculer les déterminants des couples de vecteurs suivants dans la base

(\vec{i}, \vec{j})

$(\vec{i}\;,\ \vec{j})$ , puis dans la base

(\vec{u}, \vec{v}), ({\vec{w}}_{1}, {\vec{w}}_{2}), ({\vec{w}}_{2}, {\vec{w}}_{3})

$(\vec{u}\;,\ \vec{v})\;,\ (\vec{w}_{1}\;,\ \vec{w}_{2})\;,\ (\vec{w}_{2}\;,\ \vec{w}_{3})$ et

({\vec{w}}_{1}, {\vec{w}}_{3})

$(\vec{w}_{1}\;,\ \vec{w}_{3})$

Exercice 10 Repérer un point - Placer un point

Le plan est muni d'un repère orthonormé

(O; I; J)

$(O\;;\ I\;;\ J)$ dessiné ci-dessous :

1) Placer les points

A (- 3; 0), B (0; - 2)

$A(-3\;;\ 0)\;,\ B(0\;;\ -2)$ et

C (- 3; - 2) .

$C(-3\;;\ -2).$

2) a) On note

A^{'}

$A'$ le symétrique de

A

$A$ par rapport au point

O

$O$ et

B^{'}

$B'$ le symétrique de

B

$B$ par rapport à

O .

$O.$

Placer les points

A^{'}

$A'$ et

B^{'}

$B'$ puis préciser leurs coordonnées.

b) On note

C^{'}

$C'$ le point tel que le quadrilatère

O A^{'} C^{'} B^{'}

$OA'C'B'$ soit un rectangle.

Préciser les coordonnées du point

C^{'} .

$C'.$

3) a) Préciser pourquoi

(O; A; B)

$(O\;;\ A\;;\ B)$ constitue un nouveau repère du plan. Est-il orthogonal ou orthonormé ?

b) Déterminer les coordonnées de chacun des points

O, A, B, C, A^{'}, B^{'}

$O\;,\ A\;,\ B\;,\ C\;,\ A'\;,\ B'$ et

C^{'}

$C'$ dans ce repère

(O; A; B) .

$(O\;;\ A\;;\ B).$

Exercice 11 Lire des coordonnées

A B C D

$ABCD$ est un carré.

E

$E$ est le milieu du segment

[A B]

$[AB]$ et

F

$F$ est le milieu du segment

[B D] .

$[BD].$

Dans le repère orthonormé

(A; B; D)

$(A\;;\ B\;;\ D)$ , préciser les coordonnées des différents points de la figure.

Exercice 12 Coordonnées du milieu d'un segment

Dans un repère, on donne les points

R (4; - 1), S (2; 5), T (3; 2)

$R(4\;;\ -1)\;,\ S(2\;;\ 5)\;,\ T(3\;;\ 2)$ et

U (5; 2) .

$U(5\;;\ 2).$

1) Placer les points

R, S, T

$R\;,\ S\;,\ T$ et

U

$U$ dans ce repère.

2) Démontrer que le point

T

$T$ est le milieu du segment

[R S] .

$[RS].$

3) a) Tracer la parallèle à la droite

(R U)

$(RU)$ passant par le point

T .

$T.$ Justifier pourquoi elle coupe le segment

[S U]

$[SU]$ en son milieu

V .

$V.$

b) Calculer les coordonnées du point

V .

$V.$

Exercice 13 Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Dans un repère, on donne les points

D (- 2; 1), E (3; 3), F (1; - 1)

$D(-2\;;\ 1)\;,\ E(3\;;\ 3)\;,\ F(1\;;\ -1)$ et

G (- 4; - 3) .

$G(-4\;;\ -3).$

Démontrer que le quadrilatère

D E F G

$DEFG$ est un parallélogramme.

Exercice 14

Soit

A B C

$ABC$ un triangle et

α

$\alpha$ un réel. On définit trois points

P, Q, R

$P\;,\ Q\;,\ R$ par :

\vec{C R} = - α \vec{C B} \vec{C Q} = α \vec{C A} et \vec{A P} = α \vec{A B}

$\overrightarrow{CR}=-\alpha\overrightarrow{CB}\quad\overrightarrow{CQ}=\alpha\overrightarrow{CA}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}$

1) Faire une figure pour

α = - 2.

$\alpha=-2.$

2) Déterminer dans le repère

(A, \vec{A B}, \vec{A C})

$(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})$ les coordonnées des points

P, Q

$P\;,\ Q$ et

R

$R$ en fonction de

α .

$\alpha.$

3) Exprimer dans la base

(\vec{A B}, \vec{A C})

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})$ les coordonnées des vecteurs

\vec{P Q}

$\overrightarrow{PQ}$ et

\vec{P R}

$\overrightarrow{PR}$ à l'aide de

α .

$\alpha.$

4) Déterminer

α

$\alpha$ pour que

P, Q, R

$P\;,\ Q\;,\ R$ soient alignés et distincts.

5) Faire la figure dans ce cas et montrer que

Q

$Q$ est alors le milieu de

[P R] .

$[PR].$

Exercice 15

Dans chacun des cas suivants, on demande :

de donner une représentation paramétrique de la droite

(D) .

$(D).$

de déterminer les points d'intersection de

(D)

$(D)$ avec les axes.

de tracer

(D) .

$(D).$

(D)

$(D)$ passe par

A (1, 2)

$A(1\;,\ 2)$ et

B (- 2, 4) .

$B(-2\;,\ 4).$

(D)

$(D)$ passe par

A (1, 2)

$A(1\;,\ 2)$ et a pour vecteur directeur

\vec{u} (3, 1) .

$\vec{u}(3\;,\ 1).$

(D)

$(D)$ passe par

A (1, 2)

$A(1\;,\ 2)$ et a pour coefficient directeur -2.

(D)

$(D)$ a pour équation :

x + 2 y - 3 = 0.

$x+2y-3=0.$

Exercice 16

Soit

(D)

$(D)$ la droite d'équation

3 x - 2 y + 2 = 0

$3x-2y+2=0$ et

(D^{'})

$(D')$ la droite de représentation paramétrique

{\begin{array}{rcl} x & = & 3 - 4 t \\ y & = & - 1 + 2 t \end{array}

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&3-4t \\ y&=&-1+2t\end{array}\right.$

1) Pour chacune des droites, donner deux vecteurs directeurs .

2) Les points suivants appartiennent-ils à

(D)

$(D)$ ou

(D^{'})

$(D')$ :

A (2, 4), B (3, - 1), C (- 1, 1)

$A(2\;,\ 4)\;,\ B(3\;,\ -1)\;,\ C(-1\;,\ 1)$ et

D (4, 7) ?

$D(4\;,\ 7)\ ?$

Exercice 17

Le plan est rapporté à un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j}) .

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On considère l'ensemble

(D_{m})

$(D_{m})$ des points

M

$M$ du plan dont les coordonnées

(x, y)

$(x\;,\ y)$ vérifient l'équation :

(2 m - 1) x + (3 - m) y - 7 m + 6 = 0

$(2m-1)x+(3-m)y-7m+6=0$

1) Montrer que, quel que soit

m \in R, (D_{m})

$m\in\mathbb{R}\;,\ (D_{m})$ est une droite .

2) Dans chacun des cas suivants, trouver m pour que :

(D_{m})

$(D_{m})$ passe par

A (1, 1) .

$A(1\;,\ 1).$

(D_{m})

$(D_{m})$ passe par l'origine du repère.

(D_{m})

$(D_{m})$ soit parallèle à l'axe des abscisses.

(D_{m})

$(D_{m})$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.

(D_{m})

$(D_{m})$ ait pour coefficient directeur -1.

(D_{m})

$(D_{m})$ soit parallèle à la droite d'équation

x - 3 y - 5 = 0.

$x-3y-5=0.$

3) Existe-t-il un point commun à toutes les droites

(D_{m}) ?

$(D_{m})\ ?$

Exercice 18

Soit un parallélogramme

A B C D

$ABCD$ de centre

O

$O$

1) On choisit

(\vec{A B}, \vec{A D})

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})$ comme base de vecteurs. Pourquoi ce choix est-il possible ?

2) Quelles sont les coordonnées des vecteurs

\vec{A C}, \vec{A O}

$\overrightarrow{AC}\;,\ \overrightarrow{AO}$ et

\vec{D B}

$\overrightarrow{DB}$ (justifiez) ?

3) Construire

E

$E$ tel que les coordonnées de

\vec{C E}

$\overrightarrow{CE}$ soient

(\frac{2}{3}; - \frac{5}{3})

$\left(\dfrac{2}{3}\;;\ -\dfrac{5}{3}\right)$

4) Démontrer que

D, B

$D\;,\ B$ et

E

$E$ sont alignés.

Exercice 19

1) Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles, confondues ou sécantes ?

(D_{1}) : 6 x - 3 y + 4 = 0 (D_{2}) : 2 x - y + 7 = 0 (D_{3}) : y = 2 x + \frac{4}{3}

$(D_{1})\ :\ 6x-3y+4=0\quad (D_{2})\ :\ 2x-y+7=0\quad (D_{3})\ :\ y=2x+\dfrac{4}{3}$

(D_{4}) : - 12 x + 6 y - 8 = 0 (D_{5}) : 5 x + 2 y + 10 = 0 (D_{6}) : x - 5 y - 10 = 0

$(D_{4})\ :\ -12x+6y-8=0\quad(D_{5})\ :\ 5x+2y+10=0\quad (D_{6})\ :\ x-5y-10=0$

(D_{7}) : 3 x - 2 y + 5 = 0 (D_{8}) : 2 x + 3 y = 5

$(D_{7})\ :\ 3x-2y+5=0\quad (D_{8})\ :\ 2x+3y=5$

2) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de

D_{7}

$D_{7}$ et

D_{2}

$D_{2}$

Exercice 20

Tracer les droites d'équation :

(Δ_{1}) : y = 2 x - 4 (Δ_{2}) : y = - 3 x + 5

$(\Delta_{1})\ :\ y=2x-4\quad (\Delta_{2})\ :\ y=-3x+5$

$\quad$

(Δ_{3}) : y = \frac{3}{2} x - 4

$(\Delta_{3})\ :\ y=\dfrac{3}{2}x-4$

(Δ_{4}) : y = - \frac{2}{5} x + \frac{1}{5} (Δ_{5}) : x + 2 y - 2 = 0

$(\Delta_{4})\ :\ y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{5}\quad(\Delta_{5})\ :\ x+2y-2=0$

$\quad$

(Δ_{6}) : 2 x - \frac{1}{4} y + 1 = 0

$(\Delta_{6})\ :\ 2x-\dfrac{1}{4}y+1=0$

(Δ_{7}) : 5 x + 2 y - 3 = 0

$(\Delta_{7})\ :\ 5x+2y-3=0$

$\quad$

(Δ_{8}) : - 3 x + 2 y - 7 = 0

$(\Delta_{8})\ :\ -3x+2y-7=0$

Exercice 21

Soient

A B C

$ABC$ un triangle et

O

$O$ un point de la droite

(B C)

$(BC)$ tel que

O \neq B

$O\neq B$ et

O \neq C .

$O\neq C.$ Par

B

$B$ et

C

$C$ , on trace deux droites

Δ_{1}

$\Delta_{1}$ et

Δ_{2}

$\Delta_{2}$ parallèles. La parallèle à

(A C)

$(AC)$ passant par

O

$O$ coupe

Δ_{1}

$\Delta_{1}$ en

I

$I$ et la parallèle à

(A B)

$(AB)$ passant par

O

$O$ coupe

Δ_{2}

$\Delta_{2}$ en

J .

$J.$

Le but du problème est de montrer que

A, I, J

$A\;,\ I\;,\ J$ sont alignés.

On choisit le repère

R = (O, \vec{O I}, \vec{O J}) .

$\mathcal{R}=(O\;,\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ}).$

1) Faire une figure soignée.

2) Soient

(α, β)

$(\alpha\;,\ \beta)$ les coordonnées de

B

$B$ dans le repère

R .

$\mathcal{R}.$ Déterminer les coordonnées de

\vec{J B} .

$\overrightarrow{JB}.$

3) Déterminer les coefficients directeurs des droites

(O B), (B J)

$(OB)\;,\ (BJ)$ et

(C J) .

$(CJ).$

4) Déterminer les équations réduites des droites

(B C)

$(BC)$ et

(C J)

$(CJ)$ et en déduire l'abscisse de

C .

$C.$

5) Quelles sont les coordonnées du point

A

$A$ ?

6) Prouver que

A, I

$A\;,\ I$ et

J

$J$ sont alignés.

Exercice 22

A B C D

$ABCD$ est un parallélogramme,

a

$a$ et

b

$b$ sont deux réels non nuls.

E

$E$ et

F

$F$ sont les points tels que :

\vec{A E} = a \vec{A B} et \vec{A F} = b \vec{A D}

$\overrightarrow{AE}=a\overrightarrow{AB}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AF}=b\overrightarrow{AD}$

La droite parallèle à

(A D)

$(AD)$ passant par

E

$E$ coupe

(C D)

$(CD)$ en

G

$G$ et la droite parallèle à

(A B)

$(AB)$ passant par

F

$F$ coupe

(B C)

$(BC)$ en

H .

$H.$ On note

K

$K$ le point d'intersection des droites

(E G)

$(EG)$ et

(F H) .

$(FH).$

On considère le repère

R = (A, \vec{A B}, \vec{A D}) .

$\mathcal{R}=(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}).$

N.B. On fera une figure illustrant les données avec

a = \frac{3}{2}; b = 2; A B = 4 c m

$a=\dfrac{3}{2}\;;\ b=2\;;\ AB=4\;cm$ et

A D = 2.5 c m .

$AD=2.5\;cm.$

1) Déterminer les coordonnées des points

A, B, C, D, E, F, G, H

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G\;,\ H$ et

K

$K$ dans le repère

R .

$R.$

2) Déterminer une condition sur

a

$a$ et

b

$b$ pour que les droites

(F G)

$(FG)$ et

(E H)

$(EH)$ soient parallèles, puis montrer qu'avec cette condition, on a :

(F G) / / (A C)

$(FG)//(AC)$ et

(E H) / / (A C) .

$(EH)//(AC).$

3) Montrer que si

a + b = 1

$a+b=1$ , alors

K \in (B D) .

$K\in(BD).$

4) Déterminer une condition sur

a

$a$ et

b

$b$ pour que les droites

(E F)

$(EF)$ et

(G H)

$(GH)$ soient parallèles, puis montrer que, dans ce cas, on a :

(E F) / / (D B)

$(EF)//(DB)$ et

(G H) / / (D B) .

$(GH)//(DB).$

5) Montrer alors que

K \in (A C) .

$K\in(AC).$

6) Montrer que le quadrilatère

E F G H

$EFGH$ est un parallélogramme si, et seulement si :

{\begin{array}{rcl} a + b & = & 1 \\ a & = & b \end{array}

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b&=&1 \\ a&=&b\end{array}\right.$

7) Montrer qu'alors

E

$E$ et

G

$G$ sont les milieux respectifs de

[A B]

$[AB]$ et

[C D]

$[CD]$ et que les parallélogrammes

A B C D

$ABCD$ et

E F G H

$EFGH$ ont même centre.

Exercice 23

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal

(O; \vec{i}, \vec{j})

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ soient le point

A (- 2; 1)

$A(-2\;;\ 1)$ et le vecteur

\vec{u} = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix})

$\vec{u}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3\end{pmatrix}$ . On note

d

$d$ la droite passant par

A

$A$ et de vecteur directeur

\vec{u} .

$\vec{u}.$

1) Le point

O

$O$ appartient-il à

d

$d$ ? Le point

B (- 1; - 1 / 2) ?

$B(-1\;;\ -1/2)\ ?$

2) Donner une équation de

d

$d$ et la tracer. Quelles sont les coordonnées de ses points d'intersection avec les axes ?

C

$C$ est le point tel que

\vec{B C} = 2 \vec{A O} .

$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AO}.$ Déterminer les coordonnées de

C

$C$ ainsi qu'une équation de la droite

(B C) .

$(BC).$ La tracer et déterminer son intersection avec

d .

$d.$

4) Soit

d^{'}

$d'$ la droite passant par

D (0; 4)

$D(0\;;\ 4)$ et parallèle à

d .

$d.$ Donner une équation de

d^{'}

$d'$ , la tracer et déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées de son point d'intersection

K

$K$ avec

(B C) .

$(BC).$

5) Soit

δ

$\delta$ la droite d'équation

x + 2 y - 4 = 0.

$x+2y-4=0.$ Déterminer son vecteur directeur ainsi que deux de ses points. Tracer

δ .

$\delta.$ Que peut on en dire ? Déterminer ses points d'intersection avec

d

$d$ et

d^{'} .

$d'.$

6) Montrer de trois manières différentes que la figure formée par

d, d^{'}, δ

$d\;,\ d'\;,\ \delta$ et

(B C)

$(BC)$ est un parallélogramme.

Exercice 24

Soient

A (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}),

$A\begin{pmatrix} 2\\ 5\end{pmatrix}\;,\$

B (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix})

$B\begin{pmatrix} 3\\ -4\end{pmatrix}\$ et

C (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix})

$C\begin{pmatrix} 1\\ 7\end{pmatrix}$ trois points du plan.

1) Déterminer les équations cartésiennes de :

a) la droite

(A B)

$(AB)$

b) la droite

D

$\mathfrak{D}$ passant par

C

$C$ et parallèle à

(A B)

$(AB)$

c) la médiatrice de

[A C]

$[AC]$

d) la hauteur issue de

C

$C$

2) Déterminer

d (C, (A B))

$d(C\;,\ (AB)\;)\$ et

d (B, D)

$d(B\;,\ \mathfrak{D})$ , les distances entre

C

$C$ et

(A B)

$(AB)$ et,

B

$B$ et

D

$\mathfrak{D}$ respectivement.

3) Déterminer l'équation du cercle de diamètre

[B C]

$[BC]$

Exercice 25

Soit

(D_{m})

$(\mathfrak{D}_{m})$ la droite d'équation :

(m - 1) x + (m - 2) y + m = 0

$(m-1)x+(m-2)y+m=0$

1) Montrer que

(m - 1; m - 2) \neq (0; 0)

$(m-1\;;\ m-2)\neq (0\;;\ 0)$

2)a) Déterminer

m

$m$ pour que

(D_{m}) ∥

$(\mathfrak{D}_{m})\parallel$ à l'axe des abscisses.

b) Déterminer

m

$m$ pour que

(D_{m}) ∥

$(\mathfrak{D}_{m})\parallel$ à l'axe des ordonnées.

c) Déterminer

m

$m$ pour que

(D_{m}) ∥ D : x + 3 y + 2 = 0

$(\mathfrak{D}_{m})\parallel\ \mathfrak{D}\ :\ x+3y+2=0$

Exercice 26

Soit

(Δ_{m})

$(\Delta_{m})$ la droite d'équation :

(2 m - 1) x + (3 - m) y - 7 m + 6 = 0

$(2m-1)x+(3-m)y-7m+6=0$

1) Pour quelles valeurs de

m, Δ_{m}

$m\;,\ \Delta_{m}$ est-elle :

a) parallèle à

(O x)

$(Ox)$ ?

b) parallèle à

(O y)

$(Oy)$ ?

c) parallèle à

Δ : 2 x + y - 4 = 0

$\Delta\ :\ 2x+y-4=0$ ?

d) perpendiculaire à

Δ^{'} : x + y = 0

$\Delta'\ :\ x+y=0$ ?

2) Montrer que toutes les droites

(Δ_{m})

$(\Delta_{m})$ passent par un point fixe

A

$A$ dont on déterminera les coordonnées.

Exercice 27

1) Soit la droite

(Δ) : 3 x + 2 y - 5 = 0

$(\Delta)\ :\ 3x+2y-5=0$

Déterminer un système d'équations paramétriques de

(Δ)

$(\Delta)$

2) Soit

(Δ^{'})

$(\Delta')$ la droite dont un système d'équations paramétriques est

{\begin{array}{lcl} x & = & 3 t + 1 \\ y & = & - 2 t + 3 \end{array}

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&3t+1\\ y&=&-2t+3 \end{array}\right.$

Déterminer une équation cartésienne de

(Δ^{'})

$(\Delta')$

Exercice 28

Soient

A (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

$A\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

B (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

$B\begin{pmatrix} 3\\ 4\end{pmatrix}$ deux points du plan,

D_{1} : 2 x - 3 y + 5 = 0

$\mathfrak{D}_{1}\ :\ 2x-3y+5=0$

1) déterminer un système d'équations paramétriques des droites

(A B)

$(AB)$ et

D_{1}

$\mathfrak{D}_{1}$

2) Soit

D_{2} : {\begin{array}{lcl} x & = & 2 - t \\ y & = & 3 + 4 t \end{array}

$\mathfrak{D}_{2}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&2-t\\ y&=&3+4t \end{array}\right.$

A (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

$A\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

D (\begin{matrix} 0 \\ 11 \end{matrix})

$D\begin{pmatrix} 0\\ 11 \end{pmatrix}$ appartiennent-ils à

D_{2}

$\mathfrak{D}_{2}$ ?

b) Déterminer l'équation cartésienne de

D_{2}

$\mathfrak{D}_{2}$

c) Déterminer

d (A, D_{2})

$d(A\;,\ \mathfrak{D}_{2})$ ; la distance entre le point

A

$A$ et la droite

D_{2}

$\mathfrak{D}_{2}$

3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de :

D_{1}

$\mathfrak{D}_{1}$ et

D_{2}

$\mathfrak{D}_{2}$

D_{1}

$\mathfrak{D}_{1}\$ et

D_{6} : x + y + 1 = 0

$\mathfrak{D}_{6}\ :\ x+y+1=0$

D_{2}

$\mathfrak{D}_{2}\$ et

D_{7} : {\begin{array}{lcl} x & = & 1 + t \\ y & = & 7 - 2 t \end{array}

$\mathfrak{D}_{7}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&1+t\\ y&=&7-2t \end{array}\right.$

Équations de cercle

Exercice 29

1) Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle ?

Si oui, donner le centre et le rayon.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0

$x^{2}+y^{2}-6x+8y-5=0$

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 1 = 0

$x^{2}+y^{2}+2x+4y-1=0$

2) Discuter suivant les valeurs du paramètre

m

$m$ la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble

(E)

$(\mathcal{E})$ des points

M (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

$M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ tels que

x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 x = m^{2} - 6

$x^{2}-2x+y^{2}+4x=m^{2}-6$

Exercice 30

Soit

(O; \vec{i}, \vec{j})

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ un repère du plan,

A (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}), B (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}), C (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

$A\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\;,\ C\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ et

Ω (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

$\Omega\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}$ quatre points dans

(O; \vec{i}, \vec{j}) .

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

1) Trouver les coordonnées de

A, B

$A\;,\ B$ et

C

$C$ dans

(Ω; \vec{i}, \vec{j})

$(\Omega\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et dans

(Ω; 2 \vec{i}, 3 \vec{j}) .

$(\Omega\;;\ 2\vec{i}\;,\ 3\vec{j}).$

2) Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de

A

$A$ , dans

(Ω; \vec{i}, \vec{j}) .

$(\Omega\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 31

Le plan est muni d'un repère orthonormé

(O; \vec{i}, \vec{j}) .

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

1) Déterminer l'équation cartésienne d'un cercle de centre

Ω (- 2; 4)

$\Omega(-2\;;\ 4)$ et de rayon 2.

2) Soit

(E) : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0

$(E)\ :\ x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$ Montrer que

(E)

$(E)$ est l'équation d'un cercle dont on déterminera le centre

I

$I$ et le rayon

r .

$r.$

Exercice 32

Soient

(C)

$(\mathcal{C})$ et

(C^{'})

$(\mathcal{C}')$ deux cercles d'équations respectives

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0

$x^{2}+y^{2}-2x+4y-20=0$

et x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 26 = 0

$\text{ et}\quad x^{2}+y^{2}+2x-6y-26=0$

(C)

$(\mathcal{C})$ et

(C^{'})

$(\mathcal{C}')$ sont-ils sécants ?

2) Si oui, déterminer les coordonnées de leurs points d'intersection.

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Mamadou Dia (non vérifié)

lun, 07/22/2019 - 09:47

Permalien

Bj, chers monsieurs ou

Bj, chers monsieurs ou madames! J'ai traité ces exercices ( repérage) mais sauf que je ne trouve pas la correction. Je souhaiterais que vous me les envoyiez sur ci-dessus. Apparemment j'avoue que ce site est très pertinent, surtout pour nous qui se trouve dans les campagnes, qui n'ont pas les moyens de prendre des cours privés. Merci infiniment !!

répondre

Fat Bintou Diop (non vérifié)

jeu, 05/05/2022 - 21:20

Permalien

Reste de la correction

Bjr chers Mrs je voulais obtenir le reste de la correction Merci

répondre

Dior Kama (non vérifié)

lun, 03/02/2020 - 22:51

Permalien

la correction

répondre

Amadou sow (non vérifié)

jeu, 04/23/2020 - 02:20

Permalien

Et si on aurait les

Et si on aurait les corrections..

répondre

Alssainy Diallo (non vérifié)

sam, 08/22/2020 - 01:07

Permalien

Je voulais vérifie de ce que je fais est bon

En verifiant

répondre

Anonyme (non vérifié)

mar, 09/15/2020 - 15:45

Permalien

J'aimerais avoir la

J'aimerais avoir la correction de ces exercices

répondre

Boniface mané (non vérifié)

mar, 03/21/2023 - 14:47

Permalien

Explication

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 04/04/2021 - 20:34

Permalien

$\frac{1}{2}=\overline{AB}$

\frac{1}{2} = \bar{A B}

$\frac{1}{2}=\overline{AB}$ Excellent !

répondre

Fatoumata (non vérifié)

mer, 06/08/2022 - 23:01

Permalien

Avis

Votre site est la meilleure mais j'aimerais juste que vous y mettez les corrections à notre disponibilité Pour chacun de nous pour que Les problème soit résolu et que nous passons à autres choses

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