Solution des exercices : Fonctions - 2nd
Classe:
Seconde
Exercice 1
Déterminons les taux de variation des fonctions suivantes et dressons leur tableau de variation
Soit : $f(x)=x^{2}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{f}$ alors, le taux de variation de $f$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
$ $
Donc, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}}$
$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches alors, pour $x_{1}=x_{2}=x$ on a :
$ $
D'où, $\boxed{T_{x}=2x}$
On a :
$ $
Donc, si $x\in[0\;;\ +\infty[\;,\ f$ est croissante
$ $
Donc, si $x\in\,]-\infty\;;\ 0]\;,\ f$ est décroissante
D'où, le tableau de variation de $f$
Soit : $g(x)=x^{2}-3x+1\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{g}$ alors, le taux de variation de $g$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
$ $
Ainsi, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}-3}$
Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$ on obtient :
$ $
D'où, $\boxed{T_{x}=2x-3}$
On a :
$ $
Donc, $g$ est croissante si, $x\in\left[\dfrac{3}{2}\;;\ +\infty\right[$
$ $
Par suite, $g$ est décroissante si, $x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{3}{2}\right]$
D'où, le tableau de variation de $g$
Soit : $h(x)=\dfrac{1}{x}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{h}$ alors, le taux de variation de $h$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
$ $
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=-\dfrac{1}{x_{2}\times x_{1}}}$
Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$ on obtient :
$ $
Donc, $\boxed{T_{x}=-\dfrac{1}{x^{2}}}$
On a :
$ $
Donc, $T_{x}<0$ pour tout $x\neq 0$
D'où, $h$ est décroissante sur $D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
Le tableau de variation de $h$ est donné par :
Soit : $k(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{k}$ alors, le taux de variation de $k$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
$ $
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=-\dfrac{5}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)}}$
$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches donc, pour $x_{1}=x_{2}=x$ on a :
$ $
Ainsi, $\boxed{T_{x}=-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}}$
On sait que : $\forall\;x\neq 3\;;\ \dfrac{5}{(x-3)^{2}}$ est positive.
Par suite, $-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}<0\;;\ \forall\;x\neq 3$
Ainsi, $T_{x}<0$ pour tout $x\neq 3$
D'où, $k$ est décroissante sur $D_{k}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$
Le tableau de variation de $k$ est donné par :
Soit : $m(x)=\dfrac{x^{2}+5x+7}{x+3}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{m}=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ alors, le taux de variation de $m$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
$ $
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=\dfrac{x_{2}.x_{1}+3x_{2}+3x_{1}+8}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)}}$
Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$, on obtient :
$ $
D'où, $\boxed{T_{m}=\dfrac{x^{2}+6x+8}{(x+3)^{2}}}$
Cherchons le signe de $T_{m}$
Pour cela, cherchons les signes de $x^{2}+6x+8\ $ et de $(x+3)^{2}$
Soit : $x^{2}+6x+8$, on a : $\Delta=36-32=4$
$\Delta>0$ alors, le trinôme admet deux racines distinctes :
Ainsi, $x^{2}+6x+8$ est positif sur $]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$ et est négatif sur $[-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$
Par ailleurs, $\forall\;x\in D_{m}\;;\ (x+3)^{2}>0$
Regroupons ces résultats dans le tableau de signe suivant :
D'après le tableau, on a :
$\centerdot\ \ T_{m}\geq 0$ lorsque $x\in\;]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$ donc, $T_{m}$ est croissante sur $]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$
$\centerdot\ \ T_{m}\leq 0$ pour tout $x\in [-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$ d'où, $T_{m}$ décroissante sur $[-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
Soit : $f_{1}(x)=x^{3}-3x\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{f_{1}}=\mathbb{R}$ alors, le taux de variation de $f_{1}$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
$ $
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{1}.x_{2}-3}$
$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$, on obtient :
$ $
Ainsi, $\boxed{T_{f_{1}}=3(x-1)(x+1)}$
Cherchons le signe de $T_{f_{1}}$
Comme $3>0$ alors le signe de $T_{f_{1}}$ dépend du signe de $(x-1)(x+1)$
Or, $(x-1)(x+1)$ est positif sur $]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$ et est négatif sur $[-1\;;\ 1]$
Par suite,
$\centerdot\ \ T_{f_{1}}\geq 0$ lorsque $x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$ donc, $T_{f_{1}}$ est croissante sur $]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$
$\centerdot\ \ T_{f_{1}}\leq 0$ pour tout $x\in [-1;;\ 1]$ d'où, $T_{f_{1}}$ décroissante sur $[-1\;;\ 1]$
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 07/01/2021 - 20:48
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bonne proute
Anonyme (non vérifié)
lun, 06/03/2024 - 22:51
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Correction de l'exercice 2
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:27
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Réussir
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:27
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Réussir
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:28
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Réussir
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:51
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