Solution des exercices : Fonctions - 2nd

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

Déterminons les taux de variation des fonctions suivantes et dressons leur tableau de variation
 
Soit : $f(x)=x^{2}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{f}$ alors, le taux de variation de $f$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
 
$Tx1x2=f(x2)f(x1)x2x1=x22x12x2x1=(x2x1)(x2+x1)x2x1=x2+x1$
 
Donc, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}}$
 
$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches alors, pour $x_{1}=x_{2}=x$ on a :
 
$Tx=Tx1x2=x2+x1=x+x=2x$
 
D'où, $\boxed{T_{x}=2x}$
 
On a :
 
$Tx02x0x0$
 
Donc, si $x\in[0\;;\ +\infty[\;,\ f$ est croissante 
 
$Tx02x0x0$
 
Donc, si $x\in\,]-\infty\;;\ 0]\;,\ f$ est décroissante 
 
D'où, le tableau de variation de $f$
x0++|+variations de f|f(0)
Soit : $g(x)=x^{2}-3x+1\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{g}$ alors, le taux de variation de $g$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
 
$Tx1x2=g(x2)g(x1)x2x1=x223x2+1x12+3x11x2x1=x22x123x2+3x1x2x1=(x2x1)(x2+x1)3(x2x1)x2x1=(x2x1)[(x2+x1)3]x2x1=x2+x13$
 
Ainsi, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}-3}$
 
Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$ on obtient :
 
$Tx=Tx1x2=x2+x13=x+x3=2x3$
 
D'où, $\boxed{T_{x}=2x-3}$
 
On a :
 
$Tx02x302x3x32$
 
Donc, $g$ est croissante si, $x\in\left[\dfrac{3}{2}\;;\ +\infty\right[$
 
$Tx02x302x3x32$
 
Par suite, $g$ est décroissante si, $x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{3}{2}\right]$ 
 
D'où, le tableau de variation de $g$
x3/2++|+variations de g|f(32)
Soit : $h(x)=\dfrac{1}{x}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{h}$ alors, le taux de variation de $h$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
 
$Tx1x2=h(x2)h(x1)x2x1=1x21x1x2x1=x1x2x2×x1x2x1=(x2x1)(x2×x1)(x2x1)=1x2×x1$
 
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=-\dfrac{1}{x_{2}\times x_{1}}}$
 
Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$ on obtient :
 
$Tx=Tx1x2=1x2×x1=1x×x=1x2$
 
Donc, $\boxed{T_{x}=-\dfrac{1}{x^{2}}}$
 
On a :
 
$x0; x2>01x2>01x2<0$
 
Donc, $T_{x}<0$ pour tout $x\neq 0$
 
D'où, $h$ est décroissante sur $D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
 
Le tableau de variation de $h$ est donné par :
x0+0||+variations de h||||0
Soit : $k(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{k}$ alors, le taux de variation de $k$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
 
$Tx1x2=k(x2)k(x1)x2x1=x2+2x23x1+2x13x2x1=(x2+2)(x13)(x1+2)(x23)(x23)(x13)x2x1=x1.x2+2x13x26x1.x22x2+3x1+6(x23)(x13)(x2x1)=2x13x22x2+3x1(x23)(x13)(x2x1)=5x15x2(x23)(x13)(x2x1)=5(x2x1)(x23)(x13)(x2x1)=5(x23)(x13)$
 
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=-\dfrac{5}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)}}$
 
$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches donc, pour $x_{1}=x_{2}=x$ on a :
 
$Tx=Tx1x2=5(x23)(x13)=5(x3)(x3)=5(x3)2$
 
Ainsi, $\boxed{T_{x}=-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}}$
 
On sait que : $\forall\;x\neq 3\;;\ \dfrac{5}{(x-3)^{2}}$ est positive.
 
Par suite, $-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}<0\;;\ \forall\;x\neq 3$
 
Ainsi, $T_{x}<0$ pour tout $x\neq 3$
 
D'où, $k$ est décroissante sur $D_{k}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$
 
Le tableau de variation de $k$ est donné par :
x3+1||+variations de k||||1
Soit : $m(x)=\dfrac{x^{2}+5x+7}{x+3}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{m}=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ alors, le taux de variation de $m$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
 
$Tx1x2=m(x2)m(x1)x2x1=x22+5x2+7x2+3x12+5x1+7x1+3x2x1=(x22+5x2+7)(x1+3)(x12+5x1+7)(x2+3)(x2+3)(x1+3)x2x1=x22.x1+5x1.x2+7x1+3x22+15x2+21x12.x25x1.x27x23x1215x121(x2+3)(x1+3)(x2x1)=x22.x1x12.x2+8x28x1+3x223x12(x2+3)(x1+3)(x2x1)=x2.x1(x2x1)+8(x2x1)+3(x2x1)(x2+x1)(x2+3)(x1+3)(x2x1)=(x2x1)(x2.x1+8+3(x2+x1))(x2+3)(x1+3)(x2x1)=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)$
 
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=\dfrac{x_{2}.x_{1}+3x_{2}+3x_{1}+8}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)}}$
 
Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$, on obtient :
 
$Tm=Tx1x2=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)=x×x+3x+3x+8(x+3)(x+3)=x2+6x+8(x+3)2$
 
D'où, $\boxed{T_{m}=\dfrac{x^{2}+6x+8}{(x+3)^{2}}}$
 
Cherchons le signe de $T_{m}$
 
Pour cela, cherchons les signes de $x^{2}+6x+8\ $ et de $(x+3)^{2}$
 
Soit : $x^{2}+6x+8$, on a : $\Delta=36-32=4$
 
$\Delta>0$ alors, le trinôme admet deux racines distinctes :
x1=622=82=4etx2=6+22=42=2
Ainsi, $x^{2}+6x+8$ est positif sur $]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$ et est négatif sur $[-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$
 
Par ailleurs, $\forall\;x\in D_{m}\;;\ (x+3)^{2}>0$
 
Regroupons ces résultats dans le tableau de signe suivant :
x432+x2+6x+8+||+(x+3)2++|++x2+6x+8(x+3)2+||||+
D'après le tableau, on a :
 
$\centerdot\ \ T_{m}\geq 0$ lorsque $x\in\;]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$ donc, $T_{m}$ est croissante sur $]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$
 
$\centerdot\ \ T_{m}\leq 0$ pour tout $x\in [-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$ d'où, $T_{m}$ décroissante sur $[-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$
 
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
x432+m(4)||++variations de m||||m(2)
Soit : $f_{1}(x)=x^{3}-3x\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{f_{1}}=\mathbb{R}$ alors, le taux de variation de $f_{1}$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :
 
$Tx1x2=f1(x2)f1(x1)x2x1=x233x2x13+3x1x2x1=x23x133x2+3x1x2x1=(x2x1)(x22+x1.x2+x12)3(x2x1)x2x1=(x2x1)[(x22+x1.x2+x12)3]x2x1=x22+x12+x1.x23$
 
D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{1}.x_{2}-3}$
 
$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$, on obtient :
 
$Tf1=Tx1x2=x2+x2+x×x3=3x23=3(x21)$
 
Ainsi, $\boxed{T_{f_{1}}=3(x-1)(x+1)}$
 
Cherchons le signe de $T_{f_{1}}$
 
Comme $3>0$ alors le signe de $T_{f_{1}}$ dépend du signe de $(x-1)(x+1)$
 
Or, $(x-1)(x+1)$ est positif sur $]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$ et est négatif sur $[-1\;;\ 1]$
 
Par suite,
 
$\centerdot\ \ T_{f_{1}}\geq 0$ lorsque $x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$ donc, $T_{f_{1}}$ est croissante sur $]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$
 
$\centerdot\ \ T_{f_{1}}\leq 0$ pour tout $x\in [-1;;\ 1]$ d'où, $T_{f_{1}}$ décroissante sur $[-1\;;\ 1]$
 
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
x11+f1(1)+variations de f1f1(1)
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

bonne proute

Correction de l'exercice 2

Il faut réussir en travaillant

Il faut réussir en travaillant

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