Solution des exercices : Oscillations Mécaniques - Ts

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

I.
 
1) Équation différentielle du mouvement du corps $M$
 
 
Système étudié : le corps
 
Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
 
Bilan des forces extérieurs appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ ; la tension $\overrightarrow{T}$ ; la réaction $\overrightarrow{R}$ ; du plan horizontal
 
Le Théorème du centre d'inertie s'écrit : $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{R}=m\vec{a}$
 
En projetant suivant l'axe $(Ox)$ ; il vient : 
 
\begin{eqnarray} 0-kx &=& m\ddot{x}\nonumber\\\\\Rightarrow\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x&=&0 \end{eqnarray}  
 
est l'équation différentielle du mouvement de $M$ où $\ddot{x}+\omega^{2}x=0\text{ avec }\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
 
2) Détermination de l'équation horaire du mouvement du corps $M$ 
 
a) Cas : $t=0$ ; $x=x_{0}>0$ et la vitesse initiale de $M$ est nulle
 
L'équation différentielle admet comme solution : $x=x_{m}\cos\left(\omega t\varphi\right)$
 
\begin{eqnarray} \text{A}\quad t&=&0\nonumber\\\\\Rightarrow x(0)&=& x_{m}\cos\left(\omega\times 0+\varphi\right)\nonumber\\\\ &=& x_{m}\cos\varphi\nonumber\\\\ &=& x_{0}>0 \end{eqnarray}   
 
$x=-\omega x_{m}\sin\left(\omega t+\varphi\right)$
 
\begin{eqnarray} \dot{x}(0)&=& -\omega x_{m}\sin\left(\omega\times 0+\varphi\right)\nonumber\\\\&=& -\omega x_{m}\sin\varphi\nonumber\\\\&=&0\nonumber\\\\\Rightarrow\varphi &=&0\nonumber\\\\\text{ou}\quad\varphi &=&\pi\nonumber\\\\\text{or à}\quad t=0\ ;\ \cos\varphi>0\nonumber\\\\\Rightarrow\varphi &=&0\nonumber\\\\\Rightarrow x_{m}\cos 0 &=& x_{0}\nonumber\\\\\Rightarrow x_{m}&=& x_{0}\nonumber\\\\\text{d'où}\quad x&=& x_{0}\cos\omega t \end{eqnarray}
 
b) cas : $t=0$ le corps $M$ est en $x=x_{0}$ et la vitesse de $M$ est $\vec{v}=v_{0}\vec{e}_{x}$ avec $v_{0}>0$
 
$\begin{array}{lcr} \text{A}\quad t=0\Rightarrow\;x(0)&=&x_{m}\cos\left(\omega\times 0+\varphi\right)\\\\&=&x_{m}\cos\varphi\\\\&=&x_{0} \end{array}$
 
$\begin{array}{lcr} \dot{x}(0)&=&-\omega\,x_{m}\sin\left(\omega\times 0+\varphi\right)\\\\&=&-\omega\,x_{m}\sin\varphi\\\\&=&v_{0}>0\\\\\Rightarrow\sin\varphi&<&0\\\\\dfrac{-\omega\,x_{m}\sin\varphi}{x_{m}\cos\varphi}&=&\dfrac{v_{0}}{x_{0}}\\\\\Rightarrow\tan\varphi&=&-\dfrac{v_{0}}{\omega\,x_{0}}\\\\\Rightarrow\varphi&=&\tan^{-1}\left(-\dfrac{v_{0}} {\omega\,x_{0}}\right)\\\\\Rightarrow\,x&=&x_{m}\cos\left(\omega\,t+\tan^{-1}\left(-\dfrac{v_{0}}{\omega\,x_{0}}\right)\right) \end{array}$
 
II.
 
1) Détermination de la position d'équilibre du corps $M.$
 
Système étudier : le corps
 
Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
 
Bilan des forces extérieurs appliqués : le poids $\overrightarrow{P}$ ; la tension $\overrightarrow{T}$
 
La condition d'équilibre  s'écrit : 
 
$\begin{array}{lcr} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}&=&\overrightarrow{0}\\\\\Rightarrow\;mg-k\left(l-l_{0}\right)&=&0 \end{array}$
 
2) Équation différentielle du mouvement de $M$
 
En mouvement : 
 
$\begin{array}{lcr} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}&=&m\vec{a}\\\\\Rightarrow\;mg-k\left(l+x-l_{0}\right)&=&m\ddot{x}\\\\\Rightarrow\;mg-k\left(l-l_{0}\right)-kx&=&m\ddot{x}\\\\\Rightarrow\;\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x&=&0 \end{array}$

Exercice 2 : Oscillations d'un pendule simple

1) Conservation de l'énergie
 
a) Expression de l'énergie cinétique $E_{C}(\dot{\theta})$, de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{P}(\theta)$ et de l'énergie totale $E.$
 
$E_{P}(\theta)=mg\left(l-\cos\theta\right)$
 
$\begin{array}{lcr} E_{C}(\dot{\theta})&=&\dfrac{1}{2}mv^{2}\\\\\text{or }v&=&1\dot{\theta}\\\\\Rightarrow\;E_{C}(\dot{\theta})&=&\dfrac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2} \end{array}$
 
$\begin{array}{lcr} E_{m}&=&E_{P}(\theta)+E_{C}(\dot{\theta})\\\\&=&mg\left(l-\cos\theta\right)+\dfrac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2} \end{array}$
 
$\begin{array}{lcr} \text{A}\quad t=0\quad E_{m0}&=&E_{P}\left(\theta_{0}\right)+E_{C}\left(\dot{\theta_{0}}\right)\\\\&=&mg\left(l-\cos\theta_{0}\right)\\\\&=&mg\left(l-\cos\theta_{0}\right)\\\\&=&\text{cte} \end{array}$
 

Commentaires

Je voudrais avoir la correction de l exercice 6

Bonjour, Svp, pouvez vous m'avoir la correction de l'exercice 10 ?. Merci

Svp, pouvez vous me donner la correction de l'exo 10

Bonjour Des exercices extra pour bien maîtriser les oscillations mecaniques.je veux une version pdf si c possible Cordialement

Vous avez de très bons exercices et ça nous permet, nous enseignants d'aider nos élèves et d'approfondir notre connaissance.

Je voudrai la correction de l'exercice 7

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