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Série d'exercices sur les fonctions réciproques 1e S

Exercice 1

On pose pour

$a$ réel strictement positif la fonction

$f_{a}$ définie sur

$[0\;,\ a]$ par :

Pour tout

$x\in [0\;,\ a]$ ,

$f_{a}(x)=\dfrac{a-x}{a(a+x}$ .

1) Montrer que

$f_{a}$ réalise une bijection de

$[0\;;\ a]$ sur

$\left[0\;;\ \frac{1}{a}\right]$ . On note

$f_{a}^{-1}$ sa bijection réciproque.

2) Donner le tableau des variations de

$f_{a}^{-1}$ en précisant les valeurs aux bornes.

3) Montrer que

$f_{a}^{-1}=f_{\frac{1}{a}}$

Exercice 2

Soit

$f$ la fonction définie sur

$[0\;,\ +\infty[$ par

$f(x)=\sqrt{4x^{2}+x}+2x+1$

1) Etudier la continuité et la dérivabilité de

$f$ sur

$[0\;,\ +\infty[$

2) Montrer que

$f$ est une bijection de

$[0\;,\ +\infty[$ sur un intervalle

$J$ que l'on précisera

3) Sur quel ensemble

$f^{-1}$ est-elle continue ?

4) Expliciter

$f^{-1}(x)$ pour

$x\in J$

5) Montrer que l'équation

$f(x)=x+2$ admet une solution unique

$a\in \left]\frac{1}{4}\;,\ \frac{1}{2}\right[$

Exercice 3

Soit

$f\ :\ x\longmapsto f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}$

1) Déterminer le domaine de définition

$D_{f}$ de

$f$ .

2) Etudier la dérivabilité de

$f$ sur

$D_{f}$ .

3) Montrer que

$f$ est une bijection de

$[0\;,\ 1[$ sur un intervalle

$J$ que l'on précisera.

4) Expliciter

$f^{-1}(x)$ pour

$x\in J$

Exercice 4

Soit

$f\ :\ x\longmapsto f(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

1) Etudier la dérivabilité de

$f$ sur

$\mathbb{R}$ .

2) Montrer que

$f$ est une bijection de

$\mathbb{R}$ sur un intervalle

$J$ que l'on précisera

3) Expliciter

$f^{-1}(x)$ pour

$x\in J$

4) Montrer que

$f^{-1}$ est dérivable sur

$J$ et calculer

$(f^{-1})(1)$ .

Exercice 5

On considère la fonction

$f$ définie sur

$[-1\;,\ 1]-\{0\}$ par

$f(x)=1+\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$

On note par

$C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé

$R$ .

Partie A

1) Calculer

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} f(x)$ ;

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}} f(x)$ et interpréter les résultats obtenus

2) Etudier la dérivabilité de

$f$ en point d'abscisse

$x=1$ et interpréter le résultat obtenu.

3) Etudier la dérivabilité de

$f$ en point d'abscisse

$x=-1$ et interpréter le résultat obtenu.

4) Montrer que :

$\forall\; x\in [-1\;,\ 1]-\{0\}\$ :

$\ f'(x)=\dfrac{-1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$

5) Dresser le tableau de variation de la fonction

$f$ .

6) Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$]0\;,\ 1[$ sur un intervalle

$J$ que l'on précisera.

7) Expliciter

$f^{-1}(x)$ pour tout

$x$ de

$J$ .

8) Représenter dans le même repère

$R$ la courbe

$C$ et

$C'$ de

$f^{-1}$ .

Partie B

Soit

$g$ la fonction définie sur

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par

$g(x)=f(\cos x)$

1) Montrer que pour tout

$x$ de

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ ,

$g(x)=1+\tan (x)$

2) Etudier le sens de variation de la fonction

$g$

3) Montrer que l'équation :

$g(x)=x$ admet une unique solution

$\alpha$ dans

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ et vérifier que

$0<\alpha <\dfrac{\pi}{4}$

4) Montrer que

$g$ réalise une bijection de

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur un intervalle

$K$ que l'on précisera

5) Montrer que

$g^{-1}$ est dérivable sur

$K$ et

$\forall\;x\in K\$ :

$\ (g^{-1})'(x)=\dfrac{1}{x^{2}-2x+2}$

Exercice 6

Soit la fonction

$f$ définie sur

$[1\;,\ +\infty[$ par :

$f(x)=x+\sqrt{x^{2}-1}$

1) Montrer que

$f$ est dérivable sur

$]1\;,\ +\infty[$ et calculer

$f'(x)$ .

2) Etudier la dérivabilité de

$f$ à droite en 1 et interpréter le résultat obtenu.

3) Dresser le tableau de variation de

$f$ .

4) Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$[1\;,\ +\infty[$ sur un intervalle

$J$ que l'on précisera.

5) Montrer que pour tout

$x$ de

$J\$ :

$\ f^{-1}(x)=\dfrac{1+x^{2}}{2x}$

6) On désigne par

$C$ et

$C'$ les courbes respectives de

$f$ et

$f^{-1}$ dans le même repère orthonormé.

montrer que la droite

$D\$ :

$\ y=2x$ est une asymptote oblique à

$C$ .

7) Tracer

$C$ et

$C'$

8) Soit

$g$ la fonction définie sur

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par

$g(x)=f\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)$

a) Montrer que pour tout

$x$ de

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ ,

$g(x)=\dfrac{1+\sin(x)}{\cos(x)}$

b) Montrer que

$g$ réalise une bijection de

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur un intervalle

$K$ que l'on précisera.

c) Montrer que

$g^{-1}$ est dérivable sur

$K$ et pour tout

$x$ de

$K$ :

$\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{2}{1+x^{2}}$

Exercice 7

Soit

$\begin{array}{lll} f\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ x&\longmapsto& \left\{\begin{array}{lll} x^{3}+12x+1 & si & x\in ]-\infty\;,\ 0]\\ \sqrt{1+x^{2}}-x & si & x\in ]0\;,\ +\infty[ \end{array}\right. \end{array}$

1) Calculer :

$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ et

$\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$

2) Etudier la continuité de

$f$ sur

$D_{f}$

3) Etudier la dérivabilité de

$f$ en 0.

4) Calculer

$f'(x)$ puis dresser la table de variation de

$f$ .

5) Montrer que l'équation

$f(x)=0$ admet dans

$]-\infty, 0]$ une solution unique

$\alpha$ .

Vérifier que

$\alpha \in\;]-\frac{1}{12}\;,\ 0]$

6) Soit

$g$ la restriction de

$f$ sur

$]0\;,\ +\infty[$

a) Montrer que

$g$ réalise une bijection de

$]0\;,\ +\infty[$ sur un intervalle

$J$ que l'on précisera.

b) Soit

$g^{-1}$ la fonction réciproque de

$g$ .

(i) Etudier la continuité et la dérivabilité de

$g^{-1}$ sur

$J$

(ii) Expliciter

$g^{-1}(x)$ : pour tout

$x$ de

$J$ .

Exercice 8

Soit

$f\ :\ x\longmapsto\ \left\lbrace\begin{array}{lll}\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x^{2}} & si & x>0\\ \dfrac{1}{2}\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right) & si & -\frac{\pi}{4}\leq x\leq 0 \end{array}\right.$

1) Etudier la continuité et la dérivabilité de

$f$ sur son domaine de définition.

2) Soit

$g$ la restriction de

$f$ à

$\left[-\frac{\pi}{4}\;,\ 0\right]$

a) Montrer que

$g$ est une bijection de

$\left[-\frac{\pi}{4}\;,\ 0\right]$ sur un intervalle

$J$ que l'on précisera.

b) Déterminer le domaine de dérivabilité de

$g^{-1}$ , puis expliciter

$\left(g^{-1}\right)'(x)$

3) a) Montrer que l'équation

$g(x)+x=0$ admet une solution unique

$\alpha\in \left]-\frac{\pi}{4}\;,\ 0\right[$

b) En déduire que le point

$I(-\alpha\;,\ \alpha)\in \left(\xi_{g^{-1}}\right)\cap D$ où

$\left(\xi_{g^{-1}}\right)$ est la courbe représentative de

$g^{-1}$ dans un repère orthonormé et

$D$ est la droite dont une équation cartésienne est :

$y=-x$

Exercice 9

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\left]-\frac{\pi}{2}\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par

$f(x)=\tan x$ .

1) Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$\left]-\frac{\pi}{2}\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur

$\mathbb{R}$ .

2) Soit

$h$ la fonction réciproque de

$f$ . Montrer que

$h$ est dérivable sur

$\mathbb{R}$ et calculer

$h'(x)$ pour tout

$x\in \mathbb{R}$

3) Soit

$\varphi$ la fonction définie sur

$[0\;,\ 1[$ par :

$\varphi(x)=h\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ .

a) Montrer que

$\varphi$ est dérivable sur

$[0\;,\ 1[$ et calculer

$\varphi'(x)$ pour tout

$x\in [0\;,\ 1[$ .

b) En déduire que :

$\forall\;x\in [0\;,\ 1[$ ,

$\varphi(x)=\dfrac{\pi}{4}+h(x)$ .

4) Soit

$g$ la fonction définie sur

$[0\;,\ 1[$ par

$g(x)=h\left(\frac{1+x}{1-x}\right)-(1+2x)h(x)$ .

a) Montrer que

$g$ est deux fois dérivable sur

$[0\;,\ 1[$ te calculer

$g'(x)$ et

$g''(x)$ .

b) Etudier les variations de

$g'$ sur

$[0\;,\ 1[$ puis en déduire celle de

$g$ .

c) En déduire qu'il existe un unique réel

$c\in\; ]0\;,\ 1[$ tel que

$c=\tan\frac{\pi}{8c}$

5) a) Montrer que :

$h(2-x)=2h(x)$ admet au moins une solution

$\alpha\in \mathbb{R}$

b) Montrer que

$\alpha$ vérifie :

$\alpha^{3}-\alpha^{2}+3\alpha+1=0$

Exercice 10

Soit

$f\ :\ x\longmapsto \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$

1) Déterminer le domaine de définition

$D_{f}$ de

$f$ .

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de

$f$ sur

$D_{f}$ .

3) Montrer que

$f$ admet un prolongement par continuité en 0, définir ce prolongement.

Exercice 11

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right]$ par

$f(x)=\sqrt[3]{2\cos x -1}$

1) Etudier la dérivabilité de

$f$ sur

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right]$ .

2) Montrer que

$f$ est une bijection de

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{3}\right]$ sur

$[0\;,\ 1]$

3) Soit

$f^{-1}$ la réciproque de

$f$ , calculer

$\left(f^{-1}\right)'(x)\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-1}\right)$ .

4) Préciser le domaine

$K$ de la dérivabilité de

$f^{-1}$ .

5) Déterminer l'expression de

$\left(f^{-1}\right)'(x)$ pour tout

$x$ de

$K$ .

Exercice 12

Soit

$f$ la fonction définie sur

$[0\;,\ +\infty[$ par

$f(x)=x+\sqrt[3]{x}$ .

1) Soit

$x\in ]0\;,\ +\infty[$ . Montrer que pou tout

$\beta\in [x\;,\ x+1]$ on a :

$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}+1\leq f'(\beta)\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+1$

2) En déduire que pour tout

$x\in ]0\;,\ +\infty[$ on a :

$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^{2}}}\leq \sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\leq \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$

3) En déduire

$\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x})$

Exercice 13

Soit

$\begin{array}{lll} f\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ x&\longmapsto&f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} x^{3} & si & x\leq 0\\ 2x^{2} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+\sqrt{2x-1} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right.\end{array}$

1) Etudier la continuité de

$f$ sur

$\mathbb{R}$

2) Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$\mathbb{R}$ sur

$\mathbb{R}$

3) Etablire que

$f^{-1}(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -\sqrt[3]{-x} & si & x\leq 0\\ \sqrt{\dfrac{x}{2}} & si & 0<x<\frac{1}{2}\\ x+1-\sqrt{2x} & si & x\geq \frac{1}{2} \end{array}\right.$

Exercice 14

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right]$ par :

$f(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$

1) Etudier les variations de

$f$ .

2) Montrer que

$f$ est une bijection de

$\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right]$ sur un intervalle

$I$ que l'on déterminera.

3) On désigne par

$g$ la fonction réciproque de

$f$ . Calculer :

$g(1)$ ,

$\ g(\sqrt{2})$ et

$g(2)$ .

4) Montrer que

$g$ est dérivable sur

$I$ et que ;

$\forall\; x\in I$ :

$\ g'(x)=\dfrac{-1}{x\sqrt{1+x^{2}}}$

5) Soit

$h$ la fonction numérique définie sur

$\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right]$ par :

$h(x)=f(x)+\dfrac{1}{4}$

Montrer que l'équation

$h(x)=x$ admet une solution unique

$x_{0}$ telle que

$\frac{\pi}{3}<x_{0}<\frac{\pi}{2}$ .

Exercice 15

Partie I

On considère la fonction

$g$ définie sur

$[0\;,\ 1[$ par :

$g(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{1-x^{2}}}$ .

1) Montrer que

$g$ n'est pas dérivable à droite en 0.

2) Etudier les variations de

$g$ et en déduire que

$g$ admet une fonction réciproque

$g^{-1}$ définie sur un intervalle

$I$ que l'on déterminera.

3) Expliciter

$g^{-1}(x)$ pour

$x\in I$

4) Vérifier que pour tout

$x\in \left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[\$ :

$\ g\left(\tan\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\tan x}$ .

Partie II

On considère la fonction

$f$ définie sur

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par :

$f(x)=2\sqrt{\tan x}-1$

1) Etudier la dérivabilité de

$f$ à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2) Dresser le tableau de variations de

$f$ et en déduire que

$f$ est une bijection de

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ sur un intervalle

$J$ que l'on déterminera.

3) Montrer que pour tout

$x$ de

$\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ :

$f'(x)>1$ .

4) Montrer que l'équation

$f(x)=x$ admet dans

$\left]0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ une solution unique

$\alpha$ et vérifier que

$\alpha\in \left]\frac{\pi}{6}\;,\ \frac{\pi}{4}\right[$

5) En déduire le signe de :

$f(x)-x$

6) On considère la suite

$u$ définie sur

$\mathbf{N}$ par

$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_0=2\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\end{array}\right.$

a) Montrer que pour tout

$n$ de

$\mathbb{N}$ :

$u_{n}\geq\alpha$

b) Montrer que la suite

$u$ est décroissante.

c) En déduire que

$u$ est convergente et donner sa limite.

Partie III

On considère la fonction

$\varphi$ définie sur

$\left[0\;,\ \frac{\pi}{2}\right[$ par

$\varphi(x)=\sqrt{\tan x}$

1) Montrer que

$\varphi$ admet une fonction réciproque

$\varphi^{-1}$ définie sur un intervalle

$J'$ que l'on déterminera.

2) Montrer que pour tout

$x$ de

$]0\;,\ +\infty[$ on a :

$\left(\varphi^{-1}\right)'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{4}}$

3) Calculer

$\varphi^{-1}(1)$ et montrer que pour tout

$x$ de

$]0\;,\ +\infty[$ :

$\varphi^{-1}(x)+\varphi^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$

Exercice 16

Partie I

Soit la fonction

$f$ définie sur

$]-1\;,\ 1[$ par

$f(x)=-1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

1) Etudier les variations de

$f$ .

2) Montrer que l'équation

$f(x)=x$ admet dans

$]-1\;,\ 1[$ une solution unique

$\alpha$ et que

$\alpha>\frac{4}{5}$

3) En déduire le signe de

$f(x)-x$ .

4) Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$]-1\;,\ 1[$ sur

$\mathbb{R}$

5) Montrer que pour tout

$x$ de

$\mathbb{R}$ on a :

$f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^{2}}}$

Partie II

Soit la suite

$u$ définie sur

$\mathbb{N}$ par

$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_0 \in [0\;,\ \alpha]\\ u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})\end{array}\right.$

1) a) Montrer que, pour tout

$n\in \mathbb{N}$ on a :

$0\leq u_{n}\leq \alpha$

b) Montrer que la suite

$u$ est croissante.

c) En déduire que

$u$ est convergente et calculer sa limite.

2) Montrer que pour tout

$x\in \mathbb{R}_{+}$ on a :

$\left|\left(f^{-1}\right)'(x)\right|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

3) Montrer que pour tout

$n$ de

$\mathbb{N}$ on a :

$|u_{n+1}-\alpha|\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}|u_{n}-\alpha|$

4) En déduire que pour tout

$n$ de

$\mathbb{N}$ on a

$|u_{n}-\alpha|\leq \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^{n}|u_{0}-\alpha|$ . Retrouver

$\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Partie III

Soit la fonction

$h$ définie sur

$]-1\;,\ 1[$ par :

$h(x)=f\left(-\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)$ .

1) Montrer que pour tout

$x$ de

$]-1\;,\ 1[$ :

$h(x)=-1-\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)$

2) Montrer que

$h$ établit une bijection de

$]-1\;,\ 1[$ sur

$\mathbb{R}$

3) Montrer que

$h^{-1}$ est dérivable sur

$\mathbb{R}$ et que

$(h^{-1})'(x)=\dfrac{-2}{\pi(1+(x+1)^{2})}$

4) Soit pour tout

$x$ de

$\mathbb{R^{*}}$ la fonction

$H$ tel que :

$H(x)=h^{-1}(x-1)+h^{-1}\left(\frac{1}{x}-1\right)$ .

a) Montrer que

$H$ est dérivable sur

$\mathbb{R}$ et déterminer

$H'(x)$ .

b) Calculer

$H\left(\frac{1}{2}\right)$ et

$H\left(-\frac{1}{2}\right)$ . En déduire que

$H(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} -1&\text{si}&x>0\\ 1&\text{si}&x<0\end{array}\right.$

5) Pour tout

$n$ de

$\mathbb{N}$ on a :

$v_{n}\sum_{k=1}^{n}\left(h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k}\right)\right)$ et

$w_{n}=\dfrac{v_{n}}{n}$

a) Donner la valeur de

$H\left(1+\frac{1}{k}\right)$ . En déduire que :

$\forall\;k\in \mathbb{N}^{*}$ :

$h^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)+h^{-1}\left(-\frac{1}{k+1}\right)=-1$

b) Montrer que pour tout

$n\in \mathbb{N}^{*}$ :

$v_{n}=n-h^{-1}\left(-\frac{1}{n+1}\right)$ . En déduire que la suite

$w$ est convergente et donner sa limite.

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

sam, 05/01/2021 - 01:14

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correction svp

répondre

Yannick (non vérifié)

sam, 11/12/2022 - 08:36

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Élève

Svp je voudrais la correction

Email:

gueuyannick16@gmail.com

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Karim (non vérifié)

mer, 03/23/2022 - 20:15

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Procédure

Pdf

Email:

Karimniang897@gmail.com

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Élève (non vérifié)

jeu, 02/09/2023 - 20:07

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Stp

Stp je voudrais avoir la correction

Email:

malickdiopdiopd2@icloud.com

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Danso Djibril (non vérifié)

mar, 04/30/2024 - 11:05

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Demande de correction

J'aimerai à ce que vous propposiez des corrections pour cette série car je la trouve très interessante

Email:

djibrildanso90@gmail.com

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Irakoze (non vérifié)

ven, 07/26/2024 - 06:09

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Irakoze (non vérifié)

ven, 07/26/2024 - 06:12

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Pour tous exercice

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