Corrigé BFEM Maths 2021

 

1) On considère les réels suivants :

 

$A=(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})^{2}$

 

$B=3\sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\sqrt{108}-\sqrt{8}\times\sqrt{2}$

 

$a=-3\sqrt{3}+4$

 

$b=-2-\sqrt{5}$

 

$c=2+\sqrt{5}$

 

$d=3\sqrt{3}-4$

 

Parmi les réels $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ indiquons celui qui est égal à $A$ et celui qui est égal à $B.$

 

Pour cela, nous calculons d'abord les réels $A\ $ et $\ B.$

 

En effet, le réel $A$ peut encore s'écrire :

$$A=(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})^{2}=(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$$

Alors, en utilisant la forme développée des identités remarquables, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})\\\\&=&(2^{2}-(\sqrt{5})^{2})(2+\sqrt{5})\\\\&=&(4-5)(2+\sqrt{5})\\\\&=&(-1)(2+\sqrt{5})\\\\&=&-2-\sqrt{5}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=-2-\sqrt{5}}$

 

Par conséquent, $\boxed{b=A}$

 

Soit $B=3\sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\sqrt{108}-\sqrt{8}\times\sqrt{2}$

 

Alors, en mettant les termes $\sqrt{12}\ $ et $\ \sqrt{108}$ sous une forme plus simple, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{12}&=&\sqrt{4\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{108}&=&\sqrt{36\times 3}\\\\&=&\sqrt{36}\times\sqrt{3}\\\\&=&6\sqrt{3}\end{array}$

 

Remplaçons ensuite $\sqrt{12}\ $ et $\ \sqrt{108}$ par leur écriture simplifiée puis, calculons.

 

On obtient :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&3\sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\sqrt{108}-\sqrt{8}\times\sqrt{2}\\\\&=&3\times 2\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\times 6\sqrt{3}-\sqrt{8\times 2}\\\\&=&6\sqrt{3}-\dfrac{6}{2}\sqrt{3}-\sqrt{16}\\\\&=&6\sqrt{3}-3\sqrt{3}-4\\\\&=&3\sqrt{3}-4\end{array}$

 

Donc, $\boxed{B=3\sqrt{3}-4}$

 

Par conséquent, $\boxed{d=B}$

 

2) On donne :

 

$x=\dfrac{-1}{3-2\sqrt{2}}$

 

$y=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

 

$z=\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

 

a) Montrons que $x=-3-2\sqrt{2}.$

 

Soit $x=\dfrac{-1}{3-2\sqrt{2}}$ alors, en rendant rationnel le dénominateur de $x$, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{-1}{3-2\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{-1(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{9-(4\times 2)}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{9-8}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{1}\\\\&=&-3-2\sqrt{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{x=-3-2\sqrt{2}}$

 

b) Donnons un encadrement de $x$ à $10^{-1}$ près sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415.$

 

On a : $1.414<\sqrt{2}<1.415$

 

Alors, en multipliant chaque membre par $-2$ tout en changeant le sens des inégalités, on obtient :

$$-2\times 1.414>-2\sqrt{2}>-2\times 1.415$$

En calculant, on trouve :

$$-2.828>-2\sqrt{2}>-2.830$$

En ajoutant $-3$ à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

$$-3-2.828>-3-2\sqrt{2}>-3-2.830$$

Ce qui donne alors :

$$-5.828>-3-2\sqrt{2}>-5.830$$

On peut donc écrire :

$$-5.830<x<-5.828$$

Ainsi, un encadrement de $x\ $ à $\ 10^{-1}$ prés est donné par : 

$$\boxed{-5.9<x<-5.8}$$

c) Calculons $y^{2}\ $ et $\ z^{2}.$

 

Soit $y=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ alors, en élevant au carré, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} y^{2}&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}-2\times\sqrt{\dfrac{1}{2}}\times\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}-2\times\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\dfrac{3}{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}-2\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\\\&=&\dfrac{4}{2}-2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{y^{2}=2-\sqrt{3}}$

 

Soit $z=\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ alors, $z^{2}$ est donné par :

 

$\begin{array}{rcl} z^{2}&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}+2\times\sqrt{\dfrac{1}{2}}\times\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+2\times\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\dfrac{3}{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\\\&=&\dfrac{4}{2}+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&2+\sqrt{3}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{z^{2}=2+\sqrt{3}}$

 

d) Déduisons de la question précédente que $\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{6}.$

 

D'après le résultat de la question précédente, on a : $y^{2}=2-\sqrt{3}\ $ et $\ z^{2}=2+\sqrt{3}.$

 

Donc, dans l'expression $\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$, en remplaçant $2-\sqrt{3}$ par $y^{2}\ $ et $\ 2+\sqrt{3}$ par $z^{2}$, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}&=&\sqrt{y^{2}}+\sqrt{z^{2}}\\\\&=&|y|+|z|\\\\&=&\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|\end{array}$

 

Calculons alors : $\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|$

 

On a : $\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)>0$

 

Donc, $\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|=\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

 

Calcul de : $\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|$

 

On a : $\sqrt{\dfrac{1}{2}}>0\ $ et $\ \sqrt{\dfrac{3}{2}}>0$

 

Par suite, $\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}\ $ et $\ \left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}=\dfrac{3}{2}$

 

Comme $\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}$ alors, $\sqrt{\dfrac{1}{2}}<\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

 

Donc, $\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}<0$

 

Ainsi, $\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

 

Par conséquent, 

 

$\begin{array}{rcl}\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|&=&-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&=&-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&=&2\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&=&2\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\&=&2\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{6}}{2}\\\\&=&\sqrt{6}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{6}}$