BFEM Mathématiques 2014

Exercice 1 (6 points)

Dans une petite et moyenne entreprise ou $PMI$ on étudie la répartition des salaires des travailleurs. 
 
Le schéma ci-dessous en représente l'histogramme des $ECC$ et celui des $ECD$ tracés dans un même repère.

 

 
1) Déduis du schéma :
 
a) le caractère étudié puis précise sa nature,$\quad(0.5\;pt)$
 
b) le nombre de travailleurs, dans cette $PMI\;,\quad(0.5\;pt)$
 
c) le nombre de travailleurs qui gagnent au moins 100000 F.$\quad(0.5\;pt)$
 
d) le nombre de travailleurs qui gagnent moins de 150000 F CFA,$\quad(0.5\;pt)$
 
e) le nombre de travailleurs qui gagnent entre 150000 F et 200000 F.$\quad(0.5\;pt)$
 
2) Reproduis avec soin l'histogramme des effectifs cumulés croissants en prenant en abscisses $1\;cm$ pour 50000 F et en ordonnées $0.5\;cm$ pour 3 travailleurs.$\quad(1\;pt)$
 
3) Donne la signification statistique du salaire $R$ sur le schéma.$\quad(1\;pt)$
 
4) Utilise l'histogramme construit précédemment pour calculer la valeur de $R$ à 1 millier de francs près par défaut.$\quad(1.5\;pt)$

Exercice 2 (5 points)

On donne les réels $a=5-2\sqrt{5}\;,\ b=1+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}\text{ et }c=\dfrac{-5}{5+2\sqrt{5}}$
 
1) Justifie que $a\text{ et }b$ sont des inverses l'un de l'autre.$\quad(1\;pt)$
 
2) Justifie que $a\text{ et }c$ sont opposés.$\quad(1\;pt)$
 
3) Justifie que $c=-\dfrac{1}{b}.\quad(1\;pt)$
 
4) Justifie que $b\times c+1=0.\quad(1\;pt)$
 
5) Encadre $c\text{ à }10^{-2}$ près sachant que $2.237<\sqrt{5}<2.237\quad(1\;pt)$

Exercice 3 (3 points)

Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E.$
 
Les bissectrices des angles $EFG\text{ et }EGF$ se coupent en $A.$
 
1) Fais une figure.$\quad(1.5\;pt)$
 
2) Calcule la mesure de l'angle $FAG.\quad(1.5\;pt)$

Exercice 4 (6 points)

Une bougie décorative à la forme d'un cone de révolution de sommet $S$, de hauteur $27\;cm.$
 
Sa base est un disque de centre $O$ et de rayon $15\;cm$

 

 
Cette bougie est formée de trois parties de couleurs différentes séparées par des plans parallèles au plan de sa base et qui coupent sa hauteur respectivement en $M\text{ et }N$ tels que $SM=MN=ON.$
 
La partie supérieure est en cire de couleur jaune, la partie intermédiaire est de couleur verte et la partie inférieure est bleue.
 
1) a) Montre que la longueur $SM=9\;cm$ puis justifie que le cone de hauteur $SM$ est une réduction de la bougie de coefficient $\dfrac{1}{3}\quad(1\;pt)$
 
b) Le cone de hauteur $SN$ est aussi une réduction de la bougie; calcule le coefficient de réduction.$\quad(0.5\;pt)$
 
2) a) Montre que le rayon de la base du cone de hauteur $SM$ est $5\;cm.\quad(0.5\;pt)$
 
b) Calcule son volume $V_{1}.\quad(1\;pt)$
 
3) a) Calcule le volume $V_{2}$ de la partie intermédiaire.$\quad(1\;pt)$
 
b) Calcule le volume $V_{3}$ de la partie inférieure.$\quad(1\;pt)$
 
c) Exprime $V_{2}\text{ et }V_{3}$ en fonction de $V_{1}.\quad(1\;pt)$
 

Correction BFEM 2014

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