Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2010

 

Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$ A tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$ de coordonnées $(x\ ;\ y)$, on associe son affixe $z=x+\mathrm{i}y.$ On appelle $(\Gamma)$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe z satisfait la relation $\left|\dfrac{z+\mathrm{i}\bar{z}}{z}\right|=\left|z-\dfrac{1}{2}(1+\mathrm{i})\right|.$

 

1) Déterminer une équation cartésienne de $(\Gamma)$ de le repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

 

2) Soit $(O\;,\ \vec{a}\;,\ \vec{b}).$ le repère image du repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$ dans la rotation de centre $O$ et d'angle

de mesure $\dfrac{\pi}{4}.$

 

On désigne par $(x\ ;\ y)$ les coordonnées d'un point $M$ dans $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ et par $(X\;,\ Y)$ les coordonnées de $M$ dans $(O\;,\ \vec{a}\;,\ \vec{b})$ 

 

a) Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $X$ et $Y.$

 

b) Déterminer une équation de $(\Gamma)$ dans le repère $(O\;,\ \vec{a}\;,\ \vec{b}).$

 

3) a) Montrer que $(\Gamma)$ est une parabole de sommet $\Omega$ dont on précisera les coordonnées dans $(O\;,\ \vec{a}\;,\ \vec{b}).$

 

b) Donner les coordonnées du foyer et une équation cartésienne de la directrice dans le repère $(\Omega\;,\ \vec{a}\;,\ \vec{b}).$

 

c) Construire $(\Gamma)$ ; on donne $||\overrightarrow{u}||=5\,cm.$

Dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan, on considère la courbe $(\mathcal{C})$ de représentation paramétrique :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&\dfrac{1}{\cos t}\\\\ y(t) &=& 1-\tan^{2}x\;,\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}\right\rbrace \end{array}\right.$$

 

1) a) Pour tout $t\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}\right\rbrace$, comparer les points $M(t+2\pi)$ et $M(t)$, puis les points $M(t)$ et $M(-t).$

 

b) On note $(\mathcal{C_{1}})$ la partie de $(\mathcal{C})$ obtenue lorsque t décrit l'ensemble $\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right].$

 

Quelle relation y a-t-il entre $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C_{1}}).$

 

2) a) Pour tout $t\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}\right\rbrace$, comparer les points $M(\pi-t)$ et $M(t).$

 

b) Soit $(\mathcal{C_{2}})$ la partie de $(\mathcal{C})$ obtenue lorsque $t$ décrit $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

 

Comment obtient-on $(\mathcal{C_{1}})$ à partir de $(\mathcal{C_{2}})$ ?

 

3) a) Dresser le tableau de variation conjoint des fonctions $x$ : $t\mapsto\dfrac{1}{\cos t}$ et $y$ : $t\mapsto 1-\tan^{2}x$ sur l'intervalle $\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

 

b) Montrer que $(\mathcal{C_{2}})$ est une partie de la parabole $(\mathcal{P})$ d'équation $y=2-x^{2}$ que l'on précisera.

 

2) Déterminer une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point de  paramètre $\dfrac{\pi}{4}.$

 

3) Construire la courbe $(\mathcal{C}).$