Solution des exercices : Propagation des signaux, ondes progressives, interférences mécaniques - 1er s
Classe:
Première
Exercice 1 Ondes le long d'une corde 1
1) Calcul de la longueur d'onde de l'onde qui se propage sur la corde.
λ=Vf=8.0100⇒λ=8.0⋅10−2m
2) Comparons le mouvement de la source vibratoire le mouvement d'un point A et celui d'un point B
SA=kλ⇒k=SAλ=32⋅10−28.0⋅10−2⇒k=4
k étant un entier, les points A et B ont le même état vibratoire que la source S
Exercice 2 : Ondes le long d'une corde 2

1) Valeur de la période, la longueur d'onde et la célérité de l'onde périodique sinusoïdale
T=lf=l100⇒T=10−2s ;
λ=40⋅10−2m ;
v=λT=40⋅10−210−2⇒v=40m⋅s−1
2) Représentons l'aspect de la corde aux dates
t+0.0025s=t+T4 ;
t+0.0050s=t+T2+0 ;
t+0.0075s=t+3T4 ;
et t+0.010s=t+T

Exercice 3 : Ondes rectilignes sur la cuve à ondes 1
L'onde est longitudinale car la déformation est perpendiculaire à la direction de propagation.
Calcul de la longueur d'onde des ondes
λ=14=164⇒λ=4cm
Calcul de la célérité des ondes.
T=1f=150⇒T=2⋅10−2s
Comparons les mouvements des points A et B
Les points A et B sont le même état vibratoire car ils appartiennent à des lignes de même de nature (lignes noires)
Exercice 4 : Ondes circulaires sur la cuve à ondes 2
− L'onde obtenue est une onde circulaire
− L'onde est transversale car la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation
− Calcul de la longueur d'onde des ondes
λ=d4=184⇒λ=4.5cm
− Calcul de la célérité des ondes
v=fλ=50×4.5⋅10−2⇒v=2.25m⋅s−1
− Mouvements des points M et N et des mouvements des deux bouchons.
δ=SN−SM=10.5⋅10−2−1.5⋅10−2⇒δ=9⋅10−2m
δ=kλ⇒k=δλ=9⋅10−24.5⋅10−2⇒k=2
k étant un entier, les points M et N, et les deux bouchons ont le même état vibratoire, c'est-à-dire, ils effectuent le même mouvement.
Exercice 5
1. Détermination de l'équation du mouvement d'un point P de la corde d'abscisse x=SP.
L'origine S est le siège d'un signal ys(t), à l'instant de date t, un point P d'abscisse x reproduira le signal avec un retard τ=x/V: en P le signal est de la forme ys(t−τ)
yp(t)=2.⋅10−3sin(2π⋅N(t−t)), or t=xV⇒yp(t)=2⋅10−3sin2πN(t−xV)⇒yp(t)=2⋅10−3sin(2Nπt−2NπXV)⇒yp(t)=2⋅10−3sin(200πt−2πxγ)
2. Expression de l'abscisse x de P lorsqu'il vibre :
∙En phase avec S ; X=kλ
∙En opposition de phrase avec S. x=(k+12)λ
3.a. Montrons que d=5λ/2
d=xn+2−xn=(n+2+12)λ−nλ=nλ+2λ+12λ−nλ⇒d=2λ+12λ⇒d=52λ
b. Déduction des valeurs de λ et V ;
d=52λ⇒λ=25d=25×50⇒λ=20cm
V=Nλ=100×20⋅10−2⇒V=20m⋅s−1
4- Représentation de l'aspect de la corde à l'instant t1=2.25⋅10−2s
yp(t1, x)=2⋅10−3sin(200πt1−2πxλ)=2⋅10−3sin(200π×2.25⋅10−2−2πx20⋅10−2)⇒yp(t1,x)=2⋅10−3sin(4.5π−10πx)
⇒yp(t1,x)=2⋅10−3sin(9π2−10πx)⇒yp(t1,x)=2⋅10−3sin(8π+π2−10πx)=2⋅10−3sin(4π+π2−10πx)
⇒yp(t1,x)=2⋅10−3sin(π2−10πx)⇒yp(t1,x)=2⋅10−3cos(10πx) avec x≥vt1=20×⋅10−2⇒x≥45⋅10−2m⇒x≥2.2γ

Exercice 6
1. Définition d'une onde.
On appelle onde, le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel élastique sans
transport de matière ; mais avec transport d'énergie
2. On observe à la surface de l’eau, en lumière ordinaire,

3.1. Détermination de :
▸ La fréquence N
N=1T=14⋅10−2⇒N=25Hz
▸L'instant t=7⋅10−2s
▸La distance x1 sachant que la célérité de propagation
x1=Vt1=0.25m⋅s−1×7⋅10−2⇒x1=1.75⋅10−2m
3.2. Calculer la longueur d'onde λ
λ=VT=0.25×4⋅10−2⇒λ=10−2m
3.3. Détermination de l'équation horaire du mouvement du point M1
y=3⋅10−3sin(2πN(t−t1))=3⋅10−3sin(2π×25(t−7⋅10−2))=3⋅10−3sin(50πt−3.5π)=3⋅10−3sin(50πt−72π)
yM1=3⋅10−3sin(2πt−3π−12pi)=3⋅10−3sin(50πt−ππ2)⇒yM1=3⋅10−3sin(50πt−3π2)
3.4. Déduction de l'équation horaire du mouvement de la source S.
Ys=YM1l(t+t1)=3⋅10−3sin(2πN(t−t1+t1))=3⋅10−3sin(2πNt)⇒y=3⋅10−3sin(50πt)
4. Établissement l'équation horaire du mouvement d'un point M
Y=3⋅10−3sin(50π(t−XV))=3⋅10−3sin(50πt50πx0.25)⇒y=3⋅10−3sin(50πt−200πx)
5. Tracé de l'aspect d'une coupe de la surface de l'eau par un plan vertical passant par S a un instant
t2=9⋅10−2s
y=3⋅10−3sin(50πt2−200πx)=3⋅10−3sin(50πt−50πx0.25)⇒y=3⋅10−3sin(50πt−200πx)
$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{lcl}y=0&\text{si}&x_{2}&\prec&0\\y=3\cdot10^{-3}\sin\left(50\pi t_{2}-200\pi x\right)&\text{si}&x_{2}\leq vt_{2}\end{array}\right.\\&\Rightarrow&\lbrace\begin{array}{lcl} y=0&\text{si}&x_{2}\prec 0\\ y=3\cdot10^{-3}\sin\left(50\pi t_{2}-200pi x\right)&\text{si} &x_{2}\leq vt_{2}=0.25\times9\cdot10^{-2} \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\rbrace\begin{array}{rcl} y=0&\text{si}&x_{2}\prec 0\\
y=3\cdot10^{-3}\sin(4.5\pi-200\pi x)\text{si}x_{2}\leq2.25\lambda \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbracey=0six2≺0y=3⋅10−3sin(π2−200πx)six2≤2.25λ\right. \end{array}$

6.1. On observe en immobilité apparente des rides circulaires constituées de crêtes ou creux
6.2. Détermination des fréquences Ne pour lesquelles on observe l'immobilité apparente de la surface de l'eau.
Ne=NK or 10Hz≤Ne≤100Hz⇒10Hz≤NK≤100Hz⇒N100≤k≤N10⇒25100≤k≤2510⇒0.25≤k≤2.5
k=1⇒Ne=251⇒Ne=25Hz ; k=2⇒Ne=252⇒Ne=12.5Hz
Exercice 7
1. On utilise des absorbants d'énergie au niveau des supports fixes pour éviter les réflexions
2. Description l'aspect de la corde :
En lumière ordinaire, on observe des rides circulaires et une dilution de l'énergie.
En lumière stroboscopique pour une fréquence du stroboscope Ne=25Hz, on observe une immobilité apparente
3. Calcul de la longueur d'onde λ
λ=VN=550⇒λ=0.1m
4. Équation du mouvement de la source S
Ys=−2⋅10−3sin100πt⇒Ys=2⋅10−3sin(100πt+π)
5. Établissement de l'équation de mouvement d'un point M de la corde d'abscisse x=SM
YM=2⋅10−3sin(100π(t−xV)+π)=2⋅10−3sin(100πt−100πx5+π)⇒YM=2⋅10−3sin(100πt−20πx+π)
6.1. Déduction de l'équation de mouvement d'un point M1 de la corde d'abscisse x1=17.5cm
{YM(t)=0sit≺x1vYM1(t)=2⋅10−3sin(100πt−20πx1+π)sit≥x1v⇒{YM1=0sit≺3.5⋅10−2sYM1(t)=2⋅10−3sin(πt−20πx1+π)sit≥3.5⋅10−2s⇒{YM1(t)=0sit≺3.5⋅10−2sYM1(t)=2⋅10−3sin(100πt−20π×17.5⋅10−2+π)sit≥3.5⋅10−2s⇒{YM1(t)=0sit≺3.5⋅10−2sYM1(1)=2⋅10−3sin(100πt−π2)sit≥3.5⋅10−2s
6.2. Représentation sur le même système d'axes ys(t) et YM1(t)
fig109
7. Équation traduisant l'aspect de la corde à la date t2=0.035s
YM(2,x)=2⋅10−3sin(100πt2−20πx+π)=2⋅10−3sin(100π×0.035−20πx+π)=2⋅10−3sin(4.5π−20πx)YM((t2,x)=2⋅10−3sin(9π2−20πx)=2⋅10−3sin(8π+π2−20πx)=2⋅10−3sin(4π+π2−20πx)⇒YM(t2,x)=2⋅10−3sin(π2−20πx)avec vt2≺x≥L⇒5×0.035≺x≥0.40m⇒0.175m⇒11.75λx≥4.0λ
Représentation de l'aspect de la corde à la date t2
fig110
8. Détermination du nombre et des positions des points qui vibrent en opposition de phase par rapport à la
source à l'instant t2
φs−φM=π−(π2−20πx)=π+2kπ⇒π−π2+20πx=π+2kπ⇒−12+20x=1+2k⇒20x=(2k+12)⇒x=(2k+12120
x=(2k+12)120or 0≺x≤L⇒0≺(2k+12)120leq0.40⇒0≺(2k+12)120≤0.40⇒0×20+12≺2k≤0.40×20+12⇒12≺2k≤8.5⇒0.25≺k≤4.25⇒k∈1,2,3,4x=(2k+12)120
\begin{array}{rcl} k&=&1\\\Rightarrow\;x&=&\left(2\times1+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.125\,m\ ;\\k&=&2\\\Rightarrow\;x&=&\left(2\times2+\dfrac{1}{2}\right\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.225\,m\ ;\\k&=&3\\\Rightarrow\;x&=&(2\times 3+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.325\,m\ ;\\k&=&4\\\Rightarrow;x&=&(2\times4+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.425\,m \end{array}
Exercice 8
1.1. Le phénomène résultant de la propagation des déformations à la surface du liquide est appelé onde mécanique transversale car, la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation.
1.2. En lumière ordinaire, on observe des rides circulaires
2. Équation horaire yO(t) du mouvement de O.
yO(t)=asin(ωt+φ)yO(0)=asin(ω×0+φ)=0⇒sinφ=0⇒{φ=0φ=πφ=0
est solution car le point O commence à vibrer en se déplaçant vers le haut
yO(t)=asin(2πNt)yO(t)=5⋅10−3sin(2π×25t)⇒yO(t)=5⋅10−3sin(50πt)
3.1. Définition de la longueur d'onde γ.
La longueur d'onde est la distance par l'onde cours d'une période temporelle.
3.2. Calcul des valeurs de γ et V.
V=dt1=8⋅10−30.02⇒V=0.4mm⋅s−1
γ=VN=0.425⇒γ=0.016m
4.1. Établissement de l'équation horaire yM(t) du mouvement de M en fonction de r, t et γ.
yM(t)=2⋅10−3sin(2Nπ(t−rV))=2⋅10−3sin(2Nπt−2NπrV)=2⋅10−3sin(2×25πt−2πrγ)⇒yM(t)=2⋅10−3sin(50πt−2πrγ)
4.2. Détermination de l'expression donnant les valeurs de r pour lesquelles le mouvement de M est en opposition de phase avec celui de O.
2πrγ=π+2kπ⇒2r=(1+2k)γ⇒r=(2k+1)γ2
5.1. Représentons, en justifiant, une coupe transversale de la surface du liquide suivant un plan vertical passant par O, à l'instant de date t2=7⋅10−2s de O
{yM(t2, r)=0sir≺Vt2yM(t2, r)=2⋅10−3sin(50πt2−2πrγ)sir≤Vt2⇒{yM(t2, r)=0sir≺0.4×7⋅10−2syM(t2, r)=2⋅10−3sin(50π×7⋅10−2s−2πrγ)sir≤0.4×7⋅10−2m⇒{yM(t2, r)=0sir≺2.8⋅10−2syM(t2, r)=2⋅10−3sin(3.5π−2πrγ)sir≤2.8⋅10−2s⇒{yM(t2, r)=0sir≺2.8⋅10−2myM(t2, r)=2⋅10−3sin(2π2−2πrγ)sir≤2.8⋅10−2m
5.2. Soit P un point de la surface libre du liquide situé à r=2⋅10−2m de O.
5.2.1. Détermination de la valeur de la vitesse de ce point à l'instant de date 2
VP=rt2=2⋅10−27⋅10−2⇒VP=0.3m⋅s−1
5.2.2. Détermination du déphasage du mouvement de P avec celui de O.
φ=2πrγ=2π×10−21.6⋅10−2=2π×2016=2π×54⇒φ=5π2
Ce déphasage évolue au cours du temps puisqu'il dépend du point considéré.
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