Solution des exercices : Propagation des signaux, ondes progressives, interférences mécaniques - 1er s

Classe: 
Première
 

Exercice 1 Ondes le long d'une corde 1 

1) Calcul de la longueur d'onde de l'onde qui se propage sur la corde.
 
λ=Vf=8.0100λ=8.0102m
 
2) Comparons le mouvement de la source vibratoire le mouvement d'un point A et celui d'un point B
 
SA=kλk=SAλ=321028.0102k=4
 
k étant un entier, les points A et B ont le même état vibratoire que la source S

Exercice 2 : Ondes le long d'une corde 2

 
1) Valeur de la période, la longueur d'onde et la célérité de l'onde périodique sinusoïdale
 
T=lf=l100T=102s ;
 
λ=40102m ;
 
v=λT=40102102v=40ms1
 
2) Représentons l'aspect de la corde aux dates
 
t+0.0025s=t+T4 ;
 
t+0.0050s=t+T2+0 ;
 
t+0.0075s=t+3T4 ;
 
et t+0.010s=t+T
 
 

Exercice 3 : Ondes rectilignes sur la cuve à ondes 1

L'onde est longitudinale car la déformation est perpendiculaire à la direction de propagation.
 
Calcul de la longueur d'onde des ondes
 
λ=14=164λ=4cm
 
Calcul de la célérité des ondes.
 
T=1f=150T=2102s
 
Comparons les mouvements des points A et B
 
Les points A et B sont le même état vibratoire car ils appartiennent à des lignes de même de nature (lignes noires)

Exercice 4 : Ondes circulaires sur la cuve à ondes 2

 L'onde obtenue est une onde circulaire
 
 L'onde est transversale car la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation
 
 Calcul de la longueur d'onde des ondes
 
λ=d4=184λ=4.5cm
 
 Calcul de la célérité des ondes
 
v=fλ=50×4.5102v=2.25ms1
 
 Mouvements des points M et N et des mouvements des deux bouchons.
 
δ=SNSM=10.51021.5102δ=9102m
 
δ=kλk=δλ=91024.5102k=2
 
k étant un entier, les points M et N, et les deux bouchons ont le même état vibratoire, c'est-à-dire, ils effectuent le même mouvement.

Exercice 5

1. Détermination de l'équation du mouvement d'un point P de la corde d'abscisse x=SP.
 
L'origine S est le siège d'un signal ys(t), à l'instant de date t, un point P d'abscisse x reproduira le signal avec un retard τ=x/V: en P le signal est de la forme ys(tτ)
 
yp(t)=2.103sin(2πN(tt)), or t=xVyp(t)=2103sin2πN(txV)yp(t)=2103sin(2Nπt2NπXV)yp(t)=2103sin(200πt2πxγ)
 
2.  Expression de l'abscisse x de P lorsqu'il vibre :
 
En phase avec S ; X=kλ
 
En opposition de phrase avec S. x=(k+12)λ
 
3.a. Montrons que d=5λ/2
 
d=xn+2xn=(n+2+12)λnλ=nλ+2λ+12λnλd=2λ+12λd=52λ
 
b. Déduction des valeurs de λ et V ;
 
d=52λλ=25d=25×50λ=20cm
 
V=Nλ=100×20102V=20ms1
 
4- Représentation de l'aspect de la corde à l'instant t1=2.25102s
 
yp(t1, x)=2103sin(200πt12πxλ)=2103sin(200π×2.251022πx20102)yp(t1,x)=2103sin(4.5π10πx)

yp(t1,x)=2103sin(9π210πx)yp(t1,x)=2103sin(8π+π210πx)=2103sin(4π+π210πx)
 

 
yp(t1,x)=2103sin(π210πx)yp(t1,x)=2103cos(10πx) avec xvt1=20×102x45102mx2.2γ
 
 

Exercice 6

1. Définition d'une onde.
 
On appelle onde, le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel élastique sans
transport de matière ; mais avec transport d'énergie
 
2. On observe à la surface de l’eau, en lumière ordinaire,
 
 
3.1. Détermination de :
 
La fréquence N
 
N=1T=14102N=25Hz
 
L'instant t=7102s
 
 
La distance x1 sachant que la célérité de propagation
 
x1=Vt1=0.25ms1×7102x1=1.75102m
 
3.2. Calculer la longueur d'onde λ
 
λ=VT=0.25×4102λ=102m
 
3.3. Détermination de l'équation horaire du mouvement du point M1
 
y=3103sin(2πN(tt1))=3103sin(2π×25(t7102))=3103sin(50πt3.5π)=3103sin(50πt72π)
 
yM1=3103sin(2πt3π12pi)=3103sin(50πtππ2)yM1=3103sin(50πt3π2)
 
3.4. Déduction de l'équation horaire du mouvement de la source S.
 
Ys=YM1l(t+t1)=3103sin(2πN(tt1+t1))=3103sin(2πNt)y=3103sin(50πt)
 
4. Établissement l'équation horaire du mouvement d'un point M
 
Y=3103sin(50π(tXV))=3103sin(50πt50πx0.25)y=3103sin(50πt200πx)
 
5. Tracé de l'aspect d'une coupe de la surface de l'eau par un plan vertical passant par S a un instant
 
 
t2=9102s
 
y=3103sin(50πt2200πx)=3103sin(50πt50πx0.25)y=3103sin(50πt200πx)
 
$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{lcl}y=0&\text{si}&x_{2}&\prec&0\\y=3\cdot10^{-3}\sin\left(50\pi t_{2}-200\pi x\right)&\text{si}&x_{2}\leq vt_{2}\end{array}\right.\\&\Rightarrow&\lbrace\begin{array}{lcl} y=0&\text{si}&x_{2}\prec 0\\ y=3\cdot10^{-3}\sin\left(50\pi t_{2}-200pi x\right)&\text{si} &x_{2}\leq vt_{2}=0.25\times9\cdot10^{-2} \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\rbrace\begin{array}{rcl} y=0&\text{si}&x_{2}\prec 0\\
y=3\cdot10^{-3}\sin(4.5\pi-200\pi x)\text{si}x_{2}\leq2.25\lambda \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbracey=0six20y=3103sin(π2200πx)six22.25λ\right. \end{array}$
 
6.1. On observe en immobilité apparente des rides circulaires constituées de crêtes ou creux
 
6.2. Détermination des fréquences Ne pour lesquelles on observe l'immobilité apparente de la surface de l'eau.
 
Ne=NK or 10HzNe100Hz10HzNK100HzN100kN1025100k25100.25k2.5
 
k=1Ne=251Ne=25Hz ; k=2Ne=252Ne=12.5Hz

Exercice 7 
 
1. On utilise des absorbants d'énergie au niveau des supports fixes pour éviter les réflexions
 
2. Description l'aspect de la corde :
 
En lumière ordinaire, on observe des rides circulaires et une dilution de l'énergie.
 
En lumière stroboscopique pour une fréquence du stroboscope Ne=25Hz, on observe une immobilité apparente
 
3. Calcul de la longueur d'onde λ
 
λ=VN=550λ=0.1m
 
4. Équation du mouvement de la source S
 
Ys=2103sin100πtYs=2103sin(100πt+π)
 
5. Établissement de l'équation de mouvement d'un point M de la corde d'abscisse x=SM
 
YM=2103sin(100π(txV)+π)=2103sin(100πt100πx5+π)YM=2103sin(100πt20πx+π)
 
6.1. Déduction de l'équation de mouvement d'un point M1 de la corde d'abscisse x1=17.5cm
 
{YM(t)=0sitx1vYM1(t)=2103sin(100πt20πx1+π)sitx1v{YM1=0sit3.5102sYM1(t)=2103sin(πt20πx1+π)sit3.5102s{YM1(t)=0sit3.5102sYM1(t)=2103sin(100πt20π×17.5102+π)sit3.5102s{YM1(t)=0sit3.5102sYM1(1)=2103sin(100πtπ2)sit3.5102s
 
6.2. Représentation sur le même système d'axes ys(t) et YM1(t)
 
fig109
 
7. Équation traduisant l'aspect de la corde à la date t2=0.035s
 
YM(2,x)=2103sin(100πt220πx+π)=2103sin(100π×0.03520πx+π)=2103sin(4.5π20πx)YM((t2,x)=2103sin(9π220πx)=2103sin(8π+π220πx)=2103sin(4π+π220πx)YM(t2,x)=2103sin(π220πx)avec vt2xL5×0.035x0.40m0.175m11.75λx4.0λ
 
Représentation de l'aspect de la corde à la date t2
 
fig110
 
8. Détermination du nombre et des positions des points qui vibrent en opposition de phase par rapport à la
source à l'instant t2
 
φsφM=π(π220πx)=π+2kπππ2+20πx=π+2kπ12+20x=1+2k20x=(2k+12)x=(2k+12120
 
x=(2k+12)120or 0xL0(2k+12)120leq0.400(2k+12)1200.400×20+122k0.40×20+12122k8.50.25k4.25k1,2,3,4x=(2k+12)120
 
\begin{array}{rcl} k&=&1\\\Rightarrow\;x&=&\left(2\times1+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.125\,m\ ;\\k&=&2\\\Rightarrow\;x&=&\left(2\times2+\dfrac{1}{2}\right\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.225\,m\ ;\\k&=&3\\\Rightarrow\;x&=&(2\times 3+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.325\,m\ ;\\k&=&4\\\Rightarrow;x&=&(2\times4+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{20}\\\Rightarrow\;x&=&0.425\,m \end{array}

Exercice 8
 
1.1. Le phénomène résultant de la propagation des déformations à la surface du liquide est appelé onde mécanique transversale car, la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation.
 
1.2. En lumière ordinaire, on observe des rides circulaires
 
2. Équation horaire yO(t) du mouvement de O.
 
yO(t)=asin(ωt+φ)yO(0)=asin(ω×0+φ)=0sinφ=0{φ=0φ=πφ=0
 
est solution car le point O commence à vibrer en se déplaçant vers le haut
 
yO(t)=asin(2πNt)yO(t)=5103sin(2π×25t)yO(t)=5103sin(50πt)
 
3.1. Définition de la longueur d'onde γ.
 
La longueur d'onde est la distance par l'onde cours d'une période temporelle.
 
3.2. Calcul des valeurs de γ et V.
 
V=dt1=81030.02V=0.4mms1
 
γ=VN=0.425γ=0.016m
 
4.1. Établissement de l'équation horaire yM(t) du mouvement de M en fonction de r, t et γ.
 
yM(t)=2103sin(2Nπ(trV))=2103sin(2Nπt2NπrV)=2103sin(2×25πt2πrγ)yM(t)=2103sin(50πt2πrγ)
 
4.2. Détermination de l'expression donnant les valeurs de r pour lesquelles le mouvement de M est en opposition de phase avec celui de O.
 
2πrγ=π+2kπ2r=(1+2k)γr=(2k+1)γ2
 
5.1. Représentons, en justifiant, une coupe transversale de la surface du liquide suivant un plan vertical passant par O, à l'instant de date t2=7102s de O
 
{yM(t2, r)=0sirVt2yM(t2, r)=2103sin(50πt22πrγ)sirVt2{yM(t2, r)=0sir0.4×7102syM(t2, r)=2103sin(50π×7102s2πrγ)sir0.4×7102m{yM(t2, r)=0sir2.8102syM(t2, r)=2103sin(3.5π2πrγ)sir2.8102s{yM(t2, r)=0sir2.8102myM(t2, r)=2103sin(2π22πrγ)sir2.8102m
 
5.2. Soit P un point de la surface libre du liquide situé à r=2102m de O.
 
5.2.1. Détermination de la valeur de la vitesse de ce point à l'instant de date 2
 
VP=rt2=21027102VP=0.3ms1
 
5.2.2. Détermination du déphasage du mouvement de P avec celui de O.
 
φ=2πrγ=2π×1021.6102=2π×2016=2π×54φ=5π2
 
Ce déphasage évolue au cours du temps puisqu'il dépend du point considéré.

 

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