Notions de base

1.      Trinôme du second degré
1.1        Définition

On appelle trinôme du second degré toute expression, définie sur $\mathbb{R}$  pouvant se mettre sous la forme :

$P(x)=ax^2+bx+c $

où a, b et c  sont des nombres réels et $ a \neq 1$ .

Exemples : Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :

 $20+x^2; x^2+2x+3 $

De même

 $ (2x+1)^2-3x^2 $

est un trinôme du second degré. En développant, on obtient

$ (2x+1)^2-3x^2=4x^2+4x+1-3x^2=x^2+4x+1$.

Par contre l’expression

$ (x-2)^2-x^2 $

  n’est pas un trinôme du second degré car

$(x-2)^2-x^2=-4x+4$.
1.2   Forme canonique d’un trinôme

Propriété et définition :

Pour tout trinôme du second degré  $ax^2+bx+c  (a \neq 1)$, on peut trouver deux nombres réels $\alpha $  et  $\beta $ tels que, pour tout nombre réel x, on ait :

L’écriture ${ax^2+bx+}c=a(x-\alpha)^2+\beta)$ s’appelle la forme canonique de  $ ax^2+bx+c$.
Démonstration : Transformons le trinôme

$ x^2+bx+c $,

on commence par mettre a en facteur :

 $ax^2+bx+c=a(x^2+b/a x+c/a)$
Ensuite on écrit que

 $x^2+b/a$

x est le début du développement de

$(x+b/2a)^2$.
En effet ;

 $(x+b/2a)^2=x^2+b/a x+b^2/(4a^2 )$  ,

 d’où

 $ x^2+b/a x=(x+\frac{b}{2a})^2-  \frac{b^2}{ 4a^2 } $
$ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{b^2}{( 4a^2 )}+c/a]$

                       $=[a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{(b^2-4ac)}{( 4a^2 )}   ]  $
On pose

 $ \alpha=-\frac{b}{2a} $    et  $ \beta =- \frac{b^2-4ac}{4a}  $

 on obtient finalement
 $ax^2+bx+c=a(x-a)^2+\beta$

 Exemples :

$(x+3)^2$ est la forme canonique du trinôme $x^2+6x+9$ car
$ x^2+6x+9=(x+3)^2$.  On a utilisé ici une identité remarquable.
Pour mettre le trinôme  $3x^2-12x+8$  sous forme canonique, on commence par mettre le coefficient de  $x^2$  en facteur dans l’expression  $3x^2-12x$ :
$3x^2-12x+8=3(x^2-4)+8$ ;  Ensuite on transforme  $4x^2-12x$  en faisant apparaître le début d’une identité remarquable :  $x^2-4=(x-2)^2-4$
$3x^2-12x+8=3(x^2-4)+8=3[(x-2)^2-4]+8=3(x-2)^2-4 $
On a donc la forme canonique : $3x^2-12x+8=3(x-2)^2-4$.
1.3   Racine d’un trinôme

Définition : On appelle racine d’un trinôme toute valeur de la variable x solution de l’équation   

Exemples : On appelle racine d’un trinôme $ax^2+bx+c$  toute valeur de la variable x solution de l’équation $ x^2+6x+9=0  $
Exemples : – 4 et 1 sont deux racines du trinôme $x^2+3x-4$ .

 En effet, posons
 $f(x)=x^2+3x-4$. On a : $f(1)=(1)^2+3(1)-4=1+3-4=0$ et
   $f(-4)= (-4)^2+3(-4)-4=16-12-4=0$

2.      Equations et inéquations du second degré
2.1   Equations du second degré

Définition : On appelle équation du second degré toute équation, définie sur  $\mathbb{R}$  pouvant se mettre sous la forme : $ax^2 +bx+c$
où a,b et c  sont des nombres réels et $ a\neq 0$.

Exemples : $3x^2 - 5x + 2 = 0 $ où  a = 3 ; b = - 5 et  c = 2 ; $ -4x^2 + 7 = 0 $où  a = - 4 ; b = 0 et  c = 7.

Résolution : Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre $\Delta $  appelé discriminant et tel que $\Delta = b^2-4ac $
On distingue 3 cas en fonction de la valeur de

Si $\Delta > 0 $, l'équation a deux solutions distinctes :
 $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Si $\Delta  = 0 $, l'équation a une solution double :
$ x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

Si $\Delta $ < 0, alors l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

Exemples : a) $2x^2 - 5x - 3 = 0$ ;$ \Delta= (- 5)^2 - 4(2 )(- 3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $

$\Delta $> 0 donc il y a deux solutions :

 $x_1 = \frac{5-\sqrt{49}}{4}=\frac{5-7}{4}=\frac{-1}{2}$ et $x2 = \frac{5+\sqrt{49}}{4}=\frac{5+7}{4}=3$

b) $x^2 - 4x + 5 = 0 ; \Delta  = (- 4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = - 4 ; \Delta   < 0 $ donc l'équation n'a pas de solution.

c) $9x^2 + 6x + 1 = 0 ;  \Delta = 6^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0 ; \Delta = 0 $, l'équation a une solution double :  $ x_1=\frac{-6}{2x9}=-\frac{1}{3}$ .

Vérification : $9(-\frac{1}{3})^2+6(-\frac{1}{3}+1=1-2+1=0$

2.2   Factorisation d’un trinôme du second degré

Soit un polynôme $P(x) = ax^2 + bx +c $
Factoriser ce polynôme revient à l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes du 1er degré. Pour ce faire, il faut rechercher les solutions de l'équation $ P(x) = 0 $  en calculant le discriminant $ \Delta $ . Soient $ x1 $ et $x2 $sont les solutions de l’équation $ P(x) = 0 $  .

Théorème : $ P(x) = ax^2 + bx +c $ et  son discriminant$\Delta$.

    Si  $\Delta > 0$ , le polynôme peut s'écrire $ P(x) = a(x-x1)(x-x2)$
    Si  $\Delta  = 0$, le polynôme peut s'écrire $P(x) = a(x-x1)$
    Si  $\Delta < 0$ , la factorisation du polynôme  est impossible

Exemple : Factorisation

 1)$P(x)= 5x^2+ 5x - 10 $
 $ \Delta = 5^2 - 4(5)(-10) = 25 + 200 = 225.$
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $ P(x) = 0 $ . Ces 2 solutions sont :
$ x1=\frac{-5+\sqrt{255}}{10}=1$  et $  x2=\frac{-5-\sqrt{255}}{10} = -2$  
La factorisation de $ P(x) $  est donc : $P(x) = 5(x - 1)(x + 2)$ .
 2) $P(x)= x^2+4x + 4 $
 le discriminant $ \Delta= (4)^2 - 4(1 )(4) = 16-16 = 0.$
  $\Delta = 0 $ donc il existe une solution double à l'équation $P(x) = 0$.
  Cette solution est  $x_1 = \frac{-4}{2(1)} = -2 $   .
  La factorisation de $ P(x) $ est donc : $ P(x) = (x +2)(x + 2)$ .
 3)$P(x)= x^2+x + 4 $
 $ \Delta = (1)^2 - 4(1)(4) = 1-16 = -15$
 $ \Delta < 0 $ donc la factorisation du polynôme $ P(x) $ est impossible.

2.3        Signe d’un trinôme du second degré

Méthode : Pour déterminer le signe d'un polynôme $ P $ du  second degré
$ P(x) = ax^2 +bx + c $, on factorise $ P $ sous la forme $ P(x) = (x - x_1)(x - x_2) $
où $ x_1 $ et $ x_2 $ sont les solutions de l'équation $ P(x) = 0 $ et on étudie dans un tableau le signe de $(x - x_1) $ et de $(x - x_2) $ en fonction des valeurs de $ x $.
Exemple : étude du signe du polynôme $ A(x) = x^2 + 4x + 21 $ sur $ \mathbb{R} $
- Recherche du discriminant : $\Delta = (4)^2 - 4(1)(21) = 16 + 84 = 100$
$\Delta > 0 $ donc il existe 2 solutions à l'équation $ P(x) = 0 $. Ces 2 solutions sont :
   $x_1 = \frac{-4-\sqrt{100}}{2}$    et $x_1 = \frac{-4+\sqrt{100}}{2}$     
La forme factorisée de $ A(x) $ est : $ A(x) = (x - 3)(x + 7)$

 Tableau de signes de $ A(x)$ :

Remarque : Dans le cas où le polynôme $ P(x)$ a une racine ou aucune racine, son signe est celui de a .

Exemple :  $ B(x) = - 2x^2 + 4x - 3$. Recherche du discriminant
 $\Delta =4^2 - 4(-2) (-3) = -8$.

$ \Delta < 0 $ donc $ B(x) $ est toujours négatif car  a = -2 .

2.4    Inéquations du second degré

Définition :  On appelle Inéquation du second degré toute équation, définie sur $\mathbb{R}$ toute expression pouvant se mettre sous la forme : $ax^2 + bx +c>0$ ou $ax^2 + bx +c < 0$
où a,b et c sont des nombres réels et $a \leq 0$.

Résolution : Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation  comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme

Exemple : Résoudre $x^2 + 4x - 21>0$ sur $\mathbb{R}$.

Recherche du discriminant : $\Delta = 4^2 - (4 )(1 )(-21) = 16 + 84 = 100$.
$\Delta > 0 $ donc il existe 2 solutions à l'équation $ P(x) = 0 $. Ces 2 solutions sont :
       $x_1=\frac{-4+\sqrt{100}}{2}=3$  et  $x_2=\frac{-4+\sqrt{100}}{2}=-7$     
La forme factorisée de $ A(x) $ est : $ A(x) = (x - 3)(x + 7)$

La forme Tableau de signes de A(x) :
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

x $-\infty$ -7 3 $+\infty$
 $x^2 + 4x - 21>0$  +  -  +

 

3      Equations et inéquation se ramenant au second degré
3.1       Equations avec changement de variable

Soit Soit une équation  $P(x)=0 $ pouvant se mettre sous la forme :
$P(x) = Q(h(x)) = a(h(x))^2 + bh(x) + c = 0$
En posant  $y = h(x) $  on obtient une équation résolvant du second degré de la forme $ Q(y) = ay^2 + by + c = 0$.  Où a,b et c sont des réels et $ a \neq 0$.

 Exemples :

a.    $x^4 - 4x^2 - 21=0 $ ; on  pose $y=x^2$ on obtient $y^2 - 4y - 21=0 $.
Recherche du discriminant : $\Delta =(-4)2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$.

Ces 2 solutions sont :
$y_1 = \frac{4-\sqrt{100}}{2x4} = -3$ et $y_2 = \frac{4+\sqrt{100}}{2x4} = -7$        
On obtient :   $x^2 = -3$  impossible   ou $ x^2=7 \Longleftrightarrow x=±\sqrt{7}$.
$ S=\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\} $ .

b.   $ x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ ; on  pose $y = x+\frac{1}{x}$ on a :  $y^2-y-6=0$,
 Recherche du discriminant : $\Delta =(-1)^2-4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 $.
$ \Delta > $ 0 donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$. Ces 2 solutions sont:
$y_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-3$ et $y_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=7$      
On résoud deux nouvelles équations : $x^2+\frac{1}{x}=3$  ou $ x^2+\frac{1}{x}=-2$
$x^2+\frac{1}{x}=3 \Longleftrightarrow x^2-3x+1=0 \Longleftrightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x^2+\frac{1}{x}=-2 \Longleftrightarrow x^2+2x+1=0 \Longleftrightarrow x=-1$

donc  $ S=\{-1,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2} \} $

3.2  Somme et produit des racines

 $A(x) = ax^2 + bx +c $ et  son discriminant $\Delta \ge 0$ .

Le polynôme peut s'écrire $ A(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\ \hbox{ou} \ A(x) = a(x-x_1)^2 $

$ A(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = ax^2+bx+c $

Par comparaison on a $ x_1+x_2= -\frac{b}{a}\ \hbox{et} x_1x_2=\frac{c}{a} $      $S = x_1+x_2=-\frac{b}{a}$est la somme des  racines de l’équation et $ P = x_1x_2=\frac{c}{a} $ est le produit des racines de l’équation.

Réciproquement si $ S = x_1+x_2 \ \hbox{et} \ P = x_1x_2 $ alors sont solutions l’équation : $X^2 - SX +  P = 0$

Exemple : Résoudre les systèmes

a)   

$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
x + y  & = 12 \\
xy & = 36 \\
\end{array}\right.$   

$x $  et $ y $ (s'ils existent) sont solutions de l’équation résolvante $X^2-12X+36 = 0$

on trouve $x = y = 6$

Donc $S =\{ (6;6) \}$

b)    

$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
x + y  & = 12 \\
xy & = 32 \\
\end{array}\right.
$
$x $  et $ y $ (s'ils existent) sont solutions de l’équation résolvante $X^2-12X+32 = 0$

on trouve $x =4 \  \hbox{et} \ y = 8  \  \hbox{ou} \  x = 8 \  \hbox{et} \ y = 4$

Donc $S =\{ (4;8),(8;4) \}$

3.3       Equations avec racine évidente

 Si on connait une ou plusieurs racines évidentes de l’équation $P(x)=0$ alors on peut se ramener  à l’équation du second degré en utilisant la propriété suivante :

 Propriété : Soit Soit $ P $ un polynôme de degré $n$ et $a$ une racine de $P$ alors il existe un polynôme $Q $de $n-1$ tel que $P(x)=(x-a)Q(x)$
On utilise la méthode d’identification ou division euclidienne  et de $\hbox{Horner}$ pour déterminer $Q(x)$

Exemples :

1)   $P(x) = -5x^2 + 3x^2 + 5x - 3 = 0$ avec 1 est racine évidente.
 $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) = ax^2+b(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On obtient
   $
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a  & = -5 \\
b-a & = 3 \\
c-b & = 5 \\
c & = 3 \\
\end{array}\right.
 \Longleftrightarrow
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a  & = -5 \\
b & = -2 \\
c & = 3 \\
c & = 3 \\
\end{array}\right.
$

D’où

$P(x)=(x-1)(-5x^2-2x+3)=0 \Longleftrightarrow x=1 ou -5x^2-2x+3=0 $
      $P(x)=0 \Longleftrightarrow x=1 \ \hbox{ou} x=\frac{3}{5}$
             $S=\{ -1;1;\frac{3}{5}\}$

2) Résoudre: $h(x)=x^4-5x^3+6x^2-x-6$ avec -1 et 1 sont racines évidentes.
3)  $h(x)=x^4-5x^3+6x^2-x-6$
$h(x)=(x-1)(x+1)(ax^2+bx+c)=(x^2-1)(ax^2+bx+c)$
          $ \Longleftrightarrow h(x) = ax^4+bx^3+(c-a)x^2-bx-c$

On obtient   
$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a = 1 \\
b = -5 \\
c-a = 5 \\
c = 6 \\
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a   = 1 \\
b = -5 \\
c = 6 \\
c = 6 \\
\end{array}\right.
$
 
D’où
$h(x)=(x-1)(x+1)(x^2-5x+6)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1 \ \hbox{ou} \ x^2-5x+6=0 $
$h(x)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1 \ \hbox{ou} \ x=2 \ \hbox{ou} \ x=3$
$S=\{ -1;1;2;3 \}$

 

 

Auteur: 
Moussa Fall: Professeur au Lycée Omar Lamine Badji de Ziguinchor

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