Notions de base
1. Trinôme du second degré
1.1 Définition
On appelle trinôme du second degré toute expression, définie sur $\mathbb{R}$ pouvant se mettre sous la forme :
$P(x)=ax^2+bx+c $
où a, b et c sont des nombres réels et $ a \neq 1$ .
Exemples : Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :
$20+x^2; x^2+2x+3 $
De même
$ (2x+1)^2-3x^2 $
est un trinôme du second degré. En développant, on obtient
$ (2x+1)^2-3x^2=4x^2+4x+1-3x^2=x^2+4x+1$.
Par contre l’expression
$ (x-2)^2-x^2 $
n’est pas un trinôme du second degré car
$(x-2)^2-x^2=-4x+4$.
1.2 Forme canonique d’un trinôme
Propriété et définition :
Pour tout trinôme du second degré $ax^2+bx+c (a \neq 1)$, on peut trouver deux nombres réels $\alpha $ et $\beta $ tels que, pour tout nombre réel x, on ait :
L’écriture ${ax^2+bx+}c=a(x-\alpha)^2+\beta)$ s’appelle la forme canonique de $ ax^2+bx+c$.
Démonstration : Transformons le trinôme
$ x^2+bx+c $,
on commence par mettre a en facteur :
$ax^2+bx+c=a(x^2+b/a x+c/a)$
Ensuite on écrit que
$x^2+b/a$
x est le début du développement de
$(x+b/2a)^2$.
En effet ;
$(x+b/2a)^2=x^2+b/a x+b^2/(4a^2 )$ ,
d’où
$ x^2+b/a x=(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{b^2}{ 4a^2 } $
$ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{b^2}{( 4a^2 )}+c/a]$
$=[a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{(b^2-4ac)}{( 4a^2 )} ] $
On pose
$ \alpha=-\frac{b}{2a} $ et $ \beta =- \frac{b^2-4ac}{4a} $
on obtient finalement
$ax^2+bx+c=a(x-a)^2+\beta$
Exemples :
$(x+3)^2$ est la forme canonique du trinôme $x^2+6x+9$ car
$ x^2+6x+9=(x+3)^2$. On a utilisé ici une identité remarquable.
Pour mettre le trinôme $3x^2-12x+8$ sous forme canonique, on commence par mettre le coefficient de $x^2$ en facteur dans l’expression $3x^2-12x$ :
$3x^2-12x+8=3(x^2-4)+8$ ; Ensuite on transforme $4x^2-12x$ en faisant apparaître le début d’une identité remarquable : $x^2-4=(x-2)^2-4$
$3x^2-12x+8=3(x^2-4)+8=3[(x-2)^2-4]+8=3(x-2)^2-4 $
On a donc la forme canonique : $3x^2-12x+8=3(x-2)^2-4$.
1.3 Racine d’un trinôme
Définition : On appelle racine d’un trinôme toute valeur de la variable x solution de l’équation
Exemples : On appelle racine d’un trinôme $ax^2+bx+c$ toute valeur de la variable x solution de l’équation $ x^2+6x+9=0 $
Exemples : – 4 et 1 sont deux racines du trinôme $x^2+3x-4$ .
En effet, posons
$f(x)=x^2+3x-4$. On a : $f(1)=(1)^2+3(1)-4=1+3-4=0$ et
$f(-4)= (-4)^2+3(-4)-4=16-12-4=0$
2. Equations et inéquations du second degré
2.1 Equations du second degré
Définition : On appelle équation du second degré toute équation, définie sur $\mathbb{R}$ pouvant se mettre sous la forme : $ax^2 +bx+c$
où a,b et c sont des nombres réels et $ a\neq 0$.
Exemples : $3x^2 - 5x + 2 = 0 $ où a = 3 ; b = - 5 et c = 2 ; $ -4x^2 + 7 = 0 $où a = - 4 ; b = 0 et c = 7.
Résolution : Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre $\Delta $ appelé discriminant et tel que $\Delta = b^2-4ac $
On distingue 3 cas en fonction de la valeur de
Si $\Delta > 0 $, l'équation a deux solutions distinctes :
$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta = 0 $, l'équation a une solution double :
$ x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$
Si $\Delta $ < 0, alors l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .
Exemples : a) $2x^2 - 5x - 3 = 0$ ;$ \Delta= (- 5)^2 - 4(2 )(- 3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $
$\Delta $> 0 donc il y a deux solutions :
$x_1 = \frac{5-\sqrt{49}}{4}=\frac{5-7}{4}=\frac{-1}{2}$ et $x2 = \frac{5+\sqrt{49}}{4}=\frac{5+7}{4}=3$
b) $x^2 - 4x + 5 = 0 ; \Delta = (- 4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = - 4 ; \Delta < 0 $ donc l'équation n'a pas de solution.
c) $9x^2 + 6x + 1 = 0 ; \Delta = 6^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0 ; \Delta = 0 $, l'équation a une solution double : $ x_1=\frac{-6}{2x9}=-\frac{1}{3}$ .
Vérification : $9(-\frac{1}{3})^2+6(-\frac{1}{3}+1=1-2+1=0$
2.2 Factorisation d’un trinôme du second degré
Soit un polynôme $P(x) = ax^2 + bx +c $
Factoriser ce polynôme revient à l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes du 1er degré. Pour ce faire, il faut rechercher les solutions de l'équation $ P(x) = 0 $ en calculant le discriminant $ \Delta $ . Soient $ x1 $ et $x2 $sont les solutions de l’équation $ P(x) = 0 $ .
Théorème : $ P(x) = ax^2 + bx +c $ et son discriminant$\Delta$.
Si $\Delta > 0$ , le polynôme peut s'écrire $ P(x) = a(x-x1)(x-x2)$
Si $\Delta = 0$, le polynôme peut s'écrire $P(x) = a(x-x1)$
Si $\Delta < 0$ , la factorisation du polynôme est impossible
Exemple : Factorisation
1)$P(x)= 5x^2+ 5x - 10 $
$ \Delta = 5^2 - 4(5)(-10) = 25 + 200 = 225.$
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $ P(x) = 0 $ . Ces 2 solutions sont :
$ x1=\frac{-5+\sqrt{255}}{10}=1$ et $ x2=\frac{-5-\sqrt{255}}{10} = -2$
La factorisation de $ P(x) $ est donc : $P(x) = 5(x - 1)(x + 2)$ .
2) $P(x)= x^2+4x + 4 $
le discriminant $ \Delta= (4)^2 - 4(1 )(4) = 16-16 = 0.$
$\Delta = 0 $ donc il existe une solution double à l'équation $P(x) = 0$.
Cette solution est $x_1 = \frac{-4}{2(1)} = -2 $ .
La factorisation de $ P(x) $ est donc : $ P(x) = (x +2)(x + 2)$ .
3)$P(x)= x^2+x + 4 $
$ \Delta = (1)^2 - 4(1)(4) = 1-16 = -15$
$ \Delta < 0 $ donc la factorisation du polynôme $ P(x) $ est impossible.
2.3 Signe d’un trinôme du second degré
Méthode : Pour déterminer le signe d'un polynôme $ P $ du second degré
$ P(x) = ax^2 +bx + c $, on factorise $ P $ sous la forme $ P(x) = (x - x_1)(x - x_2) $
où $ x_1 $ et $ x_2 $ sont les solutions de l'équation $ P(x) = 0 $ et on étudie dans un tableau le signe de $(x - x_1) $ et de $(x - x_2) $ en fonction des valeurs de $ x $.
Exemple : étude du signe du polynôme $ A(x) = x^2 + 4x + 21 $ sur $ \mathbb{R} $
- Recherche du discriminant : $\Delta = (4)^2 - 4(1)(21) = 16 + 84 = 100$
$\Delta > 0 $ donc il existe 2 solutions à l'équation $ P(x) = 0 $. Ces 2 solutions sont :
$x_1 = \frac{-4-\sqrt{100}}{2}$ et $x_1 = \frac{-4+\sqrt{100}}{2}$
La forme factorisée de $ A(x) $ est : $ A(x) = (x - 3)(x + 7)$
Tableau de signes de $ A(x)$ :
Remarque : Dans le cas où le polynôme $ P(x)$ a une racine ou aucune racine, son signe est celui de a .
Exemple : $ B(x) = - 2x^2 + 4x - 3$. Recherche du discriminant
$\Delta =4^2 - 4(-2) (-3) = -8$.
$ \Delta < 0 $ donc $ B(x) $ est toujours négatif car a = -2 .
2.4 Inéquations du second degré
Définition : On appelle Inéquation du second degré toute équation, définie sur $\mathbb{R}$ toute expression pouvant se mettre sous la forme : $ax^2 + bx +c>0$ ou $ax^2 + bx +c < 0$
où a,b et c sont des nombres réels et $a \leq 0$.
Résolution : Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme
Exemple : Résoudre $x^2 + 4x - 21>0$ sur $\mathbb{R}$.
Recherche du discriminant : $\Delta = 4^2 - (4 )(1 )(-21) = 16 + 84 = 100$.
$\Delta > 0 $ donc il existe 2 solutions à l'équation $ P(x) = 0 $. Ces 2 solutions sont :
$x_1=\frac{-4+\sqrt{100}}{2}=3$ et $x_2=\frac{-4+\sqrt{100}}{2}=-7$
La forme factorisée de $ A(x) $ est : $ A(x) = (x - 3)(x + 7)$
La forme Tableau de signes de A(x) :
x | $-\infty$ | -7 | 3 $+\infty$ |
$x^2 + 4x - 21>0$ | + | - | + |
3 Equations et inéquation se ramenant au second degré
3.1 Equations avec changement de variable
Soit Soit une équation $P(x)=0 $ pouvant se mettre sous la forme :
$P(x) = Q(h(x)) = a(h(x))^2 + bh(x) + c = 0$
En posant $y = h(x) $ on obtient une équation résolvant du second degré de la forme $ Q(y) = ay^2 + by + c = 0$. Où a,b et c sont des réels et $ a \neq 0$.
Exemples :
a. $x^4 - 4x^2 - 21=0 $ ; on pose $y=x^2$ on obtient $y^2 - 4y - 21=0 $.
Recherche du discriminant : $\Delta =(-4)2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$.
Ces 2 solutions sont :
$y_1 = \frac{4-\sqrt{100}}{2x4} = -3$ et $y_2 = \frac{4+\sqrt{100}}{2x4} = -7$
On obtient : $x^2 = -3$ impossible ou $ x^2=7 \Longleftrightarrow x=±\sqrt{7}$.
$ S=\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\} $ .
b. $ x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ ; on pose $y = x+\frac{1}{x}$ on a : $y^2-y-6=0$,
Recherche du discriminant : $\Delta =(-1)^2-4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 $.
$ \Delta > $ 0 donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$. Ces 2 solutions sont:
$y_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-3$ et $y_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=7$
On résoud deux nouvelles équations : $x^2+\frac{1}{x}=3$ ou $ x^2+\frac{1}{x}=-2$
$x^2+\frac{1}{x}=3 \Longleftrightarrow x^2-3x+1=0 \Longleftrightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x^2+\frac{1}{x}=-2 \Longleftrightarrow x^2+2x+1=0 \Longleftrightarrow x=-1$
donc $ S=\{-1,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2} \} $
3.2 Somme et produit des racines
$A(x) = ax^2 + bx +c $ et son discriminant $\Delta \ge 0$ .
Le polynôme peut s'écrire $ A(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\ \hbox{ou} \ A(x) = a(x-x_1)^2 $
$ A(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = ax^2+bx+c $
Par comparaison on a $ x_1+x_2= -\frac{b}{a}\ \hbox{et} x_1x_2=\frac{c}{a} $ $S = x_1+x_2=-\frac{b}{a}$est la somme des racines de l’équation et $ P = x_1x_2=\frac{c}{a} $ est le produit des racines de l’équation.
Réciproquement si $ S = x_1+x_2 \ \hbox{et} \ P = x_1x_2 $ alors sont solutions l’équation : $X^2 - SX + P = 0$
Exemple : Résoudre les systèmes
a)
$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
x + y & = 12 \\
xy & = 36 \\
\end{array}\right.$
$x $ et $ y $ (s'ils existent) sont solutions de l’équation résolvante $X^2-12X+36 = 0$
on trouve $x = y = 6$
Donc $S =\{ (6;6) \}$
b)
$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
x + y & = 12 \\
xy & = 32 \\
\end{array}\right.
$
$x $ et $ y $ (s'ils existent) sont solutions de l’équation résolvante $X^2-12X+32 = 0$
on trouve $x =4 \ \hbox{et} \ y = 8 \ \hbox{ou} \ x = 8 \ \hbox{et} \ y = 4$
Donc $S =\{ (4;8),(8;4) \}$
3.3 Equations avec racine évidente
Si on connait une ou plusieurs racines évidentes de l’équation $P(x)=0$ alors on peut se ramener à l’équation du second degré en utilisant la propriété suivante :
Propriété : Soit Soit $ P $ un polynôme de degré $n$ et $a$ une racine de $P$ alors il existe un polynôme $Q $de $n-1$ tel que $P(x)=(x-a)Q(x)$
On utilise la méthode d’identification ou division euclidienne et de $\hbox{Horner}$ pour déterminer $Q(x)$
Exemples :
1) $P(x) = -5x^2 + 3x^2 + 5x - 3 = 0$ avec 1 est racine évidente.
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) = ax^2+b(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On obtient
$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a & = -5 \\
b-a & = 3 \\
c-b & = 5 \\
c & = 3 \\
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a & = -5 \\
b & = -2 \\
c & = 3 \\
c & = 3 \\
\end{array}\right.
$
D’où
$P(x)=(x-1)(-5x^2-2x+3)=0 \Longleftrightarrow x=1 ou -5x^2-2x+3=0 $
$P(x)=0 \Longleftrightarrow x=1 \ \hbox{ou} x=\frac{3}{5}$
$S=\{ -1;1;\frac{3}{5}\}$
2) Résoudre: $h(x)=x^4-5x^3+6x^2-x-6$ avec -1 et 1 sont racines évidentes.
3) $h(x)=x^4-5x^3+6x^2-x-6$
$h(x)=(x-1)(x+1)(ax^2+bx+c)=(x^2-1)(ax^2+bx+c)$
$ \Longleftrightarrow h(x) = ax^4+bx^3+(c-a)x^2-bx-c$
On obtient
$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a = 1 \\
b = -5 \\
c-a = 5 \\
c = 6 \\
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
a = 1 \\
b = -5 \\
c = 6 \\
c = 6 \\
\end{array}\right.
$
D’où
$h(x)=(x-1)(x+1)(x^2-5x+6)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1 \ \hbox{ou} \ x^2-5x+6=0 $
$h(x)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1 \ \hbox{ou} \ x=2 \ \hbox{ou} \ x=3$
$S=\{ -1;1;2;3 \}$
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