BAC S COMPLEXE Métropole juin 2005

$$\begin{center} \psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(9,8) \pspolygon(2,2)(2.7,3.6)(1.1,4.3)(0.4,2.7) \pspolygon(6.6,2)(2.7,3.6)(4.4,7.5)(8.2,6) \pscircle(4.3,2){2.3} \uput[dl](2,2){O} \uput[dr](6.6,2){A} \uput[ul](1.1,4.3){$K$} \uput[dl](0.4,2.7){$L$} \uput[u](2.7,3.6){$M$} \uput[ur](4.4,7.5){$N$} \uput[ur](8.2,6){$P$} \end{pspicture}\end{center}$$

\vspace{0,4cm}

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [OA], un point $M$ variable appartenant au cercle $\mathcal{C}$, et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct $M$A$PN$ et $MKL$O. La figure est représentée ci-dessus.

\textsl{Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point $N$ appartient à un cercle à déterminer.}

On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On note $k,~ l,~ m,~ n$ et $p$ les affixes respectives des points $K,~ L,~ M,~ N$ et $P$.

Démontrer que, quel que soit le point $M$ choisi sur le cercle $\mathcal{C}$, on a $\left|m - \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}$.

établir les relations suivantes : $l = \text{i}m$ et $p = - \text{i}m + 1 +\text{i}$. On admettra que l'on a également $n = (1 - \text{i})m + \text{i}$ et $k = (1 + \text{i})m$.

Démontrer que le milieu $\Omega$ du segment [PL] est un point indépendant de la position du point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$.

Démontrer que le point $\Omega$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ et préciser sa position sur ce cercle.

Calculer la distance $KN$ et démontrer que cette distance est constante.

Quelle est la nature du triangle $\Omega NK$ ?

Démontrer que le point $N$ appartient à un cercle fixe, indépendant du point $M$, dont on déterminera le centre et le rayon.