BAC S COMPLEXE Centres étrangers juin 2005

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} unité graphique 8~cm.

On appelle A le point d'affixe $-1$ et B le point d'affixe $1$.

On appelle $\mathcal{E}$ l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.

À tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant à l'ensemble $\mathcal{E}$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$.

Prouver que les points $M,~ N$ et $P$ sont deux à deux distincts.

On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ appartenant à $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$.

En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que $MNP$ est rectangle en $P$ si et seulement si $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$.

Démontrer que $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$ équivaut à $\left(z + \dfrac{1}{2}\right)\left( \overline{z + \dfrac{1}{2}}\right)= \dfrac{1}{4}$.

En déduire l'ensemble $\mathcal{C}$ cherché.

Soit $M$ un point de $\mathcal{E}$ et $z$ son affixe, On désigne par $r$ le module de $z$ et $\alpha$ l'argument de $z,~\alpha \in ]- \pi~;~\pi]$.

Démontrer que l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que l'affixe de $P$ soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points).

Représenter les ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{F}$ dans le repère \Ouv.

Déterminer les affixes des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$, l'affixe de $P$ étant un réel strictement positif.