BAC S COMPLEXE Asie juin 2005
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 1~cm).
On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue z suivante :
z3+(−8+i)z2+(17−8i)z+17i=0.
\textbf{I.} Résolution de l'équation (E).
Montrer que −i est solution de (E).
Déterminer les nombres réels a, b, c tels que :
z3+(−8+i)z2+(17−8i)z+17i=(z+i)(az2+bz+c).
Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
\textbf{Il.} On appelle A, B et C les points d'affixes respectives 4+i, 4−i,−i.
Placer les points sur une figure que l'on complétera dans la suite de l'exercice.
Le point Ω est le point d'affixe 2. On appelle S l'image de A par la rotation de centre Ω et d'angle de mesure π2. Calculer l'affixe de S.
Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle C dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer C.
à tout point M d'affixe z≠2, on associe le point M′ d'affixe z′=iz+10−2iz−2.
Déterminer les affixes des points A′, B′, C′ associés respectivement aux points A, B et C.
Vérifier que A′, B′, C′ appartiennent à un cercle C′ de centre P, d'affixe i. Déterminer son rayon et tracer C′.
Pour tout nombre complexe z≠2, exprimer |z′−i| en fonction de z.
Soit M un point d'affixe z appartenant au cercle C. Démontrer que |z′−i|=2√5.
En déduire à quel ensemble appartiennent les points M′ associés aux points M du cercle C.
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