BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2005

\Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$.

Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$.

Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de O associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z' = \dfrac{-1}{\overline{z}}$.

Soit E le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ ; on appelle $E'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de $E'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de
$\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$.

Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et $K'$ l'image de K par $F$.

Calculer l'affixe de $K'$.

Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'image de
$\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$.

On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$. $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1.

Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$.

En déduire que : $\left|z' + 1\right| = \left|z'\right|$.

Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où

$\theta \in ]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du \textbf{a.}.