Devoir n° 10 - 2nd s

1) Étudier le signe, puis calculer les carrés des réels suivants :

$$X=\sqrt{5}-\sqrt{6}\;,\quad Y=\sqrt{5}-\sqrt{2}\;,\quad Z=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

2)En déduire une écriture simplifiée des nombres :

$$A=\sqrt{11-2\sqrt{30}}\;,\quad B=\sqrt{7-2\sqrt{10}}\;,\quad C=\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

3) Trouver trois nombres réels non nuls tels que : $$\dfrac{a}{A}+\dfrac{b}{B}+\dfrac{c}{C}=0$$

$x\;,\ y$ et $z$ sont des réels proportionnels aux réels $a\;,\ b\;,\ c$. On suppose que $x\;,\ y\;,\ z\;,\ a\;,\ b\;,\ c$ sont tous strictement positifs. Montrer que :

$$\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{bz}=\sqrt{(x+y+z)(a+b+c)}$$

1) Vérifier l'égalité : $\dfrac{1}{x(x+1}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$ pour tout entier naturel non nul $x.$

 

2) En déduire la valeur de la somme :

$$S=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\ldots+\dfrac{1}{1998\times 1999}+\dfrac{1}{1999\times 2000}$$

Simplifier les produits : $(1+\sqrt{2})^{20}(1-\sqrt{2})^{20}$ et $(2+\sqrt{3})^{20}(2-\sqrt{3})^{20}$

Soit un triangle $ABC.$ On désigne par $A'\;,\ B'$ et $C'$ les milieux respectifs de $[BC]\;,\ [CA]$ et $[AB].$

Soit $I$ un point quelconque du plan.

 

1) Construire les points $E$ et $F$ définis par : $\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{CC}'$ et $\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{B'B}.$

 

Exprimer en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ les vecteurs $\overrightarrow{IE}\;,\ \overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{EF}.$

 

En déduire que : $(EF)//(AA').$

 

2) Soit $J$ le milieu de $[EF].$ Démontrer qu'il existe un réel $k$ tel que : $$\overrightarrow{IJ}=k\overrightarrow{BC}$$

 

Que peut-on dire de $(IJ)$ et $(BC)\;$ ?

Soit $ABC$ un triangle, $E$ et $D$ sont les points définis par : $$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\vec{0}\ \text{ et }\ \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+5\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\vec{0}$$

1) Quelle est la nature de $ABCD\;$ ?

 

Démontrer que les points $A\;,\ E\;,\ C$ sont alignés.

 

2) Construire le point $F$ tel que $3\overrightarrow{FB}-4\overrightarrow{FE}=3\overrightarrow{FD}$.

 

Démontrer que les points $A\;,\ D\;,\ F$ sont alignés.

 

3) La droite $(AB)$ coupe la droite $(EF)$ en $G.$ Montrer que $E$ est le milieu de $[FG].$

 

Quelle position occupe le milieu $O$ de $[AC]$ dans le triangle $AFG\;$ ?

 

En déduire que $(OF)$ et $(OG)$ passent les milieux de $[AG]$ et $[AF].$

 

 

 

$$\text{Durée : 4 h}$$