BAC S COMPLEXE Antilles_sep t2005

Soit $\mathcal{P}$ le plan complexe rapporté au repère \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). Soit A le point d'affixe 1. On note $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

$$z' = \dfrac{1}{z - 1}.$$

Sois B le point d'affixe $b = 4 + \text{i}\sqrt{3}$. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle de l'affixe $b'$ de B$'$.
Déterminer les affixes des points ayant pour image par $f$ leur symétrique par rapport à O.

Exprimer $\left|z'\right|$ et arg $\left(z'\right)$ en fonction de $|z - 1|$ et arg $(z - 1)$.
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $r$. On suppose que $M$ est un
point de $\mathcal{C}$. Déterminer $\left| z' \right|$.
En déduire que $M'$ appartient à un cercle $\mathcal{C}'$ dont on précisera le centre et le rayon.
Placer un point $M$ quelconque sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}$
et construìre son image $M'$. (On laissera les traits de construction,)