BAC S COMPLEXE Liban_juin 2008

\textbf{Partie A}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi }{3}$.

\textbf{Proposition 1} : \og $z^{100}$ est un nombre réel \fg.
Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de 1 du plan telle que $\left| {\dfrac{z}{{1 - z}}} \right| = 1$.

\textbf{Proposition 2} : \og l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels \fg.
Soit $r$ la rotation d'angle $- \dfrac{\pi }{2}$
et dont le centre K a pour affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}.$

\textbf{Proposition 3} : \og l'image du point O par la rotation $r$ a pour affixe

$\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + \text{i}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$ \fg.
On considère l'équation (E) suivante : $z^2 + 2\mathbb{C}os \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)z + 1 = 0$.

\textbf{Proposition 4} : \og l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à $1$ \fg.